《二項(xiàng)式定理》同步練習(xí)5

《二項(xiàng)式定理》同步練習(xí)1.3.1二項(xiàng)式定理A組1.若展開(kāi)式的第4項(xiàng)為含x3的項(xiàng),則n等于() .9 解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tk+1=·xn-k··(-1)k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},因?yàn)楫?dāng)k+1=4時(shí),n-2k=3,所以n=9.答案:B2.化簡(jiǎn)多項(xiàng)式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()A.(2x+2)5 5 .(2x-1)5解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.答案:D3.的展開(kāi)式中含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是() .2 解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=,由0≤r≤10,且為負(fù)整數(shù),得r=4,6,8,10,即有4項(xiàng)含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.答案:C4.對(duì)于二項(xiàng)式(n∈N*),有以下四種判斷:①存在n∈N*,展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng);②對(duì)任意n∈N*,展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng);③對(duì)任意n∈N*,展開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng);④存在n∈N*,展開(kāi)式中有x的一次項(xiàng).其中正確的是()A.①與③ B.②與③C.②與④ D.①與④解析:二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=x4k-n,由通項(xiàng)公式可知,當(dāng)n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)時(shí),展開(kāi)式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng).答案:D5.(2014湖北高考)若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a等于() B. D.解析:二項(xiàng)式通項(xiàng)Tr+1=(2x)7-r(ax-1)r=27-rarx7-2r.由題意知7-2r=-3,則r=5.令22a5=84,解得a=1.答案:C6.(a+x)5展開(kāi)式中x2的系數(shù)為10,則實(shí)數(shù)a的值為.解析:二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tk+1=a5-kxk,所以T3=a3x2=10a3x2.所以10a3=10,解得a=1.答案:17.已知的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為,則常數(shù)a的值為.解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=a9-r·(-1)r·,令r-9=3,得r=8.依題意,得(-1)8×2-4·a9-8=,解得a=4.答案:4除以9的余數(shù)是.解析:233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,除最后一項(xiàng)-1外,其余各項(xiàng)都能被9整除,故余數(shù)為9-1=8.答案:89.已知在的展開(kāi)式中,第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為56∶3,求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).解:T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4.由題意知,,解得n=10.Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,令5-=0,解得k=2,∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為×22=180.10.求的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù).解:設(shè)的第r+1項(xiàng)中含有x2y2,則Tr+1=·(-1)r·,因此8-r-=2,r-=2,即r=4.故x2y2的系數(shù)為×(-1)4==70.11.已知在的展開(kāi)式中,第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),求:(1)n的值;(2)展開(kāi)式中x5的系數(shù);(3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).解:已知二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1==(-1)k.(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),即當(dāng)k=8時(shí),2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系數(shù)為(-1)6×.(3)要使2n-k為整數(shù),即為整數(shù),只需k為偶數(shù),由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6項(xiàng),分別為展開(kāi)式的第1,3,5,7,9,11項(xiàng).B組1.在(1-x3)(1+x)10的展開(kāi)式中,x5的系數(shù)是() B.-252 解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)的系數(shù)為=207.答案:D+4-8+…+(-2)n等于() -1 .(-1)n解析:逆用二項(xiàng)式定理,將1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.答案:C3.(2014湖南高考)的展開(kāi)式中x2y3的系數(shù)是() -5 解析:由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.答案:A4.(2014四川高考)在x(1+x)6的展開(kāi)式中,含x3項(xiàng)的系數(shù)為() .20 解析:含x3的項(xiàng)是由(1+x)6展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)與x相乘得到的,又(1+x)6展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為=15,故含x3項(xiàng)的系數(shù)是15.答案:C5.若(1+2x)6的展開(kāi)式中的第2項(xiàng)大于它的相鄰兩項(xiàng),則x的取值范圍是.解析:由解得<x<.答案:6.設(shè)m為大于1且小于10的正整數(shù),若的展開(kāi)式中有不含x的項(xiàng),滿足這樣條件的m有個(gè).解析:的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=·(x3)m-r·=(-1)r··x3m-5r因?yàn)檎归_(kāi)式中有不含x的項(xiàng),所以有3m-5r=0,即3m=5r.又1<m<10(0≤r≤m),且m∈N*,r∈N,所以滿足條件的m只有m=5.答案:17.(2014安徽高考)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),的展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=.解析:由題意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.將n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.答案:38.已知的展開(kāi)式中,第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍,求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng).解:依題意=7,整理可得(n-1)(n-2)=6×7,因?yàn)閚>0,所以n=8.設(shè)展開(kāi)式中含x的項(xiàng)是第k+1項(xiàng),則Tk+1=)8-k=(-2)k.所以=1,解得k=2.故展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為第3項(xiàng),即T3=(-2)2x=112x.9.(2014山東高考改編)若的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,求a2+b2的最小值.解:的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=(ax2)6-r·a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,由a6-3b3=20得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,故a2+b2的最小值為2.10.(1)求(x2-x+1)(1+x)8展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù);(2)求(1-x)5(1-2x)6展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù).解:(1)(1+x)8展開(kāi)式中x2,x3,x4的系數(shù)分別為,(1+x)8與(x2-x+1)相乘后,得x4項(xiàng)的系數(shù)為=42.(2)(1-x)5的展開(kāi)式中,x0,x1,x2,x3項(xiàng)的系數(shù)分別為,-,-,(1-2x)6的展開(kāi)式中,x0,x1,x2,x3項(xiàng)的系數(shù)依次為,(-2),(-2)2,(-2)3,因此,(1-x)5(1-2x)6的展開(kāi)式中,x3項(xiàng)的系數(shù)是·(-2)3·+(-)·(-2)2··(-2)·+(-)·=-590.11.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36,求展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值.解:(1+2x)m+(1+4x)n展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為·2x+·4x=(2+4)x,∴2+4=36,即m+2n=18.(