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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.3.集合中含有的元素個數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.124.如圖,平面ABCD,ABCD為正方形,且,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點(diǎn),則異面直線EF與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.5.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時,就說這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.16.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個7.在直角坐標(biāo)平面上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.命題“”的否定為()A. B.C. D.10.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.111.給出下列四個命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設(shè)集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個數(shù)是()A. B. C. D.12.在直三棱柱中,己知,,,則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)有且只有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14.已知,,且,則的最小值是______.15.在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.16.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.19.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)D在橢圓C上,的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.20.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲,每次由一個小孩與其一位家長參與,測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序,然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD,家長猜測的序號依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄冊谝惠営螒蛑?,對四種食物排出的序號完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡要說明方法,不用寫出詳細(xì)計(jì)算過程);(2)若有一組小孩和家長進(jìn)行來三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解,說明理由.21.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.22.(10分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡求值:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.3.B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B4.C【解析】
分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5.C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6.B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.7.B【解析】
由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,由坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,在圓上,在坐標(biāo)滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.8.B【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.9.C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)椋?因?yàn)?,故,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.11.B【解析】
①利用真假表來判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個是假命題,故①錯誤;當(dāng)內(nèi)角為時,不是象限角,故②錯誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因?yàn)椋?,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識,是一道基礎(chǔ)題.12.C【解析】
由條件可看出,則為異面直線與所成的角,可證得三角形中,,解得從而得出異面直線與所成的角.【詳解】連接,,如圖:又,則為異面直線與所成的角.因?yàn)榍胰庵鶠橹比庵唷嗝妫?,又,,∴,∴,解?故選C【點(diǎn)睛】考查直三棱柱的定義,線面垂直的性質(zhì),考查了異面直線所成角的概念及求法,考查了邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
當(dāng)時,轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根,令,通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時,,故不是函數(shù)的零點(diǎn);當(dāng)時,即,令,,,當(dāng)時,;當(dāng)時,,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實(shí)數(shù)根,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.14.8【解析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案16.【解析】
由題意畫出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,數(shù)形結(jié)合即可得到的最值,即可得解.【詳解】由題意畫出可行域,如圖:轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,通過平移直線,數(shù)形結(jié)合可知:當(dāng)直線過點(diǎn)A時,直線截距最大,z最?。划?dāng)直線過點(diǎn)C時,直線截距最小,z最大.由可得,由可得,當(dāng)直線過點(diǎn)時,;當(dāng)直線過點(diǎn)時,,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)令可求得的值,令時,由可得出,兩式相減可得的表達(dá)式,然后對是否滿足在時的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn),由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1),當(dāng)時,;當(dāng)時,由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2).①當(dāng)為奇數(shù)時,;②當(dāng)為偶數(shù)時,.綜上所述,.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解,同時也考查了奇偶分組求和法,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18.(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入上式,化簡即可得到.【詳解】(Ⅰ)解:由題意可知:,解得,橢圓的方程為:;(Ⅱ)證:設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,聯(lián)立方程,消去得:,,①,點(diǎn),,,直線的方程為:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解;關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用韋達(dá)定理化簡三角形面積得到定值;考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中檔題.19.(1)(2)見解析【解析】
(1)由,周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,周長,且.聯(lián)立解得,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時,不妨設(shè)其方程為,則,所以,即.②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為,并設(shè),由,,,由直線l與圓E相切,得.所以.從而,即.綜合上述,得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.20.(1)(?。áⅲ┓植急硪娊馕觯唬?)理由見解析【解析】
(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,家長的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率.
(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.
(2)假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,先考慮小孩的排序?yàn)閤A,xB,xC,xD為1234的情況,家長的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByCyD的情況即可,其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的,∴他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率為.(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長的排序一共有24種情況,列出所有情況,分別計(jì)算每種情況下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)這位家長對小孩的飲食習(xí)慣比較了解.理由如下:
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