《幾何概型》同步練習(xí)2

《幾何概型》同步練習(xí)一、選擇題1．用隨機模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實際概率的大小為n，則()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值[答案]D2．用均勻隨機數(shù)進行隨機模擬，可以解決()A．只能求幾何概型的概率，不能解決其他問題B．不僅能求幾何概型的概率，還能計算圖形的面積C．不但能估計幾何概型的概率，還能估計圖形的面積D．最適合估計古典概型的概率[答案]C[解析]很明顯用均勻隨機數(shù)進行隨機模擬，不但能估計幾何概型的概率，還能估計圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值，用均勻隨機數(shù)進行隨機模擬，不適合估計古典概型的概率．3．在線段AB上任取三個點x1、x2、x3，則x2位于x1與x3之間的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．1[答案]B[解析]因為x1，x2，x3是線段AB上任意的三個點，任何一個數(shù)在中間的概率相等且都是eq\f(1,3).4．設(shè)x是[0,1]內(nèi)的一個均勻隨機數(shù)，經(jīng)過變換y＝2x＋3，則x＝eq\f(1,2)對應(yīng)變換成的均勻隨機數(shù)是()A．0 B．2C．4 D．5[答案]C[解析]當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，y＝2×eq\f(1,2)＋3＝4.5．把[0,1]內(nèi)的均勻隨機數(shù)分別轉(zhuǎn)化為[0,4]和[－4,1]內(nèi)的均勻隨機數(shù)，需實施的變換分別為()A．y＝－4x，y＝5－4 B．y＝4x－4，y＝4x＋3C．y＝4x，y＝5x－4 D．y＝4x，y＝4x＋3[答案]C6．如圖所示，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木塊，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)鏢擊中線上或沒有投中木板時不算，可重投，記事件A＝{投中大圓內(nèi)}，事件B＝{投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)}，事件C＝{投中大圓之外}．(1)用計算機產(chǎn)生兩組[0,1]內(nèi)的均勻隨機數(shù)，a1＝RAND，b1＝RNAD.(2)經(jīng)過伸縮和平移變換，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到兩組[－8,8]內(nèi)的均勻隨機數(shù)．(3)統(tǒng)計投在大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿足a2＋b2<36的點(a，b)的個數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)次數(shù)N2(即滿足4<a2＋b2<16的點(a，b)的個數(shù))，投中木板的總次數(shù)N(即滿足上述－8<a<8，－8<b<8的點(a，b)的個數(shù))．則概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分別是()A．eq\f(N1,N)，eq\f(N2,N)，eq\f(N－N1,N) B．eq\f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N－N2,N)C．eq\f(N1,N)，eq\f(N2－N1,N)，eq\f(N2,N) D．eq\f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N1－N2,N)[答案]A[解析]P(A)的近似值為eq\f(N1,N)，P(B)的近似值為eq\f(N2,N)，P(C)的近似值為eq\f(N－N1,N).二、填空題7.利用計算機隨機模擬方法計算圖中陰影部分(如圖所示)．第一步：利用計算機產(chǎn)生兩個0～1之間的均勻隨機數(shù)，x，y，其中－1＜x＜1,0＜y＜1；第二步：擬(x，y)為點的坐標(biāo)．共做此試驗N次．若落在陰影部分的點的個數(shù)為N1，則可以計算陰影部分的面積S.例如，做了2000次試驗，即N＝2000，模擬得到N1＝1396，所以S＝________.[答案][解析]根據(jù)題意：點落在陰影部分的概率是eq\f(1396,2000)，矩形的面積為2，陰影部分的面積為S，則有eq\f(S,2)＝eq\f(1396,2000)，所以S＝.8．圖形ABC如圖所示，為了求其面積，小明在封閉的圖中找出了一個半徑為1m的圓，在不遠處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下：50次150次300次石子落在⊙O內(nèi)(含⊙O上)的次數(shù)m144393石子落在陰影內(nèi)次數(shù)n2985186則估計封閉圖形ABC的面積為________m2.[答案]3π[解析]由記錄eq\f(m,n)≈1∶2，可見P(落在⊙O內(nèi))＝eq\f(m,n＋m)＝eq\f(1,3)，又P(落在⊙O內(nèi))＝eq\f(⊙O的面積,陰影面積＋⊙O的面積)，所以eq\f(S⊙O,SABC)＝eq\f(1,3)，SABC＝3π(m2)9．利用隨機模擬方法計算y＝x2與y＝4圍成的面積時，利用計算器產(chǎn)生兩組0～1之間的均勻隨機數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND，然后進行平移與伸縮變換a＝a1·4－2，b＝b1·4，試驗進行100次，前98次中落在所求面積區(qū)域內(nèi)的樣本點數(shù)為65，已知最后兩次試驗的隨機數(shù)a1＝，b1＝及a1＝，b1＝，那么本次模擬得出的面積約為________．[答案][解析]由a1＝，b1＝得：a＝－，b＝，(－,落在y＝x2與y＝4圍成的區(qū)域內(nèi)，由a1＝，b1＝得：a＝－，b＝，(－,落在y＝x2與y＝4圍成的區(qū)域內(nèi)，所以本次模擬得出的面積約為16×eq\f(67,100)＝.三、解答題10．在長為14cm的線段AB上任取一點M，以A為圓心，以線段AM為半徑作圓．用隨機模擬法估算該圓的面積介于9πcm2到16πcm2之間的概率．[分析]圓的面積只與半徑有關(guān)，故此題為與長度有關(guān)的幾何概型．解答本題時只需產(chǎn)生一組均勻隨機數(shù)．[解析]設(shè)事件A表示“圓的面積介于9πcm2到16πcm2之間”．(1)利用計算器或計算機產(chǎn)生一組[0,1]上的均勻隨機數(shù)a1＝RAND；(2)經(jīng)過伸縮變換a＝14a1得到一組[0,14]上的均勻隨機數(shù)；(3)統(tǒng)計出試驗總次數(shù)N和[3,4]內(nèi)的隨機數(shù)個數(shù)N1(即滿足3≤a≤4的個數(shù))；(4)計算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為概率P(A)的近似值．11．利用隨機模擬方法主算如圖中陰影部分(曲線y＝2x與x軸，x＝±1圍成的部分)的面積．[解析](1)利用計算機產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，a＝(a1－×2，b＝b1×2，得到一組[－1,1]上的均勻隨機數(shù)和一組[0,2]上的均勻隨機數(shù)．(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點數(shù)N1.(4)計算頻率eq\f(N1,N)，即為點落在陰影部分的概率的近似值．(5)用幾何概型的概率公式求得點落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S,4)，eq\f(N1,N)＝eq\f(S,4)，所以S≈eq\f(4N1,N)，即為陰影部分的面積值．12．在如圖的正方形中隨機撒一把芝麻，用隨機模