中考總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)-知識講解 習(xí)題（基礎(chǔ)）

PAGE中考復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)—知識講解（基礎(chǔ)）【教學(xué)目標(biāo)】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的概念及意義，會比較實(shí)數(shù)的大??；2.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，會用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)，會求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，并理解這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；3.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活運(yùn)用.【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質(zhì)符號分類：有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n≠0）”的數(shù)叫有理數(shù)．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.例：下列實(shí)數(shù)、sin60°、、、3.14159、-、、中無理數(shù)有（）個(gè)A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】無理數(shù)有sin60°、、.【提示】對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)不能只看表面形式，應(yīng)先化簡，再判斷．舉一反三：【變式】在中，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?【答案】都是有理數(shù)；都是無理數(shù).考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.例：1、下列兩個(gè)數(shù)不是互為相反數(shù)的是（）A-0.25和B-3和-（-3）C25和D-0.125和【答案】D已知（a+1）與（b+4）互為相反數(shù)，則a+b=【答案】-5【舉一反三】變式1、若數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A和B表示的.兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，并且這兩點(diǎn)間的距離是7，則這兩個(gè)點(diǎn)A和B所表示的數(shù)分別是

和

變式2、已知a-3和—2互為相反數(shù)，求a與—a的值【答案】變式1：3.5和-3.5變式2：a=5，-a=-52.絕對值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對值的幾何意義本身就揭示了絕對值的本質(zhì)，即絕對值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0．要點(diǎn)詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.例：1．如果|a|=﹣a，那么a的取值范圍是（）a＞0?B．a(chǎn)＜0?C．a(chǎn)≤0?D．a(chǎn)≥02、若x的相反數(shù)是3，|y|=5，則x+y的值為（）A．﹣8?B．2?C．8或﹣2?D．﹣8或23、在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，負(fù)數(shù)有（）A1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)【答案】1：C2：D3：B3.倒數(shù)（1)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).例題：（1）a的相反數(shù)是，則a的倒數(shù)是_______．（2）若已知a與b互為相反數(shù)，則ab+2=【答案】(1)54.平方根（1)如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術(shù)平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍是0．例題：1：求下列各數(shù)的平方根1）492）2.893）【答案】1）2）3）2、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根1）1212）0.643）【答案】1）112）0.83）3、已知：x，y是實(shí)數(shù)，，若axy-3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是_______.【答案】.【解析】，即兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必定同時(shí)為0，∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.考點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度.（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.例題：1、實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:則化簡=______．【答案】-a-b考點(diǎn)四、實(shí)數(shù)大小的比較1.對于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)；絕對值大的反而小.3.對于實(shí)數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.對于實(shí)數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.5.無理數(shù)的比較大?。豪闷椒睫D(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較與.要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.比較下列每組數(shù)的大?。海?）與（2）a與（a≠0）【答案與解析】（1），，而與可以很容易進(jìn)行比較得到：，所以；（2）當(dāng)a<-1或O<a<1時(shí)，a<；當(dāng)-1<a<0或a>1時(shí)，a>；當(dāng)a=時(shí)，a=.【點(diǎn)評】（1）有時(shí)無理數(shù)比較大小，通過平方轉(zhuǎn)化以后也無法進(jìn)行比較，那么我們可以利用倒數(shù)關(guān)系比較；（2）這道題實(shí)際上是互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之間的比較大小，我們可以利用數(shù)軸進(jìn)行比較，我們知道，0沒有倒數(shù)，±1的倒數(shù)等于它本身，這樣數(shù)軸就被這3個(gè)數(shù)分成了4部分，下面就可以分類討論每種情況.我們還可以利用函數(shù)圖象來解決這個(gè)問題，把的值看成是關(guān)于a的反比例函數(shù)，把a(bǔ)的值看成是關(guān)于a的正比例函數(shù)，在坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，可以很直觀的比較出它們的大小.舉一反三：比較下列每組數(shù)的大?。海?）和（2）和【答案】（1）將其通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)比較大小，，，，所以.（2）因?yàn)?，所?考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.加法同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)．幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，a所表示的意義是n個(gè)a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)要點(diǎn)詮釋：加和減是一級運(yùn)算，乘和除是二級運(yùn)算，乘方和開方是三級運(yùn)算．這三級運(yùn)算的順序是三、二、一．如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，同一級運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算．例題：計(jì)算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【點(diǎn)評】該題是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包括絕對值，0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等．只要準(zhǔn)確把握各自的意義，就能正確的進(jìn)行運(yùn)算．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（2015?甘南州）計(jì)算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【變式2】計(jì)算：【答案】設(shè)n=2001，則原式=（把n2+3n看作一個(gè)整體）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.考點(diǎn)六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字.把一個(gè)數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法．要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；（2）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負(fù)整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所用零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.例題：去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝，用科學(xué)記數(shù)法表示為約____________．【答案】1.02×107畝.舉一反三：據(jù)市旅游局統(tǒng)計(jì)，今年“五·一”小長假期間，我市旅游市場走勢良好，假期旅游總收入達(dá)到8.55億元，用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.課后習(xí)題

1.在實(shí)數(shù)－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0），sin30°這8個(gè)實(shí)數(shù)中，無理數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．我國第六次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，居住在城鎮(zhèn)的人口總數(shù)達(dá)到665575306人．將665575306用科學(xué)記數(shù)法表示（保留三個(gè)有效數(shù)字）約為（）A．66.6×107 B．6.66×108 C．0.666×108 D．6.66×1073．若k＜＜k+1（k是整數(shù)），則k=（）A．6 B．7 C．8 D．94．在三個(gè)數(shù)0.5、、中，最大的數(shù)是()

A．0.5B．C．D．不能確定5．用四舍五入法按要求對0.05049分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.050（精確到0.001）D．0.05（精確到千分位）6．則=.7．（2014?遼陽）5﹣的小數(shù)部分是．8．若互為相反數(shù)，則a+b的值為________．9．已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1，則的值為________．10．已知：若符合前面式子的規(guī)律，則a+b=________．11．若，比較a、b、c的大小。答案1.【答案】C；【解析】對實(shí)數(shù)分類，不能只為表面形式迷惑，而應(yīng)從最后結(jié)果去判斷．首先明確無理數(shù)的概念，即“無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)”.一般來說，用根號表示的數(shù)不一定就是無理數(shù)，如是有理數(shù)，關(guān)鍵在于這個(gè)形式上帶根號的數(shù)的最終結(jié)果是不是無限不循環(huán)小數(shù)．同樣，用三角符號表示的數(shù)也不一定就是無理數(shù)，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…盡管有規(guī)律，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)．是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)．在上面所給的實(shí)數(shù)中，只有，，－0.1010010001…這三個(gè)數(shù)是無理數(shù)，其他五個(gè)數(shù)都是有理數(shù)，故選C.2.【答案】B；【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為×10n的形式，其中1≤||＜10，n為整數(shù)．確定n的值是關(guān)鍵點(diǎn)，由于665575306有9位，所以可以確定n=9﹣1=8.有效數(shù)字的計(jì)算方法是：從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字，故選B．3.【答案】D.【解析】∵k＜＜k+1（k是整數(shù)），9＜＜10，∴k=9．故選：D．4.【答案】B；5.【答案】D；【解析】根據(jù)近似數(shù)與有效數(shù)字的概念對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可：A、0.05049精確到0.1應(yīng)保留一個(gè)有效數(shù)字，是0.1，故本選項(xiàng)正確；B、0.05049精確到百分位應(yīng)保留一個(gè)有效數(shù)字，是0.05，故本選項(xiàng)正確；C、0.05049精確到0.001應(yīng)是0、050，故本選項(xiàng)正確；D、0.05049精確到千分位應(yīng)是0.050，故本選項(xiàng)錯誤.故選D.