第八章矢量算法與場論初步張量算法與黎曼幾何初步SECTION2

個人采集整理僅供參照學習§2場論初步一、場論的基本觀點及梯度、散度與旋度[標量場]空間地域D的每點M(x,y,z)對應一個數(shù)目值(x,y,z)，它在此空間地域D上就構成一個標量場，用點M(x,y,z)的標函數(shù)(x，y，z)表示.若M的地址用矢徑r確立，則標量可以看作變矢r的函數(shù)＝(r).文檔來自于網(wǎng)絡找尋比方溫度場u(x,y,z),密度場(x,y,z),電位場e(x,y,z)都是標量場.[矢量場]空間地域D的每點M(x，y，z)對應一個矢量值R(x，y，z)，它在此空間地域D上就組成一個矢量場，用點M(x，y，z)的矢量函數(shù)R(x，y，z)表示.若M的地址用矢徑r確立，則矢量R可以看作變矢r的矢函數(shù)R(r)：文檔來自于網(wǎng)絡找尋R(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k比方流速場(x，y，z)，電場E(x，y，z)，磁場H(x，y，z)都是矢量場.與標量場的狀況同樣，矢量場觀點與矢函數(shù)觀點，實質(zhì)上是同樣的.沿用這些術語(標量場、矢量場)是為了保留它們的自己起源與物理意義.文檔來自于網(wǎng)絡找尋[梯度]grad

＝(

，

，

)=

=i＋

j＋

kx

y

z

x

y

z式中

=i

＋j

＋k

稱為哈密頓算子

,也稱為耐普拉算子

.grad

有的書刊中記作

del

.x

y

zgrad

的方向與過點

(x，y，z)的等量面

＝C的法線方向

N重合，并指向

增添的一方，是函數(shù)變化率最大的方向，它的長度等于.文檔來自于網(wǎng)絡找尋N梯度擁有性質(zhì)：grad(

＋

)＝

grad

＋

grad

(

、

為常數(shù))grad(

)＝

grad

＋

gradgradF(

)＝F

grad1/12個人采集整理僅供參照學習[方導游數(shù)]＝l·grad＝cos＋cos＋coslxyz式中l(wèi)＝(cos,cos,cos)為方向l的單位矢量,,,為其方向角.方導游數(shù)為在方向l上的變化律，它等于梯度在方向l上的投影.[散度]divR＝X＋Y＋Z=·R=div(X,Y,Z)xyz式中為哈密頓算子.散度擁有性質(zhì)：div(a＋b)＝diva＋divb(、為常數(shù))div(a)＝diva＋agraddiv(a×b)＝b·rota－a·rotb[旋度]rotR＝(ZY)i＋(XZ)j＋(YX)k=ijk×R=yzyzzxxyxXYZ式中為哈密頓算子，旋度也稱渦度，rotR有的書刊中記作curlR.旋度擁有性質(zhì)：rot(a＋b)＝rota＋rotb(、為常數(shù))rot(a)＝rota＋a×gradrot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(divb)a－(diva)b[梯度、散度、旋度混雜運算]運算grad作用到一個標量場產(chǎn)生矢量場grad，運算div作用到一個矢量場R產(chǎn)生標量場divR，運算rot作用到一個矢量場R產(chǎn)生新的矢量場文檔來自于網(wǎng)絡找尋2/12個人采集整理僅供參照學習rotR.這三種運算的混雜運算公式以下：divrotR＝０rotgrad＝０222divgrad＝x2＋y2＋z2=graddivR＝(R)rotrotR＝×(×R)divgrad(+)=divgrad+divgrad(、為常數(shù))divgrad()=divgrad＋divgrad＋２grad·gradgraddivR－rotrotR＝R式中為哈密頓算子，＝·＝２為拉普拉斯算子.[勢量場(守恒場)]若矢量場R(x，y，z)是某一標函數(shù)(x，y，z)的梯度，即R＝grad或X＝，Y＝，Z＝xyz則R稱為勢量場，標函數(shù)稱為R的勢函數(shù).矢量場R為勢量場的充分必需條件是：rotR＝０，或XY,Y=Z,Z=X=yxzyxz勢函數(shù)計算公式xy(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋Xx,y0,z0dx＋Yx,y,z0dyx0y0zZx,y,zdzz0[無散場(管形場)]若矢量場R的散度為零，即divR＝0，則R稱為無散場.這時必存在一個無散場T，使R＝rotT，對任意點M有文檔來自于網(wǎng)絡找尋T＝1rotRdV4r3/12個人采集整理僅供參照學習式中r為dV到M的距離，積分是對整個空間進行的.[無旋場]若矢量場R的旋度為零，即rotR＝0，則R稱為無旋場.勢量場總是一個無旋場，這時必存在一個標函數(shù)，使R＝grad，而對任意點M有文檔來自于網(wǎng)絡找尋＝－1divRdV4r式中r為dV到M的距離，積分是對整個空間進行的.二、梯度、散度、旋度在不同樣坐標系中的表達式1．單位矢量的變換[一般公式]假定x=f(,,),y=g(,,),z=h(,,)把(,,)空間的一個地域一對一地連續(xù)照射為(x，y，z)空間的一個地域D，并假定f，g，h都有連續(xù)偏導數(shù)，由于對應是一對一的，因此有文檔來自于網(wǎng)絡找尋＝(x，y，z)，x,y,z,x,y,z再假定,,也有連續(xù)偏導數(shù)，則有dxxdxdxddyydydyddzzdzdzd或逆變換ddxdydzxyzddxdydzxyzddxdydzxyz沿dx，dy，dz方向的單位矢量記作i，j，k，沿d,d,d方向的單位矢量記作e,e,e，則有4/12個人采集整理僅供參照學習xiyjzke222xyzxyzijke222xyzxiyjzke222xyz[圓柱面坐標系的單位矢量]對于圓柱面坐標系(圖8.11)xcosysin0,02,zzz單位矢量為ecosisinjesinicosjezk它們的偏導數(shù)為eee,ez0e,eeez0eeez0zzz[球面坐標系的單位矢量]對于球面坐標系(圖8.12)xrsincosyrsinsin0r,02,0zrcos單位矢量為5/12個人采集整理僅供參照學習ersincosisinsinjcoskecoscosicossinjsinksinicosj它們的偏導數(shù)為reee0rrreere,e0er,ersine,eesinercosecose,2．矢量的坐標變換[一般公式]一個由(x，y，z)坐標系所表達的矢量可以用(,,)坐標系來表達:＝(x，y，z＝x＋y＋z＝eee)ijk式中xxxx222222222xzxyyzxyzyyyy222222222xzxyyzxyzzzzz222222222xzxyyzxyz[圓柱面坐標系與直角坐標系的互換]由圓柱面坐標系到直角坐標系的變換公式xcossinysincoszz由直角坐標系到圓柱面坐標系的變換公式6/12個人采集整理僅供參照學習xcosysinxsinycoszz[球面坐標系與直角坐標系的互換]由球面坐標系到直角坐標系的變換公式xrsincoscoscossinyrsinsincossincoszrcossin由直角坐標系到球面坐標系的變換公式xsincosysinsinzcosxcoscosycossinzsinxsinycos3．各種算子在不同樣坐標系中的表達式設U＝U(x，y，z)是一個標函數(shù)，V＝V(x，y，z)是一個矢函數(shù).[在圓柱面坐標系中各種算子的表達式]哈密頓算子~＝e+e1+ezz梯度gradU＝~U＝eU+e1U+ezUz散度divV＝~·V＝11zz旋度rotV＝~×V＝1zze＋zze＋11ez拉普拉斯算子U＝divgradU＝1U12U2U22z2[在球面坐標系中各種算子的表達式]~1+e1哈密頓算子~＝er+errrsin~U+e1U+e梯度gradＵ＝~Ｕ＝er1Urrrsin7/12個人采集整理僅供參照學習~12r2散度divV=~·V=r1sin1rrrsinrsin旋度rotV＝~×V＝1sinerrsin+1r1rersinrr＋1r1rerrr拉普拉斯算子U＝divgradU＝1rr2U1sin1U12Ur2rrsinrr2sin22三、曲線積分、曲面積分與體積導數(shù)[矢量的曲線積分及其計算公式]矢量場R(r)沿曲線的曲線積分定義為nR(r)·dr＝lim~)·ri-1R(rir0i1n式中~的選擇沒關，曲線ri-1=ri－ri-1，右側極限與ri由A到B(圖8.13)若矢函數(shù)Ｒ(r)是連續(xù)的(就是它的三個重量是連續(xù)函數(shù)),曲線也是連續(xù)的,且有連續(xù)轉(zhuǎn)動的切線,則曲線積分Rrdr存在.若Ｒ(r)為一力場，則Ｐ＝Rrdr就等于把一質(zhì)點沿著搬動時力Ｒ所作的功.矢量曲線積分的計算公式以下：8/12個人采集整理僅供參照學習Rrdr＝XdxYdyZdzRrdr=Rrdr＋Rrdr(圖8.14)1212Rrdr=－RrdrRrTrdr=Rrdr＋TrdrkRrdr=kRrdr(k為常數(shù))[矢量的環(huán)流]若是為一閉曲線，則沿曲線的曲線積分Rrdr＝XdxYdyZdz稱為矢量場Ｒ(r)沿閉曲線的環(huán)流.勢量場沿任何閉曲線的環(huán)流都等于零.若是Ｒ(r)為一勢量場，且它的勢函數(shù)為時，則曲線積分BRrdr=Rrdr＝(B)－(A)A與連接A，B兩點的路徑?jīng)]關，只依賴于A，B兩點的地址(圖8.15).[矢量的曲面積分]設S為一曲面，令N＝cos,cos,cos表示在曲面S上一點的法線單位矢量,而dS＝NdS表示面積矢量元素.又設(r)=(x,y,z)是定義在曲面S上的連續(xù)標函數(shù)，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))是定義在曲面S上的連續(xù)矢函數(shù)，則曲面積分有以下的三種形式：文檔來自于網(wǎng)絡找尋1標量場的通量(或流量)dS=dydzi＋dzdxj＋dxdykSSyzSzxSxy式中Syz，Szx，Sxy分別表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，Oxy平面上的投影.Sxy的正負號規(guī)定以下：當從ｚ軸正方這里規(guī)定法線單位矢量與曲面散布在切面的雙側.9/12個人采集整理僅供參照學習向看去時，看到的是曲面S的正面，以為Sxy為正，若是看到的是曲面的反面，則以為Sxy為負(圖8.16).矢量場的標通量R·dS=Xdydz＋Ydzdx＋ZdxdySSyzSzxSxy式中Syz等的意義同1.矢量場的矢通量R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdySSyzSzxSxy式中Syz等的意義同1.[矢量的體積導數(shù)]若是S是包圍體積V的閉曲面，并包括點r，則沿閉曲面S的曲面積分(dS,R·dS,R×dS)與體積V之比，當V趨于零時(即它的直徑０)的極限稱為標量場SSS(或矢量場R)在點r處的體積導數(shù)(或空間導數(shù)).文檔來自于網(wǎng)絡找尋1標量場的體積導數(shù)就是它的梯度：dSgrad＝limSV0V矢量場Ｒ的體積導數(shù)之一是它的散度：RdSdivR＝limSV0V矢量場Ｒ的另一個體積導數(shù)是它的旋度：RdSrotR＝－limSV0V四、矢量的積分定理[高斯公式]divRdV=R·dS=R·NdSVSS10/12個人采集整理僅供參照學習即XYZdxdydzXcosYcosZcosdSVxyzS式中Ｓ為空間地域Ｖ的界線曲面，N＝cos,cos,cos為在S上一點的法線單位矢量，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))在V＋S上有連續(xù)偏導數(shù).[斯托克斯公式]rotＲ·dS＝rotR·NdS＝R·drSSL即ZYdydzXZdzdxYXSyzzxxdxdyy=ZYcosXZcosYXcosdSSyzzxxy=XdxYdyZdzL式中S為必然曲面的一側，L為曲面S的閉界線曲線(L的正向與N組成右手系).S的每點有切面，其方向連續(xù)地依賴于曲面上的點，而界線曲線L上的每點都有切線(圖8.1