第 3 章(II)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

第3章

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)李映輝西南交通大學(xué)2015.092023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》22023年2月1日中國力學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)大會(huì)‘2005’22023年2月1日2聲明本課件可供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中免費(fèi)使用。不可用于任何商業(yè)目的。本課件的部分內(nèi)容參閱了上海交通大學(xué)陳國平教授和太原科技大學(xué)楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動(dòng)力學(xué)》（中國鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎(chǔ)編寫。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》3教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》3教學(xué)內(nèi)容兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》4教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》4多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法鄧柯萊法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李茲法（Ritz)傳遞矩陣法矩陣迭代法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》5多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/鄧柯萊法1鄧柯萊法（Dunkerley）

該方法由鄧柯萊在用實(shí)驗(yàn)確定多圓盤軸橫向振動(dòng)頻率時(shí)提出，作為系統(tǒng)基頻估算公式。

設(shè)n自由度系統(tǒng)質(zhì)量陣、柔度陣為自由振動(dòng)方程為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》6多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/鄧柯萊法特征方程為

式中λ=1/ω2。展開設(shè)上式根λ1=1/ω12，λ2=1/ω22，…,λn=1/ωn2,則（3.101）可表為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》7多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/鄧柯萊法展開得比較（3.101）和（3.103）得即因ω1<<ω2、ω3、…、ωn,1/ω2、1/ω3、…、1/ωn較小，得式中δii=1/kii，則2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》8多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/鄧柯萊法故上式即為鄧柯萊公式，ωii是系統(tǒng)在質(zhì)量mii單獨(dú)作用下（其他質(zhì)量為零）系統(tǒng)的固有頻率。因（3.105）左邊舍去了一些正項(xiàng)，由（3.105）計(jì)算的1/ω12值比實(shí)際大，ω12實(shí)際值小。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》9多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/鄧柯萊法【例3.10】圖3.15為等截面簡支梁。其有3集中質(zhì)量是m1、m2、m3，梁彎曲剛度為EI，質(zhì)量不計(jì)。用鄧柯萊法計(jì)算系統(tǒng)第一階固有頻率的近似值。已知：m1=m3=m,m2=2m?！窘狻坑刹牧狭W(xué)知，簡支梁在單位下的撓曲線公式為a、b分別為力作用點(diǎn)到左右端的距離。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》10多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/鄧柯萊法求得柔度影響系數(shù)為由（3.107）得求得的ω1值比精確值小2.5%。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》112023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》11教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》11多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法鄧柯萊法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李茲法（Ritz)傳遞矩陣法矩陣迭代法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》12多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法2瑞雷法（Rayleigh)多自由度系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢能U的表達(dá)式為系統(tǒng)作某一階主振動(dòng)時(shí)代入（3.108）和(3.109)得系統(tǒng)在作第i階主振動(dòng)時(shí)，最大動(dòng)能Tmax與最大勢能Umax2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》13多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法由機(jī)械能守恒定律，Tmax=Umax得在（3.115）中A(i)代入假設(shè)振型A，結(jié)果以R1表示，則稱為瑞雷商。這種計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法稱為瑞雷法.

因很難選A(i)接近高階主振型，通常不用瑞雷法求高階固有頻率，只用它求低階固有頻率。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》14多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法

取接近一階主振型的假設(shè)振型A代入（3.115），則瑞雷商為一階固有頻率平方近似值。證明如下：

如假設(shè)振型A不是主振型，將其用正則振型線性表示

有瑞雷商為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》15多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法若A接近于一階主振型A（1），則C2/C1<<1,C3/C1<<1,…,Cn/C1<<1,則由（3.118）有一般以靜變形作假設(shè)振型，可得相當(dāng)準(zhǔn)確的結(jié)果。如選取A有困難，可任選一A。與動(dòng)力矩陣D(=M)相乘，得B1=DA，然后以B1或與其成比例的B1作A(1)的近似振型，再按（3.116)計(jì)算R1，可得ω12好的近似。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》16多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法也可用于以柔度陣δ建立振動(dòng)方程的情況，這時(shí)系統(tǒng)勢能U等于外力的功，即在振動(dòng)過程中，只有慣性力作用，即因x為得2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》17多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法勢能、動(dòng)能最大值由Tmax=Umax，得當(dāng)A為第i階主振型，由（3.122）得第i階固有頻率的平方值ωi2。在（3.122）中代入假設(shè)振型A，結(jié)果用R2表示，則有上式稱為第二瑞雷商。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》18多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法注意：用（3.115）或（3.123）計(jì)算的ω12總比精確值ω12大。因任選一A，即對系統(tǒng)增加了約束，提高了系統(tǒng)剛度，使頻率增大。【例3.11】用瑞雷法求例3.10中一階固有頻率的近似值?！窘狻坑衫?.10系統(tǒng)質(zhì)量陣M和柔度陣δ為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》19多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法三點(diǎn)處靜撓度為最大勢能為各點(diǎn)最大速度為ωy1、ωy2、ωy3，最大動(dòng)能為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》20多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/瑞雷法由（3.124）得此結(jié)果比真實(shí)值略高，誤差為0.02%。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》212023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》21作業(yè)第97頁3.19多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》222023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》222023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》22教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》22多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法鄧柯萊法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李茲法（Ritz)傳遞矩陣法矩陣迭代法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》23多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法3李茲法（Ritz)

瑞雷法理論上可求系統(tǒng)的各階固有頻率，但實(shí)際上難以用于求高階固有頻率。李茲法對瑞雷商進(jìn)行了改進(jìn)，采用其極值形式，能找到較精確的低階和高階振型，不僅可求出更精確的基頻，還可計(jì)算高階頻率和振型，故李茲法也稱為瑞雷—李茲法。李茲法需先假定若干振型，并進(jìn)行線性組合，用瑞雷法計(jì)算前幾階固有頻率。若系統(tǒng)自由度很大，矩陣階數(shù)很高，其存儲量大，運(yùn)算速度慢。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》24多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法如希望有s階頻率與振型為準(zhǔn)確值，需假設(shè)n1個(gè)振型(2s<n1<n)，矩陣階數(shù)大為降低，故李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度的近似解法。介紹如下：任取n1個(gè)線性無關(guān)的特征向量ψ1、ψ2、…、ψn1，用其線性組合作為新的假設(shè)振型A,即式中C1、

C2、…、

Cn1為待定常數(shù)，將（3.125）表為矩陣形式其中2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》25多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法將A=ψC代入（3.116）得由瑞雷商極值性質(zhì)，可得待定常數(shù)Cj，即令將這n1個(gè)方程表為矩陣形式其中分別為n1×n1的廣義剛度陣和廣義質(zhì)量陣.2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》26多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法（3.130）為特征值問題，因階數(shù)n1遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自由度數(shù)n，求解簡便。由（3.130）得s個(gè)特征值R1、R2、…、Rn1為系統(tǒng)最低的n1個(gè)固有頻率，C(1)、

C(2)、…、

C(n1)

為對應(yīng)的n1個(gè)主振型【例3.12】圖示彈簧—質(zhì)量系統(tǒng),用李茲法求其前三階固有頻率和主振型。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》27多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法【解】取廣義坐標(biāo)x1、x2、x3、x4，系統(tǒng)質(zhì)量陣、剛度陣為設(shè)則廣義剛度陣為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》28多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法廣義質(zhì)量陣為代入（3.130）得解得2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》29多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/李茲法系統(tǒng)最低二階固有頻率的近似值為主振型的近似值為同樣可以求出另兩階頻率和振型。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》302023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》30作業(yè)第98頁3.22多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》312023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》312023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》31教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》31多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法鄧柯萊法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李茲法（Ritz)傳遞矩陣法矩陣迭代法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》32多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法4.傳遞矩陣法質(zhì)量陣、剛度陣形成后，前述方法有廣泛應(yīng)用。

對一環(huán)連一環(huán)，呈鏈狀的工程結(jié)構(gòu)（如發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸、連續(xù)梁等），可采用另一計(jì)算方法—傳遞矩陣法。該法只需對低階次的傳遞矩陣進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算其特征值，節(jié)省計(jì)算工作量。由界面上的力和位移組成列矢量，稱為狀態(tài)矢量。聯(lián)系相鄰單元間狀態(tài)矢量的矩陣，稱傳遞矩陣。傳遞矩陣把狀態(tài)矢量從一個(gè)位置轉(zhuǎn)換到另一位置，因此稱為傳遞矩陣法，又稱變換矩陣法。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》33多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法（1）梁上有集中質(zhì)量的橫向振動(dòng)系統(tǒng)連續(xù)梁或汽輪機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子可簡化為無質(zhì)量的梁附加若干集中質(zhì)量的橫向振動(dòng)系統(tǒng)，如圖3.17（a）。圖3.172023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》34多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法設(shè)第i個(gè)單元集中質(zhì)量mi，梁長li，抗彎剛度EIi。梁段及集中質(zhì)量受力如圖3.17（c）、（d）。各截面撓度y、截面轉(zhuǎn)角θ、剪力Q及彎矩M約定為正值。任一截面狀態(tài)向量有4個(gè)分量，即廣義位移y與θ及廣義力Q與M，表示為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》35多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法由圖3.17（d）的力平衡條件有圖3.172023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》36多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法設(shè)第i段梁上距左端x處截面的彎矩、剪力、轉(zhuǎn)角、撓度分別為Mi(x)、Qi(x)、θi(x)及yi(x)，則上式中令x=li,得2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》37多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法表為矩陣形式簡寫成式中Hif稱為場傳遞矩陣。

由圖3.17（c），集中質(zhì)量兩邊的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力滿足2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》38多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法當(dāng)系統(tǒng)以頻率ω振動(dòng)時(shí)，（3.142）為（3.139）-（3.143）表示矩陣形式2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》39多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法HiP稱為點(diǎn)傳遞矩陣。

由（3.138）、（3.145）得Zi-1R到ZiR的傳遞關(guān)系為其中Hi稱為第i單元的傳遞矩陣2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》40多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法由此得到記總傳遞矩陣為則從最左端與最右端間的傳遞關(guān)系為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》41多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法具體形式為H中各元素依賴于ω，表示為兩端邊界條件已知，可以得到梁的固有頻率。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》42多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法（2）軸盤扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)

對圖3.18（a）示鏈狀軸盤扭振系統(tǒng)，其典型單元包括無質(zhì)量軸段和剛性圓盤。

設(shè)第i單元內(nèi)軸段扭轉(zhuǎn)剛度ki，長度li，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji，軸段及圓盤受力如圖3.18（b）-（c）。各截面轉(zhuǎn)角θ、扭矩M約定為正值。截面狀態(tài)向量為不計(jì)軸段轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由圖3.18知兩邊扭矩相等2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》43多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法軸段兩邊轉(zhuǎn)角滿足：2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》44多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法（3.154）與（3.155）寫成矩陣形式即表示從狀態(tài)向量Zi-1R到ZiL的傳遞關(guān)系，Hif稱為場傳遞矩陣。

由圖3.18（c）知圓盤兩邊轉(zhuǎn)角相等，即圓盤振動(dòng)方程為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》45多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法當(dāng)軸盤系統(tǒng)以頻率ω振動(dòng)時(shí)，有，代入得（3.158）與（3.157）的矩陣形式得表示從狀態(tài)向量ZiL到ZiR的傳遞關(guān)系，HiP稱為點(diǎn)傳遞矩陣。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》46多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法由（3.156）、（3.160）得從ZiR到Zi-1R的傳遞關(guān)系Hi稱為第i單元的傳遞矩陣。等于Hi是頻率的函數(shù)。通過各單元的傳遞矩陣，可建立結(jié)構(gòu)最左端與最右端的狀態(tài)向量之間的傳遞關(guān)系。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》47多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法【例3.13】3圓盤扭振系統(tǒng)。各圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=4.9kg.m2，J1=4.9kg.m2，J3=19.6kg.m2，軸段扭轉(zhuǎn)剛度k2=98×103N.m，k3=196×103N.m.用傳遞矩陣法求各階固有頻率和主振型?！窘狻坑蓚鬟f矩陣法，系統(tǒng)最左端與最右端狀態(tài)向量之間傳遞關(guān)系為即2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》48多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法邊界條件為M1L=M3R=0。對左端邊界條件，在（a）中M1L=0，得因θ1L任意，ω是固有頻率，M3R=0，代入（b），有上式即為頻率方程。設(shè)最左端狀態(tài)向量為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》49多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法Z1R=H1PZ1L,Z2R=H1fZ1R,Z3R=H3Z2R的具體形式為可得該扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)（注意剛體運(yùn)動(dòng)）

2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》50多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法對應(yīng)主振型為2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》512023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》51作業(yè)第98頁3.24多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/傳遞矩陣法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》522023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》522023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》522023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》52教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》52多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法鄧柯萊法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李茲法（Ritz)傳遞矩陣法矩陣迭代法2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》53多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/矩陣迭代法5.矩陣迭代法（1）求一階固有頻率和振型

對無阻尼多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其固有頻率及主振型可由下式求出：上式也可寫為引入D=δM和λ=1/ω2，則（3.164）可寫為D稱為系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》54多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/矩陣迭代法用矩陣迭代法是計(jì)算固有頻率和主振型步驟如下：（1）任假設(shè)一初始振型A；（2）按下格式計(jì)算位形列陣序列Am，m=1,2,…；當(dāng)m足夠大時(shí)，位形列陣趨于第一主振型，即

且

2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》55多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/矩陣迭代法式中（ai）m為列陣Am=[a1a2…ai…]mT的第i個(gè)元素。證明如下：因任意初始振型A0可表為主振型的線性組合，即第一次迭代得同樣2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》56多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/矩陣迭代法繼續(xù)迭代有當(dāng)?shù)螖?shù)較大時(shí)，(λ2/λ1

)m，(λ3/λ1

)m，，…

(λn/λ1

)m均小于1，除了第一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)均可忽略.#影響迭代收斂速度因素：（1）系統(tǒng)本身性質(zhì)，即λ2/λ1的大??；（2）初始列陣A0，越接近一階主振型，即C2/

C1

、

C3/

C1

、…等越小，收斂越快。迭代收斂速度主要取決于λ2/λ1的比值。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》57多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/矩陣迭代法(2)求高階固有頻率和振型

矩陣迭代法可求出全部固有頻率及主振型。下面說明求各階固有頻率及主振型的清除矩陣迭代法。

設(shè)第一階固有頻率ω1和主振型A(1)已求得,將A(1)對質(zhì)量陣正則化得AN(1)。為求二頻率，構(gòu)造如下動(dòng)力矩陣：D2稱為清除矩陣（清除第一振型的動(dòng)力矩陣）。用上述迭代步驟，任取初始振型A0，用D2替代原來D，則迭代將收斂于λ2及A(2)。2023年2月1日《振動(dòng)力學(xué)》58多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法/矩陣迭代法證明如下：由于第一次迭代注意到得到