大一高數(shù)上冊(cè)-第四章第二節(jié)

二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法換元積分法第二類換元法第一類換元法基本思路設(shè)可導(dǎo),則有一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時(shí)例2.

求解:令則想到公式練習(xí):

求例3.

求想到解:練習(xí):求例4.

求解:類似例5.

求解:∴原式

=常用的幾種配元形式:萬(wàn)能湊冪法例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=例9.

求解法1解法2:(思考)例10.

求解法1解法2同樣可證或例11.

求解:

原式=練習(xí):

求例12.

求解:練習(xí)：求例13.

求解:∴原式=練習(xí):

求例14

求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例15.

求解:

原式=分析:

例16.

求解:原式小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?2.

求提示:法1法2法3二、第二類換元法第一類換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，則有換元公式定理2注：1、第二類換元法可用下列等式表示：2、第二類換元法通常有三角代換、倒代換、根式代換等.例17.

求解:

令則∴原式例18.

求解:

令則∴原式例19.

求解:令則∴原式令于是例20

求解令練習(xí)：說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(2)例21

求解令練習(xí)：求說(shuō)明(3)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例22

求令解練習(xí):

求說(shuō)明(4)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例23

求解令小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(P203)(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令解:

原式(P203公式(20))例24.

求例25.

求解:(P203公式(23))例26.

求解:

原式=(P203公式(22))例27.

求解:

原式(P203公式(22))例28.

求解:

令得原式思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令2.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得