第三章力系的簡化

第3章力系的簡化定義：

設(shè)有一力F

，在力F的作用線所在平面內(nèi)任選一x軸，從力F的始端和末端分別向x軸的作垂線，可得垂足a、b，將a、b間的直線段ab冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號，稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示?！?–1、力的投影與分解(1)力F在直角坐標(biāo)軸上的投影：若力F

和x和Y軸正向之間的夾角分別為α和β，稱為力的方向角，則有

即力在坐標(biāo)軸上的投影等于力的大小乘以該力與坐標(biāo)軸正向之間夾角的余弦。2.正負(fù)號規(guī)定

力在軸上的投影是代數(shù)量。

當(dāng)由力F的始點(diǎn)垂足到終點(diǎn)垂足的指向與坐標(biāo)軸的方向一致時，投影取正號，反之取負(fù)號。yb′a′abFOxBFxFy

（3-1）(2)力F沿平面直角坐標(biāo)軸分解的解析表示：力F在直角坐標(biāo)軸上投影的大小與其沿相應(yīng)軸方向分力的模相等，且投影的正負(fù)號與分力的指向?qū)?yīng)一致。1.直角坐標(biāo)力F可沿直角坐標(biāo)軸分解為兩個正交分力：FFyFxxyjio（3-2）

若以i，j分別表示沿x，y軸方向的單位矢量，則力

F的兩個正交分力可用力在對應(yīng)軸上投影與相應(yīng)的單位矢量的乘積表示為：可得解析表達(dá)式為：（3-4）（3-3）

若已知力F在兩個直角坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy，則力F的大小和方向余弦可用下列各式計算必須注意：力沿坐標(biāo)軸的分力與力在對應(yīng)軸上的投影是兩個不同的概念。（3-5）力F沿坐標(biāo)軸x、y、z的分力Fx、Fy是矢量，它有大小、方向、作用線；而力在坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy是代數(shù)量，它無所謂方向和作用線。2.斜坐標(biāo)力沿x、y軸方向的分力大小與力在該坐標(biāo)軸上投影的絕對值的大小不相等。設(shè)有一匯交于O’點(diǎn)的平面匯交力系，F(xiàn)1、F2、…、Fn，由力的平行四邊形法則可知，該匯交力系可以合成為一個合力，合力等于各個分力的矢量和，即：

（3-6）(3)合力投影定理：建立直角坐標(biāo)系并取單位矢量，則（3-6）式右端分力的解析表達(dá)式為：（3-9）（3-7）（3-8）將（3-7）和（3-8）代入（3-6）中得而（3-6）式左端合力的解析表達(dá)式為：比較（3-9）式等式兩端單位矢量i、j前面的系數(shù)，可得（3-10）上式表明：

合力在某坐標(biāo)軸上的投影等于各個分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和，稱為合力投影定理。AF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)證明：以三個力組成的共點(diǎn)力系為例。設(shè)有三個共點(diǎn)力F1、F2、F3如圖。合力R在x軸上投影：F1F2RF3xABCD(b)

推廣到任意多個力F1、F2、Fn

組成的平面共點(diǎn)力系，可得：abcd各力在x軸上投影：匯交力系的合成可以采用幾何法和解析法，本書主要介紹使用較多的解析法。解析法以力在坐標(biāo)軸上的投影的概念和合力投影定理為基礎(chǔ)?！?–2、平面匯交力系的合成1、解析法：如圖所示的平面匯交力系F1、F2、…、Fn，各力在直角坐標(biāo)系的x、y軸上投影是：和利用合力投影定理，可得合力在x、y軸的投影為合力FR的大小和方向余弦分別為確定。通常合力FR的方向也可由合力FR與x軸所夾銳角再由FRx和FRy的正負(fù)號來判定FR的指向。的值由下式確定：2、幾何法

用力多邊形求匯交力系合力的方法稱為幾何法

（1）依據(jù)：力的平行四邊形法則；

（2）方法：力多邊形法則：

力的平行四邊形法則中間過程可以省掉力多邊形法則作力多邊形與力的次序無關(guān)(3)合力：

從任一點(diǎn)出發(fā)，依次將力系中各分力首尾相連（次序可變），再連接第一力矢的始點(diǎn)和最后一力矢的終點(diǎn)所得力多邊形的封閉邊，即為原力系的合力矢。表達(dá)式為：合力的大?。毫Χ噙呅蔚姆忾]邊的長度；合力的方向：力多邊形的封閉邊起點(diǎn)到終點(diǎn)的指向；合力的作用線：通過原力系的匯交點(diǎn)。

若匯交力系由n個力組成的，匯交力系可以合成為一個作用線通過匯交點(diǎn)的合力，合力的大小和方向由力多邊形的封閉邊確定。即：合力矢等于各分力矢的矢量和。簡寫為：表達(dá)式為：例3.1如圖所示一平面匯交力系，已知:F1＝3kN，F(xiàn)2＝1kN，F(xiàn)3＝1.5kN，F(xiàn)4＝2kN。各力方向如圖所示。求此力系的合力FR。合力FR的大小合力FR的與x軸所夾銳角θθ=69.5o1、平面力系中力對點(diǎn)之矩在力的作用下，物體將可能發(fā)生移動和轉(zhuǎn)動，力的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力對點(diǎn)之矩來衡量?！?–3、平面力系中的力對點(diǎn)之矩、力偶及其性質(zhì)、力的平移定理定義：力F的小大與O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離h的乘積，再冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號，表示力F對O點(diǎn)的矩，用符號MO(F)表示。(2)表達(dá)式：

MO(F)＝±Fh

其中O點(diǎn)稱為力矩中心，簡稱矩心；h稱為力臂；力F與矩心所決定的平面稱為力矩平面；正負(fù)號表示在力矩平面內(nèi)力使物體繞矩心的轉(zhuǎn)向，即：繞過矩心且垂直于力矩平面的軸的轉(zhuǎn)向。(3)作用：度量力F

使物體繞

O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。(6)正負(fù)號規(guī)定：

平面力系中的力對點(diǎn)之矩僅僅取決于力矩的大小和轉(zhuǎn)向，因而力對點(diǎn)之矩是代數(shù)量；約定：順時針為負(fù)，逆時針為正；(4)大?。篗O(F)＝±Fh＝2ΔOAB的面積(5)單位：N·m，kN·m(7)討論：（a）當(dāng)力F的大小等于零，或者力的作用線通過矩心，即力臂h＝0

時，對矩心的力矩等于零。（b）力F沿其作用線移動時，并不改變力對指定點(diǎn)之矩。（c）一個力對不同點(diǎn)的矩一般不同，因此必須指明矩心，力對點(diǎn)之矩才有意義。1)力偶的定義:

大小相等，方向相反，作用線不共線但相互平行的一對力所構(gòu)成的力系稱為力偶。記作（F,F’）2)力偶作用平面

力偶中兩力作用線所決定的平面稱為力偶作用平面；3)力偶臂

兩力作用線間的垂直距離d稱為力偶臂。2、平面力系中的力偶與力偶矩、力偶系的合成（1）力偶與力偶矩4）力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：①力偶的大小；②在力偶作用面內(nèi)力偶的轉(zhuǎn)向。因此，平面力系中可用一個代數(shù)量表示力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。5）力偶矩在平面力系中，可以用力偶中的一個力的大小與力偶臂的長度的乘積，并冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號后所得的代數(shù)量，來表示力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，稱為力偶矩。用符號表示。力偶矩的大小:正負(fù)號的規(guī)定：

為當(dāng)力偶使得物體逆時針轉(zhuǎn)動時取正號，逆時針轉(zhuǎn)動時取負(fù)號。力偶矩的單位:N.m或kN.m（2）力偶的性質(zhì)

組成力偶的兩個平行力滿足等值、反向、不共線的條件，與單獨(dú)一個力一樣，都是獨(dú)立的最基本的力學(xué)量。性質(zhì)一:

力偶不能與一個力等效，即力偶不能合成為一個合力，因此力偶也就不能與一個力相平衡，力偶只能與力偶平衡；力偶中的兩力在任一軸上投影的代數(shù)和都等于零，但力偶不是平衡力系。力偶是最簡單的力系。力和力偶是兩個獨(dú)立的力學(xué)元素

這一性質(zhì)是力偶與力對點(diǎn)之矩的主要區(qū)別。

性質(zhì)二：

力偶中的兩力對力偶作用平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩的和恒等于力偶矩，而與矩心位置無關(guān)。

性質(zhì)三：

力偶矩是力偶對剛體作用效應(yīng)的唯一度量，因而在同一平面內(nèi)的兩力偶等效的必要與充分條件是這兩力偶矩相等，稱為力偶等效性質(zhì)。由力偶的這一性質(zhì)，可得出如下推論：

1）只要力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動，或者從一個平面平移到另一個平行的平面中去，而不改變它對剛體的效應(yīng)；

2）只要力偶矩不變，可以相應(yīng)地改變組成力偶的力和力偶臂的大小，都不會改變原力偶對剛體的作用效應(yīng)。力偶矩是力偶對剛體用效應(yīng)的唯一度量。

常用一段帶箭頭的弧線表示力偶，其中弧線所在平面代表力偶作用面，箭頭表示力偶在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向，M表示力偶矩大小。1)力偶系:

同時作用在剛體上的一群力偶稱為力偶系。2)力偶系的定義和分類力偶系空間力偶系平面力偶系3)合力偶力偶不能與一個力等效，因此力偶系合成的結(jié)果不可能是一個力，而只能是一個力偶，此力偶稱為力偶系的合力偶。（3）平面力偶系的合成

4）合力偶矩：

——平面力偶系合力偶之矩等于各分力偶之矩的代數(shù)和。

M=m1+m2＋…＋mn＝∑mi3、力的平移定理（1）．力向一點(diǎn)平移

作用于剛體上某點(diǎn)的力可以平行移動到該剛體上的任一點(diǎn)去，但須附加一力偶且此附加力偶的矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩。這稱為力的平移定理。附加力偶的矩為：

（2）．力的平移定理表明：一個力可與同一個平面內(nèi)的一個力和一個力偶等效，亦即可以把一個力分解為作用在同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶。反之，作用在同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶必定可以合成為一個合力。注：（1）力的平移定理只適用于剛體；（2）力只能在同一剛體上進(jìn)行平移。（3）．力的平移定理的應(yīng)用偏心受壓柱比中心受壓柱相當(dāng)于多受到一個力偶的作用，此力偶之矩為M=－Fe（e

為偏心距）。用絲錐攻絲時，為什么單手操作比雙手操作容易使絲錐折斷？請思考。

力的平移定理不適用于變形體，例如圖示的懸臂梁AB，若將作用于粱端B的力平移至固定端A，兩者的變形效應(yīng)顯然不同。

平面一般力系是作用線位于同一平面的力系，利用力的平移定理、平面匯交力系的合成以及平面力偶系的合力偶矩的合成方法，可對平面一般力系進(jìn)行簡化?！?–4、平面一般力系的簡化1、主矢量和主矩

設(shè)一平面一般力系由分別作用于同一平面內(nèi)A1、A2、…、An的力F1、F2、…、Fn組成，如圖3-16（a）所示。主矢量在x，y軸上的投影：主矢量的大小和方向余弦為：主矩MO：簡化結(jié)果

主矢量：原力系向簡化中心簡化所得匯交力系的合力，等于力系中各力的矢量和，作用線通過簡化中心；

主矩：原力系向簡化中心簡化所得的附加力偶系的合力偶矩，等于力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，作用面即力系所在的平面。2、

簡化結(jié)果分析1).

若則力系可簡化為一作用在力系平面內(nèi)的力偶，其力偶矩等于主矩：此時主矩與簡化中心位置無關(guān)。2).若則力系可簡化為一作用線過簡化中心的合力FR。3).若則力系可進(jìn)一步簡化為一合力FR，且

合力FR的作用線位置可由簡化中心O到合力作用線的垂直距離d表示；亦可由合力作用線與x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x表示。其中d為：x由下式計算：4).若，則力系平衡。最后簡化結(jié)果：

1）若F’R=0，MO≠0，則簡化為一合力偶；2）若F’R≠0，MO=0，或者F’R≠0，MO≠0，則可簡化為一合力；3）若F’R=0，MO=0，則力系平衡。即

——平面一般力系的合力對力系所在平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩等于力系中所有的各力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。3、

合力之矩定理當(dāng)求力對某點(diǎn)之矩時，可以利用合力之矩定理簡化計算。例：如當(dāng)a、b、F、θ均為已知，力F對A點(diǎn)之矩。例2

圖示為平面一般力系各力作用線位置，且F1=130N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=50N，M=500N·m圖中尺寸單位為m，試求該力系合成的結(jié)果。解：(1)以O(shè)點(diǎn)為簡化中心，建立圖示直角坐標(biāo)系Oxy。(2)計算主矢量FR(3)計算主矩MO(4)求合力FR的作用線位置由于主矢量、主矩都不為零，所以這個力系簡化的最后結(jié)果為一合力FR。FR的大小和方向與主矢量F’R相同，而合力FR

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：x=MO/F′Ry

=3.87m

合力FR的作用線如圖所示。在狹長面積或體積上平行分布的荷載，都可抽象簡化為線荷載。平面結(jié)構(gòu)所受的線荷載，常見的是沿某一直線連續(xù)分布的同向平行力系。4、沿直線分布的同向線荷載的合力(1)合力的大小

選取圖示Axy坐標(biāo)系，沿橫坐標(biāo)為x處的線荷載集度為q(x)，在微段dx上的線荷載集度可視為常量，則：作用在微段dx上分布力系合力的大小