《三角函數(shù)的積化和差與和差化積》能力提高題

三角函數(shù)的積化和差與和差化積·能力提高題一、選擇題215．等式sin(α+β)=sinα＋sinβ成立的充要條件是

[

]A．α+β=2kπ或α=2kπ或β=2kπ(k∈Z)B．α=2kπ或β=2mπ(m∈Z)C．α+β=2kπ(k∈Z)D．α=2kπ，β=2nπ或α+β=2mπ

(k，n，m∈Z)答：D解：若sin(α+β)=sinα＋sinβ∴α+β=2mπ或α=2kπ或β=2nπ(m，k，n∈Z)．反之，若α＋β=2mπ(m∈Z)

sin(α+β)=0β=2mπ-αsinα+sinβ=sinα＋sin(2mπ-α)=sinα-sinα=0∴sin(α+β)=sinα+sinβ若α=2kπ時(k∈Z)

sin(α＋β)=sin(2kπ＋β)=sinβsinα+sinβ=sin2kπ+sinβ=sinβ∴sin(α+β)=sinα+sinβ若β=2nπ(n∈Z)

同理sin(α+β)=sinα＋sinβ．216．已知sinx＋siny=a，cosx+cosy=b，則sin(x+y)等于

[

]答：B

[

]A．M＞N

B．M≥NC．M＜N

D．M≤N答：D

[

]答：B解：設(shè)u=cos2A＋cos2B219．cos273°＋cos247°＋cos47°·cos73°的值為

[

]答：B解二：cos273°＋cos247°＋cos47°·cos73°=(cos73°＋cos47°)2-cos47°cos73°解三：設(shè)x=cos273°＋cos247°＋cos47°·cos73°，y=sin273°＋sin247°＋sin47°·sin73°x+y=2+(cos47°·cos73°+sin47°·sin73)=2+cos26°

(1)x-y=(cos273°-sin273°)＋(cos247°-sin247°)＋(cos73°cos47°-sin73°·sin47°)220．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°化簡為

[

]答：C

[

]答：C

[

]答：A

[

]答：D224．已知sinα＋sinβ＋sinγ=0，cosα＋cosβ＋cosγ=0，則cos2α＋cos2β+cos2γ的值等于[

]答：B解：由sinα＋sinβ＋sinγ=0，sinα＋sinβ=-sinγ①cosα＋cosβ＋cosγ=0，cosα＋cosβ=-cosγ②①平方+②平方，得

[

]答：C∵-π＜a＜π

a＜b＜π

a-π＜a＋b＜2π

[

]答：C∴sin(α+β)+sin(α-β)=1

sin(α+β)=1-sin(α-β)∵-1≤sin(α-β)≤1

-1≤-sin(α-β)≤1

[

]A．(-4，0]

B．[-4，0)C．[-4，0]

D．(-4，4)答：A∵-1＜sinx＜1

0≤sin2x＜1

-4＜-4sin2x≤0∴f(x)的值域是(-4，0]．

[

]答：B229．cos10°cos50°cos70°的值為

[

]答：D

[

]答：B231．將cos2A-sin2B化積為A．-sin(A＋B)sin(A-B)

B．cos(A＋B)cos(A-B)C．sin(A＋B)cos(A-B)

D．-cos(A＋B)sin(A-B)答：B解：cos2A-sin2B=(cosA＋二、填空題232．已知sinx＋siny=log72，cosx＋cosy=log74，則cos(2x+2y)等于______233．化簡：sin47°＋cos29°-sin25°-cos79°為______答：cos7°解：sin47°＋cos29°-sin25°-cos79°=sin47°-sin25°+cos29°-cos79°=2cos36°·sin11°-2sin54°·sin(-25°)=2cos36°(sin11°+sin25°)=2cos36°·2sin18°cos7°234．求值：sin20°·sin40°·sin80°=______235．tg10°·tg50°·tg70°的值為_____解：cos2x·cos2y-cos2(x-y)237．sin50°·sin10°-sin50°·sin70°-sin70°·sin10°=________解：sin50°·sin10°-sin50°·sin70°-sin70°·sin10°答：-cos2α·sinβ答：2241．求值：cos210°＋cos250°＋cos270°=________解：cos210°＋cos250°＋cos270°242．求值：cos420°＋cos440°+cos460°＋cos480°=_______解：設(shè)x=cos420°＋cos440°＋cos480°y=sin420°＋sin440°＋sin480°，則x-y=(cos420°-sin420°)＋(cos440°-sin440°)＋(cos480°-sin480°)=(cos220°-sin220°)+(cos240°-sin240°)＋(cos280°-sin280°)=cos40°＋cos80°＋cos160°=2cos60°·cos20-cos20°=cos20°-cos20°=0

①三、解答題246．已知α、β是方程acosx＋bsinx＋c=0在[0，π]上的相異二根(a≠0)，求sin(α+β)的值．解：∵α、β是方程acosx＋bsinx＋c=0的根∴acosα＋bsinα＋c=0①acosβ＋bsinβ＋c=0②由①-②a(cosα-cosβ)＋b(sinα-sinβ)=0∵0≤α≤π

0≤β≤π

-π≤-β≤0∴等式