教育部課題2023高一入學必修4教學隨筆

2023高一入學必修4教學隨筆《1.1.1任意角》=1\*CHINESENUM3一、角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？=2\*CHINESENUM3二、對于角的圖形特點有如下兩種認識：①角是由平面內(nèi)一點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所組成的圖形（如圖2）.你認為哪種認識更科學、合理？（圖略）答：一個是靜的，一個是動的。用動的更合理，因為靜止是相對的，運動時絕對的。=3\*CHINESENUM3三、=1\*Arabic1、問有沒有361°角？與1°有什么異同？能舉出現(xiàn)實生活中的例子來理解嗎？即它是有現(xiàn)實根據(jù)的，是來源于現(xiàn)實的。=2\*Arabic2、能不能說361°就是1°即361°=1°？為什么要區(qū)分361°、1°？答：361°、1°隱含的意義是不同的，雖然這種意義對事物的效果來說結(jié)果都是一樣也就是賭回到原來位置，我們區(qū)分361°、1°并不是區(qū)分這種意義的效果而是區(qū)分這種意義。比如361°是轉(zhuǎn)了一圈又回到1°的位置，我們要把這種區(qū)別區(qū)分開來，如果不區(qū)分那很不容易表達一些現(xiàn)象。這種區(qū)分有現(xiàn)實意義。比如：過去我們學習了0°～360°范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角．如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體1080°”、“轉(zhuǎn)體1260°”這樣的解說．再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角，不全是0°～3600范圍內(nèi)的角.因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣。=3\*CHINESENUM3三、=1\*Arabic1、先介紹幾個概念：始邊、終邊。（看幻燈片）=2\*Arabic2、旋轉(zhuǎn)有幾個方向？既然旋轉(zhuǎn)有方向，那我們可以規(guī)定……。你能說出這種規(guī)定它的現(xiàn)實來源嗎？即規(guī)定正角、負角對現(xiàn)實世界的解釋是不是更容易清晰？舉個例子：如果只給出30°，那我們就不知道這是逆時針旋轉(zhuǎn)還是順時針旋轉(zhuǎn)。如果規(guī)定正角、負角的意義，那隨便給出多少度，我們就知道他的意義。答：規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個零角。還是體操、鐘表、跳臺等等的例子。=3\*Arabic3、這樣子角的范圍變的多大？稱為什么角？任意角的分類與實數(shù)的分類有什么關(guān)系？答：負無窮到正無窮。任意角。相似。=4\*Arabic4、你會做出210°、-150°、-660°的角嗎？=5\*Arabic5、如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時間校準？=6\*Arabic6、任意兩個角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？=4\*CHINESENUM3四、=1\*Arabic1、為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，你想想角的頂點該在哪里，始邊該在哪里？，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？=2\*Arabic2、如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？=3\*Arabic3、銳角與第一象限的角是什么邏輯關(guān)系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關(guān)系？直角與軸線角是什么邏輯關(guān)系？=4\*Arabic4、第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？答：象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.=5\*CHINESENUM3五、=1\*Arabic1、終邊相同的角比如與1°角有多少個？他們有規(guī)律嗎？能用符號把他們表達出來嗎？答：1°+k?360°=2\*Arabic2、1°還可以改為多少度？k?360°幾何意義是什么？k?180°,k?90°幾何意義是什么？=3\*Arabic3、能從簡單具體例子推廣為一般嗎？=4\*Arabic4、寫出終邊在y軸上角的集合，有規(guī)律嗎？先看書的解法，繁不繁？難不難？抽象不抽象？它是從代數(shù)角度來解的。有直觀的幾何角度的解法嗎？=5\*Arabic5、用上面直觀的幾何角度的解法解出終邊在坐標軸上角的集合，有規(guī)律嗎？。寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，有規(guī)律嗎？并把S中適合不等式-360°到720°的角找出來。=6\*Arabic6、第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？=7\*Arabic7、如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分別是第幾象限的角？《1.1.2弧度制》=1\*CHINESENUM3一、繼續(xù)上節(jié)課。=1\*Arabic1、如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分別是第幾象限的角？=2\*Arabic2、P9習題1.1A組第二題、第五題。=3\*Arabic3、換個角度看問題：2023-1-17睡覺的時候想到了把0°到360°推廣為任意角的一個形象的比喻，就是0°到360°對于任意角是個受精卵，任意角有這個受精卵發(fā)育生成，那到底是如何發(fā)育生成，就是逆時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈，順時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈。所以在解終邊在y軸上角的集合時，這樣的角有無數(shù)個，但有什么角發(fā)育生成，如何發(fā)育生成。即有90°或270°發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成，就是逆時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)個半圈，或順時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)個半圈。同理，對于寫出終邊在坐標軸上角的集合，可以有0°或90°或180°或270°這個受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成就是逆時針或順時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)個1/4圈。對于終邊在直線y=x上角的集合也一樣。還有就是沒有時間寫出終邊在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。這些集合也可以用上述思路來分析。比如終邊在第一象限角的集合有0°到90°這個受精卵發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成？就是旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈。事物的發(fā)生發(fā)展可以有一個形象的比喻就是人有受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成學了生物就知道，《道德經(jīng)》里的一句名言：“道”生一，一生二，二生三，三生萬物。受精卵相當于“道”。=2\*CHINESENUM3二、=1\*Arabic1、大家知道不知道度量一個物體的長短或路程的遠近我們是怎么說的？答：多少米，多少公里。=2\*Arabic2、大家知道1米是多長？度量長度有幾種單位制？相互之間轉(zhuǎn)換知道嗎？度量重量有幾種單位制？相互之間轉(zhuǎn)換知道嗎？答：米、英尺、碼。千克、磅?？梢园俣取Ｒ韵罗D(zhuǎn)換來自百度：米：等于氪-86原子的2p10和5d5之間躍遷所對應(yīng)的輻射在真空中的1,650,763.73個波長的長度。1英尺(呎)=12英寸(吋)=30.48厘米。關(guān)于英尺的來歷：正如如同英尺的英文單詞意義一樣，foot,簡稱ft，古英國時期因為沒有國際公認的度量單位，所以人們往往使用自己的腳來測量實地的面積，久而久之，一種基于成年男子單腳的長度就被公認為英國等國家人可得標準度量衡。德國人出了一招，讓最早從教堂出來的16個男子量出左腳的長度加在一起，再除以16，商就是一尺。碼：英制長度單位,美制碼等于0.9144米,在英國,則1碼等于保存在威斯敏斯特商務(wù)部標準局的青銅棒兩個金塞子上橫線標記之間的距離(在62癋時)[yard(縮寫yd)]磅：英美制重量單位，1磅等于0.45359237千克。=3\*Arabic3、為什么會有多種單位制？單位制的本質(zhì)是什么？答：一是各個國家歷史原因，二是每個單位制各有千秋。為了度量物體的長短、輕重、大小我們只能先規(guī)定一個單位是什么東西，然后讓物體跟這個單位比較看看有多少個單位，這就是單位制的本質(zhì)。=4\*Arabic4、角的單位制是什么？是如何規(guī)定的？這種規(guī)定有什么優(yōu)劣？如果有劣該如何？答：出示PPT。=5\*Arabic5、一弧度如何規(guī)定？出示PPT，完成P6探究。=3\*CHINESENUM3三、接下去跟百度出來的課件一樣?！?.1.2弧度制》反思=1\*Arabic1、在我叫同學們回憶角度制的弧長公式和扇形公式時同學們是靠記憶說出，這是死知識，我們要把死知識變成活知識，即知道公式是如何得來的。=2\*Arabic2、為什么弧度制有些同學覺得難適應(yīng)，是因為角度制是一種思維方式，弧度制是一種思維方式，并且我們已經(jīng)習慣了角度制的思維方式。我舉個例子，我們從小成長在中國，適應(yīng)了中國文化也習慣用中國人思維看問題，一下子到了美國就不習慣美國文化，不習慣美國人看問題的思維方式。這得了“文化休克癥”，百度：文化休克，得到下面信息。“文化休克”(CulturalShock)是1958年美國人類學家奧博格(KalveroOberg)提出來的一個概念，是指一個人進入到不熟悉的文化環(huán)境時，因失去自己熟悉的所有社會交流的符號與手段而產(chǎn)生的一種迷失、疑惑、排斥甚至恐懼的感覺。“休克”本來是指人體重要功能的喪失，如身體失血過多，呼吸循環(huán)功能衰竭等。但是，當一個長期生活于自己母國文化的人突然來到另一種完全相異的新的文化環(huán)境中時，其在一段時間內(nèi)常常會出現(xiàn)這種文化休克的現(xiàn)象?！?.2.1任意角的三角函數(shù)》=1\*CHINESENUM3一、=1\*Arabic1、我們還記不記得在高中是如何重新學習函數(shù)的？同學們,我跟你們講一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2023年暑假我到海門參加他的新教育實驗會，我看了他的報告。朱老師把全國老師看的清清楚楚。朱老師為什么能把全國老師看的清清楚楚，因為他站的角度與他人不一樣，站的高度很高很高。比如誰可以把溫州人民看的清清楚楚，那這個人可以當溫州市市委書記，把浙江人民看的清請楚楚，那這個人可以當浙江省委書記，把全國人民看的清請楚楚，那這個人可以當國家主席。人只有站在較高一個層次才能看清較低層次的事情。把國家看的清請楚楚的人一定可以把浙江人民看的清請楚楚，把浙江人民看的清請楚楚的人，一定可以把溫州人民看的清請楚楚。反之不一定。我再舉例子，你把高等數(shù)學看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等數(shù)學看的清清楚楚。但你把初等數(shù)學看的清清楚楚，高等數(shù)學也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上可以把小學、初中、數(shù)學看的清清楚楚，但對高等數(shù)學看不清清楚楚。我畫一個圖形給你們看。在你們面前有個正方形的盒子，沒蓋，里面有一只哈巴狗。當你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面這個面的中位線中點，那你可以把這個盒子的前面看的清清楚楚，但這只哈巴狗你看不見。接下去我們這樣，我們改變眼睛的角度與高度，把眼睛上升，上升到眼睛還是在前面這個面的前面，但高度上升到盒子上面那個面的上面，這時，我們依然把前面這個面看的清清楚楚，但發(fā)現(xiàn)了許多新東西，比如我們看到了盒子里有只哈巴狗。所以改變角度，上升高度，原來的事情依然可以看的清清楚楚，并且把發(fā)現(xiàn)的新東西也可以看的很清楚。我為什么要講這些東西，因為我們今天學習函數(shù)的概念。=2\*Arabic2、初中三角函數(shù)定義3、高中三角函數(shù)定義（先不考慮單位圓）4、單位圓的三角函數(shù)定義（高度一樣，角度不同，是特殊情況）以上四點PPT打出。PPT百度搜索。=5\*Arabic5、把全國人民看的清清楚楚難不難？我說有沒有人把高一（3、4）班同學看的清清楚楚？看清楚了可以當班級的什么干部？答：班長。=6\*Arabic6、只有政治家把全國人民看的清清楚楚嗎？答：思想家、文學家、哲學家等等吧全國人民看清楚，他們只是從不同的角度吧全國人民看清楚。=7\*Arabic7、有的同學可能會問，在每個象限三角函數(shù)的定義比如正弦、余弦、正切都是一樣，那是不是每個象限三角函數(shù)值也一樣。我們一個個分析下正弦、余弦、正切。=8\*Arabic8、在對三角函數(shù)定義教學的時候你們可能提出，正弦、余弦、正切為什么要這樣定義，那樣定義不行嗎？回答：可以，數(shù)學的本質(zhì)在於它的自由.－－－康扥爾(Cantor)。但數(shù)學上概念的定義不是胡來，而是要能跟現(xiàn)實吻合，能解決現(xiàn)實問題。=2\*CHINESENUM3二、這個課件是綜合了自己的課件與百度搜索來的別人的課件?！?.2.1三角函數(shù)線》教案=1\*Arabic1、同學們比較一下，代數(shù)與幾何哪一種抽象？哪一種直觀？直觀有是什么好處？=2\*Arabic2、三角函數(shù)屬于代數(shù)，今天我們就把三角函數(shù)直觀化。如何直觀化？我們先學習一個概念：有向線段。=3\*Arabic3、顧名思義有向線段就是：答：有方向的線段。=4\*Arabic4、方向如何規(guī)定？答：與坐標軸（x軸、y軸）同向為正，反向為負=5\*Arabic5、有向線段特點與平時線段異同答：即有方向又有大小，平時線段只有大小=6\*Arabic6、為什么有向線段可以把三角函數(shù)直觀化？答：方向?qū)儆趲缀?，大小屬于代?shù)。所以有向線段是代數(shù)連接幾何的紐帶。=7\*Arabic7、綜合自己的教學設(shè)計與百度到的教學設(shè)計?！?.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》教案=1\*Arabic1、我們知道事物的發(fā)生發(fā)展過程可以引用《道德經(jīng)》里一句話：道生一，一生二，二生三，三生萬物。我們還有個形象比喻就是事物的發(fā)生發(fā)展過程相當于受精卵發(fā)育發(fā)展，生成一個人。目前有四個“道”或“受精卵”：任意角的推廣、一弧度的定義、寫出終邊相同角的集合的時先找到受精卵、三角函數(shù)的定義。=2\*Arabic2、根據(jù)三角函數(shù)的定義這個“道”或“受精卵”找到正弦與余弦的關(guān)系。正弦、余弦、正切的關(guān)系。=3\*Arabic3、綜合自己的教學設(shè)計與百度到的教學設(shè)計?！?.3三角函數(shù)的誘導公式》備課后反思=1\*Arabic1、這一節(jié)教學設(shè)計思考過來思考過去還是逃不出傳統(tǒng)設(shè)計。不過思考過來思考過去也是一會兒工夫。誘導公式不只6組，要讓學生知道這不只6組的關(guān)系，其實真正獨立的只有三組，其他幾組可以有這三組推倒出來。要讓學生知道組與組之間的關(guān)系。讓知識形成一個網(wǎng)絡(luò)。=2\*Arabic2、與的關(guān)系我們不從一般化推導，我們從特殊例子來總結(jié)，=0°、15°、30°、45°、75°、90°。同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導公式的反思=1\*Arabic1、這幾節(jié)有個特點就是知識點不是很深不難理解，但要靈活運用，既然靈活運用那就涉及到運算技巧，所以運算技巧很高，既然運算技巧高，那就不容易想到。一些題目如果運算途徑不恰當那運算量就很大。=2\*Arabic2、運算途徑有遠路、中路、近路。近路如何發(fā)現(xiàn)，那就是對遠路非常熟悉。=3\*Arabic3、據(jù)有人試驗不知是誰，如果一個完全不懂的人要熟能生巧，那至多重復40次，所以有的同學一次就可以，有的同學要2次，有的同學要三次。我黑板上只能重復一次，需要我再重復的請課外問?！?.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教案=1\*CHINESENUM3一、當我們沒見過、沒做過三角函數(shù)的圖象時要求我們畫出正弦函數(shù)的圖象，我們有沒有覺得是一種圖象不知是什么東東的感覺？今天要畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象那該怎辦？我們還記得這道題目嗎？對2023年山東高考數(shù)學理科試卷第6題分析=1\*Arabic1、試題:分析：當我們不知道一個事物是什么東西的時候怎么辦？這個事物是怎樣子的我們不知道，沒關(guān)系。幾千年來人類一直在探討人是什么東西？如果你知道人是什么東西你就出名了。比如馬克思提出人是各種社會關(guān)系的總和。但我們不知道人是什么東西不要緊，我們可以知道人的一些直觀的性質(zhì)，比如有一個鼻子、兩個耳朵，一雙手、一雙腳等等。所以這個函數(shù)我們不知道它是什么東西，但可以研究它的性質(zhì)。比如是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱。定義域是實數(shù)去掉0，單調(diào)性是x趨向于+無窮，y趨向于1，x趨向于0，y趨向于+無窮或-無窮。所以選A。事物的本質(zhì)是抽象的，事物的性質(zhì)是直觀的。=2\*CHINESENUM3二、正弦函數(shù)的性質(zhì)：Sin(-x)=-sinx，所以是奇函數(shù)。sin1°=sin(360°+1°)=sin(360°+360°+1°)=……。Sin2°=sin(360°+2°)=sin(360°+360°+2°)=……。Sin3°=sin(360°+3°)=sin(360°+360°+3°)=……。Sin4°=sin(360°+4°)=sin(360°+360°+4°)=……。Sin5°=sin(360°+5°)=sin(360°+360°+5°)=……。……，Sin359°=sin(360°+359°)=sin(360°+360°+359°)=……。這個稱為周期性。我們只須畫出0°到360°正弦函數(shù)的圖象。=3\*CHINESENUM3三、在前面一節(jié)課我們把三角函數(shù)進行了直觀化，用什么表示？下面我們來畫。不用PPT演示過程，用手演示。=4\*CHINESENUM3四、上述方法能畫余弦函數(shù)的圖象嗎？能有其他簡單方法嗎？=5\*CHINESENUM3五、對于在0°到360°之間的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)你覺得在圖象上哪幾點是最重要的。=6\*CHINESENUM3六、你能用幾種方法畫出下列圖象？哪種方法你比較上手？=1\*GB2⑴、y=1+sinx=2\*GB2⑵、y=-cosx《1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》=1\*CHINESENUM3一、某一天是星期一，如何用符號表示？經(jīng)過7天是星期幾？如何用數(shù)學符號表示？再經(jīng)過7天呢？再再經(jīng)過7天呢？答：f(x)=1，f(x+7)=1，f(x+7+7)=1，f(x+7+7+7)=1=2\*CHINESENUM3二、得到什么結(jié)論？答：f(x+7)=f(x)，f(x+7+7)=f(x)，f(x+7+7+7)=f(x)=3\*CHINESENUM3三、你會畫這個函數(shù)的圖形語言嗎？x=4\*CHINESENUM3四、你會求這個對應(yīng)法則嗎？其實是不做要求的。=5\*CHINESENUM3五、求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，說出最小正周期。周期有什么用？=6\*CHINESENUM3六、求下列函數(shù)的周期（1)y=sinx(2)y=2sinx(3)y=sin2x(4)y=2sin2x=7\*CHINESENUM3七、如果把sin變cos呢？（注：（1）求函數(shù)周期要緊緊抓住f(x+T)=f(x)，而教材的解法比較難理解。對于周期，用抽象的周期定義求周期反而具體，而如果離開周期定義求周期，具體的反而抽象。雖然定義是抽象的，但對于求函數(shù)周期根據(jù)定義反而具體。（2）同學們能不能用幾何意義對求周期做出聲明？Sin2x周期為什么是“”？因為sinx周期是“2”，就是旋轉(zhuǎn)一圈回到原來位置，從新開始，因為x有系數(shù)2，所以旋轉(zhuǎn)半圈乘以2就是一圈，所以sin2x周期是“”。=8\*CHINESENUM3八、如果一個函數(shù)f(x+T)=f(x)，我們就稱這樣的函數(shù)是周期函數(shù)。若f(x+T)=f(x)，則f(x+T+T+…….)=f(x)。T>0，T稱為最小正周期。六、求函數(shù)f七、求函數(shù)f八、如果函數(shù)y=f(x)的周期是T，求y=f(ωx)的周期。=9\*CHINESENUM3九、求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸。對稱軸、對稱中心有什么性質(zhì)？跟周期有什么關(guān)系？答：最短距離的兩個對稱中心是半個周期，最短距離的兩條對稱軸是半個周期。對稱中心對應(yīng)最大、小值，對稱中心對應(yīng)的函數(shù)值是零。11注意：正弦函數(shù)的對稱軸時要與周期的第二個定義聯(lián)系起來。對稱中心不做要求例：周期的第二定義（具體例子）：f(4-x)=f(4+x)且f(6-x)=f(6+x)。先猜周期再推導周期。注：在求sinx、sin2x的周期時，除了根據(jù)周期定義f(x+T)=f(x)外，其實求解過程中有幾何意義，如果說出幾何意義，那就更容易懂。我教了11年，在我們學校，學生對這兩個三角函數(shù)的周期混淆起來，其實還與2sinx、2sin2x混淆起來。Sin2x周期為什么是“派”？因為sinx周期是“2派”，就是旋轉(zhuǎn)一圈回到原來位置，從新開始，因為x有系數(shù)2，所以旋轉(zhuǎn)半圈乘以2就是一圈，所以sin2x周期是“派”。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期反思=1\*Arabic1、求函數(shù)的周期一般是求最小正周期=2\*Arabic2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為什么不是？=3\*Arabic3、同學們可能問如果對一個函數(shù)一無所知，那如何求周期如何證明周期？答：歷史上一個著名的數(shù)學難題是慢慢摸索出來的，有時候一個數(shù)學問題的解決要經(jīng)過100多年。《1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》1、同學們看正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖，如何研究它的單調(diào)性？答：先找一個合理的周期，在這個周期內(nèi)研究它的單調(diào)性，再根據(jù)周期的意義進行總結(jié)。2、單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間有無窮多個，我們不能用列舉法，只能用描述法，那如何用描述法表示無窮多個區(qū)間？答：道生一，一生二，二生三，三生萬物。3、對于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，什么時候取最大值？什么時候取最小值？這些點多不多？能用列舉法表示嗎？如何用描述法表示？答：道生一，一生二，二生三，三生萬物。例3.下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時的自變量x的集合，并說出最大值、最小值分別是什么？（10）如果把sin變?yōu)閏os呢？例4.不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0.注（1）把角轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間或同一個周期內(nèi)，根據(jù)圖像比較（2）根據(jù)三角函數(shù)線比較1、求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。（10）如果把sin變?yōu)閏os呢？正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象=1\*Arabic1、同學們還記得如何做出正弦函數(shù)的圖像嗎？=1\*GB3①、當我們沒見過、沒做過三角函數(shù)的圖象時要求我們畫出正弦函數(shù)的圖象，我們有沒有覺得是一種圖象不知是什么東東的感覺？今天要畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象那該怎辦？我們還記得這道題目嗎？對2023年山東高考數(shù)學理科試卷第6題分析=1\*Arabic1、試題:分析：當我們不知道一個事物是什么東西的時候怎么辦？這個事物是怎樣子的我們不知道，沒關(guān)系。幾千年來人類一直在探討人是什么東西？如果你知道人是什么東西你就出名了。比如馬克思提出人是各種社會關(guān)系的總和。但我們不知道人是什么東西不要緊，我們可以知道人的一些直觀的性質(zhì)，比如有一個鼻子、兩個耳朵，一雙手、一雙腳等等。所以這個函數(shù)我們不知道它是什么東西，但可以研究它的性質(zhì)。比如是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱。定義域是實數(shù)去掉0，單調(diào)性是x趨向于+無窮，y趨向于1，x趨向于0，y趨向于+無窮或-無窮。所以選A。事物的本質(zhì)是抽象的，事物的性質(zhì)是直觀的。=2\*GB3②、正弦函數(shù)的性質(zhì)：Sin(-x)=-sinx，所以是奇函數(shù)。sin1°=sin(360°+1°)=sin(360°+360°+1°)=……。Sin2°=sin(360°+2°)=sin(360°+360°+2°)=……。Sin3°=sin(360°+3°)=sin(360°+360°+3°)=……。Sin4°=sin(360°+4°)=sin(360°+360°+4°)=……。Sin5°=sin(360°+5°)=sin(360°+360°+5°)=……?！琒in359°=sin(360°+359°)=sin(360°+360°+359°)=……。這個稱為周期性。我們只須畫出0°到360°正弦函數(shù)的圖象。=3\*Arabic3、復習如何做出正弦函數(shù)的圖像=4\*Arabic4、正切函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①、1、定義域：=2\*GB3②、奇偶性=3\*GB3③、周期性及其作用=4\*GB3④、單調(diào)性=5\*GB3⑤、值域=5\*Arabic5、百度課件做出正切函數(shù)的圖像=6\*Arabic6、求下列函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間《正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象》反思=6\*Arabic6、求下列函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間反思：=1\*GB3①、求周期時的兩個角度：一是幾何角度，二是代數(shù)角度即周期的代數(shù)定義。=2\*GB3②、同學們學到這里會經(jīng)歷高原現(xiàn)象，就是體育課長跑中遇到極點。只要堅持就能跨過去?！?1\*CHINESENUM3一、為什么函數(shù)y=Asinωx+φ重要？=2\*CHINESENUM3二、如何研究答：只要把具體的數(shù)字的簡單的研究透了就可以上升到字母的符號的復雜的抽象的形式。只要具體的數(shù)字的簡單的運算熟練了才能上升到符號的字母的復雜的抽象的運算。=3\*CHINESENUM3三、百度課件。如何記住特殊角的特殊函數(shù)值？根據(jù)高考考剛要求，特殊角的特殊函數(shù)值是要熟練靈活掌握的，根據(jù)我了解，特殊角的特殊函數(shù)值起碼有50﹪以上的同學沒掌握。但如果孤立一個個的去死記硬背那學習負擔很重，有沒有輕松的學習方法？以下方法供參考。我們畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，讓這些特殊值，這水平直線與圖象的交點橫坐標就是特殊角，我們只要記住初中里的特殊角，其他根據(jù)平移、對稱就可以得到。為什么上課聽的懂，課后習題不會做？=1\*CHINESENUM3一、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像反思=1\*Arabic1、初相和位置的關(guān)系初相就是x=0的時候那個φ，把φ經(jīng)過解析式的計算就得到位置，同學們可以結(jié)合單擺運動來理解。=2\*CHINESENUM3二、為什么上課聽的懂，課后習題不會做？我可以打個比方，我們上課學習的是貓是怎樣的，如果是課后習題或考試考的是狗是怎樣的。要想考試考的出來，我們就要知道貓狗的聯(lián)系和區(qū)別，貓懂狗嗎？狗懂貓嗎？只有貓懂狗，狗懂貓才能做出題目。貓有貓的語言，狗有狗的語言，但貓的語言和狗的語言是有共同地方的，都是大自然進化的結(jié)果，可我們不知道，所以課后習題考試考不出來。函數(shù)的反思=1\*Arabic1、如何講解通過怎樣平移得到答：這里是向右平移，不是向右平移。如果是向右平移那就是把2x看成整體是2x向右平移，于是畫圖時橫坐標應(yīng)當標記為2x。如果x向右平移，那2x就是向右平移。是x平移不是2x平移，因為橫坐標是標記x不是標記2x。就像為什么y=sin2x的周期是，因為y=sinx的周期是2，就是旋轉(zhuǎn)一圈又回到原來位置，所以只要x旋轉(zhuǎn)半圈，那2x就是旋轉(zhuǎn)一圈?！断蛄俊返谝还?jié)這一節(jié)新知識新概念很多，該如何學習？=1\*Arabic1、不是死記硬背，而是顧名思義。要達到只要懂的漢字就可以理解本節(jié)。=2\*Arabic2、向量的符號、模的符號、線段符號、線段的長度符號、有向線段的大小方向符號會不會混淆？答：高中數(shù)學知識是屬于幾百年之前的事了，幾百年之前的數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)在是非常完美了，所以同學們不用擔心符號會混淆，只要我們看到一個數(shù)學符號其實馬上就知道是什么東西。=3\*Arabic3、為什么規(guī)定零向量的方向是任意的我能不能這樣解釋?假如規(guī)定零向量的方向是向東,那也可以規(guī)定零向量的方向是向西、向南、向北，所以干脆就規(guī)定是任意。=4\*Arabic4、平行向量與共線向量是一回事說明平移不改變向量的大小和方向，平移不改變向量的任何內(nèi)含。學習、測試、會考、高考區(qū)別的一個形象比喻學習學的是小時候貓怎樣，測試有時候測貓長大了怎樣，所以考試難度加大。有時候考貓老了怎樣。會考小時候考貓怎樣，有時候考貓長大了貓怎樣，有時候考貓老了怎樣。高考難在平時測試時考貓怎樣，高考考狗怎樣。貓狗的關(guān)系很緊密又不同。有句話是三歲看大，七歲看老。對于人生經(jīng)驗豐富的人來說，他看到這個人三歲的樣子可以估算出長大了的樣子，看到這個人七歲的樣子可以知道他老了的樣子?！断蛄俊返诙?jié)=1\*CHINESENUM3一、向量加法有三角形法則與平行四邊形法則，數(shù)學上為什么要這樣規(guī)定？我那樣規(guī)定不行嗎？注意什么？答：數(shù)學上的定義、規(guī)定不是胡來的，而是有深刻的現(xiàn)實基礎(chǔ)。三角形法則是向量首尾相連，平行四邊形法則是起點重合?！断蛄考臃ㄟ\算及其幾何意義》的反思=1\*Arabic1、向量加法滿足交換律與結(jié)合律的證明根據(jù)什么只能根據(jù)什么？答：向量加法的定義=2\*Arabic2、向量的大小可正可負，那向量的模只能是正的或等于0，請問模的符號好不好？這個符號會讓你產(chǎn)生模是負的嫌疑嗎？答：符號形象生動，只要與數(shù)的絕對值聯(lián)系起來就可以理解。=3\*Arabic3、在書寫向量的時候記住一條，也就是符號要讓人一看就知道是什么含義不要讓人誤會和嫌疑。舉個例子零向量的書寫。符號都是數(shù)學家創(chuàng)造出來的，是禁得起歷史的考驗。數(shù)學家都是天才。=4\*Arabic4、符號表達向量的加法要知道有兩層意義在運算，一層是大小的運算，一層是方向的運算。=5\*Arabic5、實數(shù)滿足交換律和結(jié)合律你覺得向量滿足嗎？為什么？答：世界是和諧的，雖然有時候無奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。6、兩向量相加如果不共線則用三角形法則或平行四邊形法則，但有種情況要區(qū)別對待那就是共線，而共線又分成同向和反向但也是首位相連。7、學生問題：向量有什么用可以舉一例：用向量證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。此題學生反映是給人耳目一新的感覺，跟初中不一樣的感覺。2.2.2向量減法運算及其幾何意義=1\*Arabic1、如何做出一個向量減去另一個向量？答：一個向量減去另一個向量就是加上另一個向量的相反向量，之后轉(zhuǎn)化為用三角形法則或平行四邊形法則。教材上是越講越亂，我們不要理他。=2\*Arabic2、舉一個例子演示向量的減法運算，包括共線和不共線。=3\*Arabic3、=1\*GB3①、畫一個三角形先不規(guī)定方向，你根據(jù)向量加法減法定義可以得到多少結(jié)論？=2\*GB3②、畫一個平行四邊形也不規(guī)定方向，你根據(jù)向量加法減法定義可以得到多少結(jié)論？答：對角線垂直、對角線相等、對角線垂直且相等。三角形兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊的向量表達方式?！?.2.2向量減法運算及其幾何意義》反思1、實數(shù)減法的規(guī)定和運算性質(zhì)與向量減法的規(guī)定及運算性質(zhì)是類似的，為什么？答：世界是和諧的，雖然有時候無奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。2、在畫一個三角形先不規(guī)定方向能得到多少結(jié)論時，我們發(fā)現(xiàn)要得到減法首先要得到加法，然后通過移項得到減法。3、如何做出一個向量減去另一個向量？答：一個向量減去另一個向量就是加上另一個向量的相反向量，之后轉(zhuǎn)化為用三角形法則或平行四邊形法則。教材上是越講越亂，我們不要理他。=4\*Arabic4、兩向量共線時加法、減法的直觀理解答：當兩向量不共線時加法、減法可以用三角形法則或平行四邊形法則。因為兩向量不共線兩向量可以構(gòu)成三角形或平行四邊形。原型是位移模型和力的合成。如果共線我們還是用位移模型。相當于一個人從起點出發(fā)，到最后的實際位移向量數(shù)乘運算及其幾何意義=1\*Arabic1、規(guī)定=2\*Arabic2、，，即括號省略不寫。注：如果規(guī)定某個東西，這說明這個東西本來是沒有的。=3\*Arabic3、問隱含的意義相同嗎？如果相同結(jié)果一樣嗎？答：隱含的意義不同，結(jié)果都記住。=4\*Arabic4、實數(shù)乘法運算律同學們還記得嗎？設(shè)a、b為實數(shù)，則：問：如果把實數(shù)a、b改為運算律還成立嗎？為什么？如何驗證？答：還成立，因為世界是和諧的，雖然有時候無奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。用特殊値法驗證。令等于簡單的數(shù)字。=5\*Arabic5、如果共線，用數(shù)乘角度你能得到什么么結(jié)論？答：先分類討論：=1\*GB3①，=2\*GB3②，則=3\*GB3③=4\*GB3④，=6\*Arabic6、定理：向量則當且僅當有唯一一個實數(shù)=1\*GB3①問學習數(shù)學是記住定理然后去套嗎？答：不是記住定理去套，而是要深刻理解定理的本質(zhì)。如果是去套，一般考個高職或?qū)？啤?7\*Arabic7、學了向量有什么用？=1\*GB3①用向量證明三角形中位線定理。向量數(shù)乘運算及其幾何意義》反思=1\*CHINESENUM3一、向量數(shù)乘運算律是如何發(fā)現(xiàn)的？向量數(shù)乘運算律如下：因為學習數(shù)學要經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，個體學習數(shù)學的過程相當于重復歷史上人類發(fā)現(xiàn)學習數(shù)學的過程。有的老師如何再創(chuàng)造向量數(shù)乘的運算律？那就是讓讓學生發(fā)現(xiàn)這個運算律，即從特殊到一般。那歷史上果真是這樣子的嗎？其實歷史上發(fā)現(xiàn)向量數(shù)乘的運算律不是這樣發(fā)現(xiàn)的，而是通過類比發(fā)現(xiàn)的，那就是實數(shù)的乘法滿足這個運算律，那猜想向量數(shù)乘是否滿足這個運算律？因為世界是和諧的，雖然有時候無奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。然后或驗證或證明。=2\*CHINESENUM3二、當在黑板上畫出時得到是，有同學覺得不唯一，因為不同的有不同的。其實這里要得到前提條件是是確定的。2.3.1平面向量的基本定理=1\*Arabic1、為了使基本定理表達更直觀更通俗易懂，我們稱是第一、第二個向量，稱為第三個向量。=2\*Arabic2、為什么唯一，因為第一、第二、第三個向量只能做一個平行四邊形。=3\*Arabic3、如圖不共線，，用表示。這道題目在敘述的時候如何才能通俗易懂？我們說P、A、B是前三個點，O是第四個點，要證三點共線，我們?nèi)〉谒膫€點。2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示=1\*CHINESENUM3一、在平面直角坐標系中向量的坐標和點的坐標的區(qū)別：=1\*Arabic1、如果一個向量坐標確定則這向量的大小和方向就能確定，但它在平面直角坐標系中的位置不能確定，它可以在平面直角坐標系中任意的平移，因為平移不改變向量的大小和方向。如果點的坐標確定，那這個店在平面直角坐標系中的位置就可以確定。=2\*Arabic2、如果向量的起點是原點即平移到原點，那向量就能確定，且向量的終點坐標就是向量的坐標。=3\*Arabic3、如果向量的起點不是原點，那向量的坐標和向量的起點坐標終點坐標的關(guān)系是：一個向量的坐標等于此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標?？偨Y(jié)：一個向量在坐標系中有三個關(guān)鍵詞：大小、方向、位置。=2\*CHINESENUM3二、為什么正交分解很重要？因為現(xiàn)實中有太多的模型，比如重力的分解等等。=3\*CHINESENUM3三、在平面直角坐標系內(nèi)畫向量先畫點，讓點是向量終點，起點是原點。2.3.4_平面向量共線的坐標表示=1\*CHINESENUM3一、同學們還記得兩向量共線可以分成幾種情況嗎？如果共線，用數(shù)乘角度你能得到什么么結(jié)論？答：先分類討論：=1\*GB3①，=2\*GB3②，則=3\*GB3③=4\*GB3④，=6\*Arabic6、定理：向量則當且僅當有唯一一個實數(shù)=1\*GB3①問學習數(shù)學是記住定理然后去套嗎？答：不是記住定理去套，而是要深刻理解定理的本質(zhì)。如果是去套，一般考個高職或?qū)？啤?2\*CHINESENUM3二、=1\*Arabic1、我們知道=1\*GB3①、=4\*GB3④得到上面的定理。下面我們這樣子：對于=1\*GB3①，我們把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩向量坐標有什么關(guān)系。，，，則，所以消去，得：，因為，所以還可以表示成：。注：這里先假定各分母0。因為雖然但分母還是有可能=0。都可以當分母，但至多兩個分母=0。=2\*Arabic2、問=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④還滿足上述關(guān)系嗎？答：=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④都滿足，但不一定滿足。都可以當分母，但至少兩個分母=0。=3\*Arabic3、問學習數(shù)學是記住結(jié)論然后去套嗎？答：不是記住結(jié)論然后去套，而是要深刻理解結(jié)論的本質(zhì)。如果是去套，一般考個高職或?qū)？啤?4\*Arabic4、定比分點公式要告訴學生高考是考過程不是考結(jié)果。平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義=0\*CHINESENUM3零、向量的數(shù)量積是規(guī)定，既然是規(guī)定那就說明世界上本來沒有這個東西，為什么要固定那就是讓向量威力更強大。=1\*CHINESENUM3一、問向量的數(shù)量積或內(nèi)積為什么定義為a·b=a答：數(shù)學上的一個定義不會來自空中樓閣，而是有堅實的現(xiàn)實基礎(chǔ)，比如這個定義就是物理中功的原型。在語文寫作中，作者在構(gòu)思一個人物形象時都可以在現(xiàn)實生活中找到原型?？梢詥柲銈兊恼Z文老師。比如錢鐘書的〈〈圍城〉〉里面的人物，賈平凹的〈〈廢都〉〉里人物。=2\*CHINESENUM3二、=1\*Arabic1、同學們還記得直線或線段在一個平面內(nèi)的投影嗎？它是什么？線段的長度有什么改變？答：畫一個平面和一條直線或線段，投影是條平面內(nèi)的直線或線段。=2\*Arabic2、在一個平面內(nèi)一條線段在一條直線上的投影是怎樣子的？線段的長度有什么改變？答：投影還是線段，長度=3\*Arabic3、那向量在另一個向量上的投影是怎么回事？答：線段只有大小沒有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投影是可正可負的，請同學們看看向量投影的定義。=3\*CHINESENUM3三、向量數(shù)量積的三種特殊情況或性質(zhì)。如果你覺得理解起來抽象，該怎辦？答：用兩個具體的向量來代入一下，這兩個具體向量可以取例1，再加畫圖來理解。=4\*CHINESENUM3四、向量數(shù)量積的三條運算律哪幾條可以利用定義來證明，很快的。哪一條用定義證明不行？同學們用定義證明是什么感覺？是不是覺得是天馬行空找不到一個堅實的支撐點，空蕩蕩的？這就是抽象運算。=5\*CHINESENUM3五、于向量數(shù)量積的運算律，因為是實數(shù)滿足交換律、結(jié)合律，加絕對值的性質(zhì)，再根據(jù)定義，所以向量數(shù)量積也滿足交換律、結(jié)合律。對于證明滿足結(jié)合律比交換律要難許多。其實在證明結(jié)合律的時候取拉姆達=2，-2，具體值反而容易理解。=6\*CHINESENUM3六、我們講過世界是和諧的，雖然無奇不有，今天就是講講無奇不有。即三個向量的內(nèi)積不滿足結(jié)合律，即，用具體例子來驗證。還有不滿足消去律即×。=7\*CHINESENUM3七、講向量數(shù)量積的運算時我們要說明因為向量與實數(shù)一樣滿足交換律、結(jié)合律、分配律，所以在形式上一樣，本質(zhì)上不一樣。比如向量的和平方公式、平方差公式。但有些東西是形式不一樣，本質(zhì)一樣。比如上論壇有句話，你換了馬甲我就不認識你了。對于因為向量因有運算律，所以不必每一步都根據(jù)向量數(shù)量積的定義。對于例4已知一種是教材代數(shù)解法，但如果一題多解，還有種幾何解法。我兩種都涉及。但在講幾何解法的時候，一些學生聽不懂。所以幾何解法我們用來驗證?？蛇@兩種解法可以比較優(yōu)劣。代數(shù)解法不知道本質(zhì)，幾何解法可以看出事物的本質(zhì)。代數(shù)解法是垂直但不知道為什么垂直，幾何解法卻可以知道垂直為什么是垂直。平面向量數(shù)量積的反思1=1\*Arabic1、學了平面向量的數(shù)量積到底有什么用，舉兩例。=1\*GB3①、在直角坐標系內(nèi)給定已知三個點坐標請判斷這三個點構(gòu)成哪種三角形？各內(nèi)角是多少？=2\*GB3②、在平面直角坐標系內(nèi)給定已知的四個點坐標請判斷四點構(gòu)成什么四邊形？內(nèi)角是多少？或則已知是平行四邊形也已知三點坐標求第四點坐標。平面向量數(shù)量積的反思2=1\*Arabic1、引入向量的數(shù)量積后一個現(xiàn)象就是對一些概念、性質(zhì)變過來變過去，也是在做循環(huán)游戲，在繞口令。繞口令的結(jié)果就是暈頭轉(zhuǎn)向腦子里一筆糊涂賬。所以上到這里適合停頓休息。平面向量數(shù)量積的反思3這節(jié)課是校對習題2.4。學生疑問學了向量有什么用。因為發(fā)明一種新方法是為了把復雜問題簡單化，如果把簡單問題復雜化那說明這新方法是不好的。但這里比如B組第三題、第五題你用傳統(tǒng)解法和新向量解法學生比較不出來到底有沒有把復雜問題簡單化。我只能說明在高中階段看不出來，到大學里可以看出來。雖然后面一節(jié)是向量應(yīng)用，還有證明兩角差的余弦公式用向量方法。2.5.1《平面幾何中的向量方法》=1\*CHINESENUM3一、這節(jié)課我們主要講講向量解法與幾何解法有什么各自優(yōu)劣？向量概念和運算，都有明確的物理背景和幾何背景。當向量與平面坐標系結(jié)合以后，向量的運算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。=2\*CHINESENUM3二、例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和。解法1：幾何解法。注：過頂點向?qū)呑龃咕€。解法2：向量解法如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？解法1：幾何解法。取對角線中點O,連OE、OF。解法2：向量解法。=3\*CHINESENUM3三、各自優(yōu)劣=1\*Arabic1、代數(shù)解法不知道本質(zhì)，幾何解法可以看出事物的本質(zhì)。代數(shù)解法是垂直但不知道為什么垂直，幾何解法卻可以知道垂直為什么是垂直。代數(shù)解法（或向量解法）好象是天馬行空找不到一個堅實的支撐點，空蕩蕩的？這就是抽象運算。請問為什么？答:由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,但在運算的時候，幾何意義我們沒有注意到已經(jīng)被隱藏起來了。=2\*Arabic2、解題就是思維的發(fā)生、發(fā)展過程，我們還要知道思維為什么這樣發(fā)生為什么這樣發(fā)展。對于幾何法一般因為技巧性很高，所以思維的發(fā)生、發(fā)展比較難。向量法有統(tǒng)一的模式，比如=1\*GB2⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；=2\*GB2⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；=3\*GB2⑶把運算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。所以向量法的思維發(fā)生發(fā)展比較容易，但就是運算量大。所以向量運算表面上代數(shù)運算，本質(zhì)上是幾何運算既幾何證明。但同學們發(fā)現(xiàn)沒有向量的威力很大，所以向量是一只披著羊皮的狼。向量解決問題有一套統(tǒng)一的模式和程序，技巧性不是很高，有時候就是覺得運算量比較大。這是因為向量把幾何證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。但幾何證明技巧性比較高。同學們，向量這一章為什么這么難？在辦公室里許多同學問我有關(guān)向量的問題，這說明向量這一章有點難。下面分析為什么有點難。一、為什么要研究向量？首先我解釋下定義、性質(zhì)、公理、定理有什么區(qū)別。定義是在世界中有許多事物非常重要，于是我們專門給它個名稱。比如三角形、圓等等。性質(zhì)是這個事物因為很重要，所以我們研究它，看看有什么規(guī)律。公理是公認正確的是顯而易見的非常直白的事實，是不證自明的事實。比如整體大于部分。定理是對于平面幾何第一個定理是根據(jù)公理推導出第一個定理，接下去是根據(jù)公理、定理推導出新的定理同學們可以分別百度百科：定義性質(zhì)公理定理。因為世界中有個東西很重要比如三角形，于是我們給這個東西專門一個名稱，然后研究它的性質(zhì)，但同學們?nèi)切挝覀兪强吹靡娒闹?，所以三角形是很具體、直觀的，越具體、直觀的東西越簡單，所以三角形很簡單。加速度、速度能不能看的見摸的著？現(xiàn)實中有沒有一個東西是加速度、速度？所以加速度、速度比三角形要抽象，越抽象的東西越難。所以學習加速度、速度要比學習三角形要難。現(xiàn)實中有沒有向量？沒有向量。我們把加速度、速度再抽象出來得到向量研究它，因為這個東西很重要。所以向量又比加速度、速度抽象。二、向量這一章為什么難？我們?yōu)槭裁匆芯肯蛄?？因為向量這個東西很重要，但向量比加速度、速度抽象，加速度、速度又比三角形抽象，越抽象的東西越難，所以我們學習向量很難。既然向量這個東西很抽象很難，如果我們要繼續(xù)研究它的性質(zhì)則是難上加難。所以向量這一章很難。三溪中學學生學情分析按傳統(tǒng)把學生分成三類優(yōu)等生、中等生、學困生。但每個學校的這三類底子又有不同。我學校學困生教材對他來說是天書，看不懂。中等生看書一半懂一半不懂。優(yōu)等生是可以自己看書，但要老師幫助他知識形成網(wǎng)絡(luò)。各等級占學生比例。一個班算45人，10個是學困生、10個是優(yōu)等生、25個是中等生。所以對于課外作業(yè)比如星期六的試卷發(fā)下10張就差不多了。學困生把書看懂就占據(jù)了他大部分時間，中等生把書后的練習、習題、復習參考題做完也差不多沒時間做課外。只有10來個優(yōu)等生有剩余時間做點課外習題，但學校已經(jīng)