第2章 平面問題的基本理論-習(xí)題

第二章平面問題的基本理論例如：深梁問題例1（習(xí)題2-3）試分析不受面力的空間體表面薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。

選擇坐標(biāo)系如圖。因該表面無任何面力，fx、fy、fz

=0,故表面上(σz

,

τzx

,

τzy)=0在近表面很薄一層(σz

,

τzx

,τzy)→0∴接近平面應(yīng)力問題。

例2（習(xí)題2-4）

按平面應(yīng)變問題特征來分析，本題中

只有

思考題設(shè)有厚度很大(即

z

向很長)的基礎(chǔ)梁放置在地基上,如果想把它近似地簡化為平面問題處理,問應(yīng)如何考慮?

思考題

1.試檢查，同一方程中的各項(xiàng)，其量綱必然相同（可用來檢驗(yàn)方程的正確性）。2.將條件ΣMc=0,改為對某一角點(diǎn)的ΣM=0，將得出什么結(jié)果？3.微分體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布，將得出什么結(jié)果？思考題

1.試證明微分體繞

z軸的平均轉(zhuǎn)動分量是

2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r，εx=a,εy=b,γxy=c，試求出對應(yīng)的位移分量。選擇習(xí)題

2—7、2—19。

思考題

1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。2.試證：三個主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。試根據(jù)空間問題的物理方程進(jìn)行解釋。3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)它們的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。

例1

列出邊界條件：

例2

列出邊界條件：思考題

1、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布壓力q作用，試列出應(yīng)力邊界條件，(圖(a))。2、證明在無面力作用的0A邊上，σy不等于零（圖(b)）。3、證明在凸角A點(diǎn)附近，當(dāng)無面力作用時，其應(yīng)力為零（圖(c)）。4、試導(dǎo)出在無面力作用時，AB邊界上的

σx,

σy

,

τxy

之間的關(guān)系。(圖(d))。5、試比較平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條件的異同，并進(jìn)一步說明它們的解答的異同。選擇習(xí)題2—13例1

試列出圖中的邊界條件。解：(a)在主要邊界y=±h/2應(yīng)精確滿足下列邊界條件：

在小邊界x=l，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，三個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。

在小邊界x=0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚δ=1時，例2

試列出圖中的邊界條件。解：(a)在主要邊界x=0,b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：

在小邊界y=0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚δ=1時，注意：在列力矩的條件時兩邊均是對原點(diǎn)O的力矩來計(jì)算的。對于y=h的小邊界可以不必校核。四、按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)：適用性廣─可適用于任何邊界條件。求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法、差分法、有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。例1考慮兩端固定的一維桿件。

圖(a)，只受重力作用，fx=0,fy=ρg。試用位移法求解。解：為了簡化，設(shè)μ=0

位移u=0,v=v(y)

按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，

第二式成為

y=0,l，位移邊界條件(v)y=0=0

∴

B=0

(v)y=l=0

∴

思考題1、試用位移法求解圖(b)的位移和應(yīng)力。2、試將彈性力學(xué)中平面問題的位移法與結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法相比，有那些相同

和不同之處？選擇習(xí)題

2—10。圖(b)圖(a)

例2

厚度δ=1的懸臂梁，受一端的集中力

F的作用。已求得其位移的解答是

試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。解：此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件

1、區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程

2、應(yīng)力邊界條件：在所有受面力的邊界上滿足。其中在小邊界Sσ上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件來代替。

3、位移邊界條件：本題在x=l的小邊界上，已考慮利用圣維南原理，使三個積分的應(yīng)力邊界條件已經(jīng)滿足。

因此，只需校核下列三個剛體的約束條件：A點(diǎn)（x=l及y=0），

讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。例1

試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在

解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即（a）相容；（b）須滿足B=0,

2A=C

；（c）不相容。除非C=0。

例2

在無體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在(相容性)：解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足相容方程。（a）此組應(yīng)力滿足相容方程。（b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0思考題

1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作比較。2.若

εx

=ay2,εy

=bx2,γxy

=(a+b)xy

是否可能成為彈性體中的形變？3.若fx=fy=0,σx=ax2,σy=bxy2,τxy=0是否可能為彈性體中的應(yīng)力？選擇習(xí)題2—16、2—17。例3

圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，

解：本題是按應(yīng)力求解的，在應(yīng)力法中，應(yīng)力分量在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程；（2）相容方程

將應(yīng)力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。（3）應(yīng)力邊界條件（在S=Sσ上）。在主要邊界上，例3

圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，

解：

將C1,C2代入(a),得到應(yīng)力公式,例3

解

將式（b）表達(dá)式代入次要邊界條件，由此可見，在次要邊界上的積分邊界條件均能滿足。因此，式（b）是圖示問題之解。

例4在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（厚δ=1）受任意的橫向荷載q(x)作用而彎曲時，彎曲應(yīng)力公式為

（a）試由平衡微分方程（不計(jì)體力）導(dǎo)出切應(yīng)力τxy和擠壓應(yīng)力σy的公式。（提示：注意關(guān)系式

積分后得出的任意函數(shù)，可由梁的上下邊界條件來確定。）

（b）當(dāng)q為常數(shù)時，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否滿足相容方程，試在σx中加上一項(xiàng)對平衡沒有影響的函數(shù)f(y)，再由相容方程確定f(y),并校核梁的左右邊界條件。

例4解：本題引用材料力學(xué)的彎應(yīng)力σx的解，作為初步的應(yīng)力的假設(shè)，再按應(yīng)力法求解。應(yīng)力分量必須滿足（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）應(yīng)力邊界條件（在S=Sσ上）。

（a）不計(jì)體力，將

代入平衡微分方程第一式，得

兩邊對

y積分，得

再由上下的邊界條件將τyx代入平衡微分方程的第二式,……

第二章

習(xí)題提示與答案

2－1

是2－2

是2－3

按習(xí)題2－1分析。2－4

按習(xí)題2－2分析。2－5

在ΣM=0的條件中，將出現(xiàn)二、三階微量。當(dāng)略去三階微量后，得出的切應(yīng)力互等定理完全相同。2－6

同上題。在平面問題中，考慮到二階微量的精度時，所得出的平衡微分方程都相同。其區(qū)別只是在三階微量（即更高階微量）上，可以略去不計(jì)。2－7

應(yīng)用的基本假定是：平衡微分方程和幾何方程─連續(xù)性和小變形，物理方程─理想彈性體。2－8

在大邊界上，應(yīng)分別列出兩個精確的邊界條件；在小邊界（即次要邊界）上，按照圣維南原理可列出三個積分的近似邊界條件來代替。2－9

在小邊界OA邊上，對于圖2－15（a）、（b）問題的三個積分邊界條件相同，因此，這兩個問題為靜力等效。2－10

參見本章小結(jié)。2－11

參見本章小結(jié)。2－12

參見本章小結(jié)。2－13

注意按應(yīng)力求解時，在單連體中應(yīng)力分量σx，σy，τxy必須滿足

（1）平衡微分方程，

（2）相容方程，

（3）應(yīng)力邊界條件（假設(shè)S=Sσ)。

所以（a）和（b）問題中的應(yīng)力雖然滿足了平衡微分方程和