第21講狀態(tài)空間分析2

習(xí)題A.10.5、B.10.3第九章狀態(tài)空間分析與設(shè)計(jì)

9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述9.2線性系統(tǒng)的能控性和能觀性9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器9.4Lyapunov穩(wěn)定性分析9.5二次型最優(yōu)控制

與經(jīng)典控制設(shè)計(jì)采用輸出反饋不同，狀態(tài)空間設(shè)計(jì)主要采用狀態(tài)反饋9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器1、基本概念狀態(tài)反饋輸出反饋狀態(tài)反饋可以利用系統(tǒng)內(nèi)、外部特性，能夠提供更多的校正信息，可以獲得更好的結(jié)果。由于并不是所有狀態(tài)變量在物理上都可以測(cè)量，為了能夠形成反饋，就引出了用狀態(tài)觀測(cè)器給出狀態(tài)估值的問題。狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)構(gòu)成了狀態(tài)空間綜合設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容。1、基本概念9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器在某種程度上類似于根軌跡設(shè)計(jì)方法，即通過狀態(tài)反饋將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望的位置，以獲得理想的性能，區(qū)別在于：根軌跡法只將閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)配置到期望位置極點(diǎn)配置可以把所有的極點(diǎn)配置到期望位置2、極點(diǎn)配置假設(shè)：只討論單輸入-單輸出（SISO）系統(tǒng)；參考輸入v(t)為零（或某個(gè)常值），即所謂調(diào)節(jié)器系統(tǒng)；9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(1)極點(diǎn)配置問題2、極點(diǎn)配置系統(tǒng)模型控制信號(hào)狀態(tài)反饋增益矩陣9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的問題在于選擇合適的矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：閉環(huán)系統(tǒng)方程的解其特征值（調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的極點(diǎn)）均具有負(fù)實(shí)部（位于S平面左半平面），則當(dāng)t趨近于無窮時(shí)，X(t)趨近于零。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(2)任意配置極點(diǎn)的充要條件2、極點(diǎn)配置任意配置極點(diǎn)的充要條件是被控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，即：的秩為n。證明見教材P551～553，10.2.2節(jié)9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(3)極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的步驟2、極點(diǎn)配置推導(dǎo)被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；檢驗(yàn)被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性；根據(jù)性能要求確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置；確定狀態(tài)反饋增益矩陣K；利用所求出的增益矩陣K，推導(dǎo)控制器的傳遞函數(shù)，檢驗(yàn)其對(duì)給定初始條件的響應(yīng)，如果響應(yīng)不能令人滿意，則調(diào)整期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置，直到獲得滿意的響應(yīng)為止。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(3)極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的步驟2、極點(diǎn)配置推導(dǎo)被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；檢驗(yàn)被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性；根據(jù)性能要求確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置；確定狀態(tài)反饋增益矩陣K；利用所求出的增益矩陣K，推導(dǎo)控制器的傳遞函數(shù)，檢驗(yàn)其對(duì)給定初始條件的響應(yīng)，如果響應(yīng)不能令人滿意，則調(diào)整期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置，直到獲得滿意的響應(yīng)為止。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(4)確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的方法2、極點(diǎn)配置

根據(jù)：期望閉環(huán)極點(diǎn)（特征值）：a.直接代入法

極點(diǎn)配置后系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)（特征值）：確定狀態(tài)反饋增益矩陣：直接比較各冪次系數(shù)即可求得增益矩陣K。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器b.利用變換矩陣T的方法

假設(shè)原被控對(duì)象的極點(diǎn)（特征值）：定義變換矩陣T：T=MW其中M是可控性矩陣：則c.阿克曼（Ackermann）公式M是可控性矩陣：則

期望閉環(huán)極點(diǎn)（特征值）：自學(xué)教材P556，例10.1教材P625，A10.5教材P625，A10.5

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：

若期望的系統(tǒng)特征根為-3和-5，試確定反饋增益矩陣K和控制信號(hào)u(t)。倒立擺控制系統(tǒng)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置狀態(tài)空間模型：

若期望系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為2s(2%準(zhǔn)則)，阻尼比為0.5，試確定反饋增益矩陣K。期望閉環(huán)極點(diǎn)：(1)基本概念3、狀態(tài)觀測(cè)器

當(dāng)利用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)極點(diǎn)時(shí)，需要用傳感器測(cè)量狀態(tài)變量以便實(shí)現(xiàn)反饋。但一般情況下，只有系統(tǒng)的輸入和輸出能夠測(cè)量，而多數(shù)狀態(tài)變量不易測(cè)得或不能夠測(cè)得。這就引出了利用被控對(duì)象輸入量和輸出量建立狀態(tài)觀測(cè)器，重構(gòu)狀態(tài)的問題。實(shí)際系統(tǒng)系統(tǒng)估計(jì)9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(2)全階狀態(tài)觀測(cè)器3、狀態(tài)觀測(cè)器

所謂全階狀態(tài)觀測(cè)器即能夠觀測(cè)到系統(tǒng)全部狀態(tài)變量的觀測(cè)器。利用實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)方程減去上述方程，得：9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器即狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的問題在于選擇合適的矩陣Ke，使得矩陣：其特征值（調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的極點(diǎn)）均具有負(fù)實(shí)部（位于S平面左半平面），則當(dāng)t趨近于無窮時(shí)，E(t)趨近于零。狀態(tài)觀測(cè)增益矩陣(3)狀態(tài)觀測(cè)的充要條件3、狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)偶系統(tǒng)：狀態(tài)觀測(cè)的充要條件是被控系統(tǒng)S1狀態(tài)完全可觀，或其對(duì)偶系統(tǒng)S2狀態(tài)完全可控，即：的秩為n。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(3)確定狀態(tài)觀測(cè)增益矩陣Ke的方法3、狀態(tài)觀測(cè)器

根據(jù)觀測(cè)器的期望極點(diǎn)（特征值）：a.直接代入法

極點(diǎn)（特征值）：確定狀態(tài)觀測(cè)增益矩陣：直接比較各冪次系數(shù)即可求得增益矩陣Ke。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器b.利用變換矩陣Q的方法

假設(shè)原被控對(duì)象的極點(diǎn)（特征值）：定義變換矩陣Q：Q=WN*其中N是可觀性矩陣：則c.阿克曼（Ackermann）公式則N是可觀性矩陣：自學(xué)教材P575，例10.6(1)最佳Ke的選擇原則4、狀態(tài)觀測(cè)器的相關(guān)問題一般情況下，觀測(cè)器極點(diǎn)必須比控制器極點(diǎn)快2～5倍。此時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)以控制器極點(diǎn)為主導(dǎo)。如果傳感器噪聲較大，可以將觀測(cè)器極點(diǎn)選的比控制器極點(diǎn)慢一些，以減小系統(tǒng)帶寬，平滑噪聲。此時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)以觀測(cè)器極點(diǎn)為主導(dǎo)。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(2)觀測(cè)器的引入對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)影響4、狀態(tài)觀測(cè)器的相關(guān)問題被控對(duì)象狀態(tài)反饋觀測(cè)模型可得其中9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器寫成矩陣形式為可見：觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)包含極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)產(chǎn)生的極點(diǎn)和狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)產(chǎn)生的極點(diǎn)。由于引入狀態(tài)觀測(cè)器，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由n階變?yōu)?n階。(3)基于觀測(cè)器的控制器傳遞函數(shù)4、狀態(tài)觀測(cè)器的相關(guān)問題9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器(3)基于觀測(cè)器的控制器傳遞函數(shù)4、狀態(tài)觀測(cè)器的相關(guān)問題被控對(duì)象狀態(tài)反饋觀測(cè)模型可得利用拉氏變換，并令初值為零：9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器基于觀測(cè)器的控制器傳遞函數(shù)為：5、帶觀測(cè)器的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)設(shè)計(jì)推導(dǎo)被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；檢驗(yàn)被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性和可觀性；根據(jù)性能要求確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置，同時(shí)選擇期望的觀測(cè)器極點(diǎn)；確定狀態(tài)反饋增益矩陣K和狀態(tài)觀測(cè)增益矩陣Ke；利用所求出的增益矩陣K，推導(dǎo)觀測(cè)器-控制器的傳遞函數(shù)，如果控制器是穩(wěn)定的，檢驗(yàn)其對(duì)給定初始條件的響應(yīng)，如果響應(yīng)不能令人滿意，則調(diào)整期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置和（或）觀測(cè)器極點(diǎn)的位置，直到獲得滿意的響應(yīng)為止。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器第九章狀態(tài)空間分析與設(shè)計(jì)

9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述9.2線性系統(tǒng)的能控性和能觀性9.3線性系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)及狀態(tài)觀測(cè)器

9.4Lyapunov穩(wěn)定性分析9.5二次型最優(yōu)控制

非線性系統(tǒng)的初值問題初始條件不同，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性不同1、Lyapunov穩(wěn)定9.4Lyapunov

穩(wěn)定性分析x*Rr如果對(duì)于任何的R>0，存在與R相關(guān)的r(R)>0，使得對(duì)于所有的t0，如果有x(0)<r(R)，就有x(t)<R，則稱平衡點(diǎn)0是Lyapunov穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定的。如果至少存在一個(gè)R>0，對(duì)于任何r>0，無論r如何小，如果有x(0)<r，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，總有x(t)R，則稱平衡點(diǎn)0是不穩(wěn)定。1892年，俄國(guó)李雅普諾夫在《論運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》中建立了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性理論：2、漸近穩(wěn)定x*Rr平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的

則稱平衡點(diǎn)0是漸近穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性是等價(jià)的。3、線性化方法（Lyapunov第一方法）1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴(yán)格穩(wěn)定的（即A的所有特征值都嚴(yán)格位于左半S平面）則對(duì)原非線性系統(tǒng)，平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即A的特征值中至少有一個(gè)嚴(yán)格位于右半S平面上）則對(duì)原非線性系統(tǒng)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即A所有特征值都位于左半S平面，但至少有一個(gè)在虛軸上）則對(duì)原非線性系統(tǒng)，得不出任何結(jié)論。如果一個(gè)機(jī)械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)消耗（持續(xù)減小）的，那么該系統(tǒng)無論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定到某個(gè)平衡點(diǎn)。4、直接法（Lyapunov第二方法）四個(gè)判定定理……通過為系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)“類能量”的標(biāo)量函數(shù)(Lyapunov函數(shù))，并檢查該標(biāo)量函數(shù)的時(shí)變