第五節(jié) 定積分

第五節(jié)定積分一、引例二、定積分的定義三、存在定理五、定積分的性質(zhì)四、定積分的幾何意義abxyo實例1

（求曲邊梯形的面積）一、引例曲邊梯形由連續(xù)曲線abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實例2

（求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值二、定積分的定義定義設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點把區(qū)間分成個小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為在各小區(qū)間上任取作乘積并作和，如果怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣的取法,確定的極限

，我們稱這個極限

I

為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分.記為極限存在，即不論對我們稱這個極限

I

為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分.記為被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和積分號注意(1)積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的字母無關(guān).(2)定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.(3)當函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分存在時,稱

f(x)在區(qū)間

[a,b]上(黎曼)可積

.定理1三、存在定理若函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上連續(xù)

,則

f(x)在區(qū)間

[a,b]上可積

.（證明參考數(shù)學(xué)分析）定理2若函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上有界

,且只有有限個第一類間斷點，則

f(x)在

[a,b]上可積

.定理1和定理2均為函數(shù)

f(x)可積的充分條件.可積的必要條件:可積函數(shù)在積分區(qū)間上必有界曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義幾何意義：例1

利用定義計算定積分解例2

利用定義計算定積分解例3利用定積分表示下列極限解證明利用對數(shù)的性質(zhì)得極限運算與對數(shù)運算換序得故對定積分的補充規(guī)定:說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。濉⒍ǚe分的性質(zhì)證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證性質(zhì)2(為常數(shù))

(為常數(shù))

定積分的線性性質(zhì)證:

當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取

c

為分點,于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則其他情形證性質(zhì)4性質(zhì)5如果在區(qū)間上，則有性質(zhì)5的推論：證（1）解例1(1)比較積分值和的大小.

(2)比較積分值和的大小.解解令于是例2

比較積分值和的大小.證說明：

性質(zhì)5的推論：（2）證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6解例3

估計積分的值.解例4

估計積分的值.解令例5

證明由得證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋：函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值積分中值公式的推廣.解由積分中值定理知有使例6求解由積分中值定理知有使例7設(shè)可導(dǎo)，且，求.解由積分中值定理知有使例8設(shè)在內(nèi)連續(xù)，求證明由積分中值定理知有使例9設(shè)且，證明至少存在使六、小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4．典型問題(1)估計積分值；(2)不計算定積分比較積分大小．思考題將和式極限：表示成定積分.思考題解答原式解答例練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題練習(xí)題答案觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形