第10章 結(jié)構(gòu)動力計算基礎(chǔ)

基本要求：熟練掌握單自由度體系自由振動的計算(微分方程的建立、求解、自振周期和自振頻率的計算）；了解單自由度體系強迫振動的計算；了解兩個自由度體系自由振動的計算。教學內(nèi)容：﹡動力計算的特點和動力自由度

﹡單自由度體系的自由振動

﹡單自由度體系的強迫振動

﹡兩個自由度體系的自由振動

第10章

結(jié)構(gòu)動力計算基礎(chǔ)1.動力荷載與靜力荷載靜力荷載是指大小、方向和作用位置不隨時間變化或變化很小的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較小因而可以忽略不計，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。動力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較大因而不能忽略，由它所引起的內(nèi)力和變形都是坐標和時間的函數(shù)?！?0.1

動力計算的特點和動力自由度一、動力荷載的概念及分類區(qū)別：靜力荷載只與作用位置有關(guān)，而動力荷載的變化是坐標和時間的函數(shù)。

（1）周期荷載——隨時間作周期性變化2.動力荷載的分類確定性非確定性（隨機荷載）周期荷載非周期荷載P(t)t簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）Pt一般周期荷載簡諧荷載：最簡單的周期荷載，隨時間按正弦或余弦規(guī)律變化。如機器轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)子做勻速轉(zhuǎn)動時就會產(chǎn)生這種荷載。非簡諧荷載：按其它規(guī)律周期性變化的荷載。如平穩(wěn)情況下波浪對堤壩的動水壓力；輪船螺旋槳產(chǎn)生的推力等。突加荷載：突然施加在結(jié)構(gòu)上并保持不變的荷載，如施工中吊起重物的卷揚機突然開動時施加于鋼絲繩上的荷載。沖擊荷載：短時間內(nèi)劇增或劇減P(t)ttrPtrP(t)tPP(t)tP突加荷載（2）非周期荷載沖擊荷載：在很短時間內(nèi)，荷載值急劇增大或減小，如各種爆炸荷載、打樁機的錘頭對樁柱的沖擊等。（3）隨機荷載——荷載有很大的隨意性，任一時刻的數(shù)值無法確定，如地震荷載、風荷載、海浪對堤岸、碼頭的沖擊等。1.地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的震動；二、常見的動力問題2.風荷載作用下大型橋梁、高層結(jié)構(gòu)的振動；3.機器轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的不平衡力引起的大型機器基礎(chǔ)的振動；4.車輛運行中由于路面不平順引起的車輛振動及車輛引起的路面振動；5.爆炸荷載作用下防護工事的沖擊動力反應(yīng)；6.海洋工程結(jié)構(gòu)在波浪、冰凌、臺風等動力荷載作用下的反應(yīng)等等，量大而面廣。三、結(jié)構(gòu)動力計算的特點1.結(jié)構(gòu)動力學的主要特征由于荷載隨時間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學的最主要特征。

達朗伯原理：在質(zhì)點運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點上的所有的主動力、約束反力與虛加在質(zhì)點上的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系（即主動力、約束反力和質(zhì)點的慣性力的矢量和等于零）。動靜法：根據(jù)達朗伯原理，動力計算問題可以轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題來求解，這種方法稱為動靜法。2.結(jié)構(gòu)動力計算的原理和方法靜力計算靜力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)力、位移是不隨時間變化的常量動力計算動力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)力、位移是隨時間變化的函數(shù)引進慣性力（達朗伯原理）瞬時的靜力平衡問題3.靜力計算與動力計算的區(qū)別動力平衡的特點：與靜力平衡不同，動力平衡只是形式上的平衡，是在引進慣性力條件下的平衡。（1）在所考慮的力系中要包括慣性力；（2）所謂的平衡是瞬間的平衡，荷載、內(nèi)力、位移、速度、加速度等都是時間的函數(shù)。慣性力：當質(zhì)點受力作用而改變其原來的運動狀態(tài)時，由于質(zhì)點的慣性產(chǎn)生對外界反抗的反作用力稱為質(zhì)點的慣性力。慣性力的方向與加速度方向相反，大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積。注意：質(zhì)點的慣性力并不是質(zhì)點本身受到的力，而是質(zhì)點作用于施力物體上的力。m運動方程施力物體慣性力m形式上的平衡方程，實質(zhì)上的運動方程。由牛頓第二定律可得牛頓第二定律：質(zhì)點受外力作用時，將產(chǎn)生運動加速度，加速度的方向與外力合力方向一致，其大小與合力的大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比。即在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（動內(nèi)力、動位移等）都隨時間變化，它除與動力荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢?，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動力荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)構(gòu)的動力特性。4．動力反應(yīng)的特點5．結(jié)構(gòu)動力計算的目的

研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力和最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性設(shè)計提供依據(jù)。

1940年美國西海岸華盛頓州建成了一座當時位居世界第三的Tacoma大橋，大橋中央跨距為853米，為懸索橋結(jié)構(gòu)，設(shè)計可以抗60米/秒的大風，但不幸的是大橋剛建成四個月就在19米/秒的小風吹拂下整體塌毀。其根本原因在于風旋渦脫落的頻率與懸索橋板的固有頻率一致，從而產(chǎn)生了強烈的共振。因此盡管橋塌毀的這天風并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。強迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的振動。研究結(jié)構(gòu)的強迫振動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。四、自由振動和強迫振動自由振動：結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時，由初速度、初位移所引起的振動。研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。五、動力計算中體系的自由度1.動力自由度的定義確定體系運動過程中任一時刻全部質(zhì)量位置所需的獨立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的動力自由度。動力問題的基本特征是需要考慮慣性力，根據(jù)達朗伯原理，慣性力與質(zhì)量和加速度有關(guān)，這就要求分析質(zhì)量分布和質(zhì)量位移，所以，動力學一般將質(zhì)量位移作為基本未知量。2.動力自由度簡化方法嚴格意義上講，實際結(jié)構(gòu)都是具有分布質(zhì)量的彈性體，是無限自由度體系。實際結(jié)構(gòu)動力自由度簡化方法有：應(yīng)用中存在的問題：（1）計算復(fù)雜，有時甚至無法求解；

（2）從工程角度沒有必要。故，為計算方便，實際結(jié)構(gòu)通常簡化為有限自由度體系。集中質(zhì)量法廣義坐標法有限單元法根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系和無限自由度體系。將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學原則集中到若干幾何點上，使結(jié)構(gòu)只在這些點上有質(zhì)量，除這些點之外物體是無質(zhì)量的。從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。（1）集中質(zhì)量法本章主要討論集中質(zhì)量法。

（2）廣義坐標法---廣義坐標---滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)

（3）有限元法綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標法的特點,將實際結(jié)構(gòu)離散為有限個單元的集合，以結(jié)點位移作為廣義坐標，將無限自由度問題化為有限自由度問題。廣義坐標個數(shù)即為自由度個數(shù)結(jié)點位移個數(shù)即為自由度個數(shù)m>>m梁my(t)1個質(zhì)點1個自由度廠房排架水平振動時的計算簡圖EIEI2EImy(t)1個質(zhì)點1個自由度2個質(zhì)點2個自由度1個質(zhì)點2個自由度說明：自由度數(shù)目與質(zhì)點數(shù)目不一定相等?？偨Y(jié)：動力計算中的自由度數(shù)目與結(jié)構(gòu)中質(zhì)點的數(shù)目和結(jié)構(gòu)的幾何組成無關(guān)。y(x,t)x無限自由度體系y1y23.自由度的確定1)平面上的一個質(zhì)點W=22)

W=2彈性支座不減少動力自由度3)

計軸變時W=2不計軸變時W=1為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。4)

W=15)

W=2W=1自由度數(shù)與質(zhì)點個數(shù)無關(guān)，但不大于質(zhì)點個數(shù)的2倍。6)W=28)平面上的一個剛體W=39)彈性地面上的平面剛體W=3W=210)

7)

θW=111)

13)

W=13自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無限多的體系為無限自由度體系。W=312)

y1y2y3結(jié)論：

①結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)目與質(zhì)點的個數(shù)無關(guān)②結(jié)構(gòu)動力自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？思考：

自由振動的概念：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻（t=0）受到外界的干擾，由初位移或初速度引起。1）很多實際的動力問題都可按單自由度體系進行動力分析或進行初步估算。hy(t)§10.2單自由度體系的自由振動（不計阻尼）

單自由度體系的自由振動分析的必要性：2）單自由度體系自由振動的分析是單自由度體系受迫振動和多自由度振動分析的基礎(chǔ)。要掌握單自由度體系的動力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立其運動方程。下面介紹建立在達朗伯原理基礎(chǔ)上的“動靜法”。

分析自由振動的目的：確定結(jié)構(gòu)的動力特性（自振頻率、自振周期）。一、自由振動微分方程的建立單自由度體系的自由振動及相應(yīng)的彈簧-質(zhì)量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標原點，在t時刻，質(zhì)量m的位移為y(t)。1.剛度法建立平衡方程：（以質(zhì)點為研究對象）取質(zhì)量m為隔離體，作用在隔離體上的力：慣性力與加速度方向相反。動平衡方程：彈性力-ky(t)與位移方向相反；（10-1）y(t)mk(a)my(t)mky(t)(b)(c)2.柔度法建立位移方程：（以結(jié)構(gòu)整體為研究對象）質(zhì)量m在t

時刻的位移y(t)是由此時作用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：

(a)單自由度體系：

(b)式（10－1）或（a）稱為單自由度體系自由振動運動方程（微分方程）。y(t)mk=mk×將（b）代入（a）整理后，即為（10-1）式。對單自由度體系來說：上式可用功的互等定理加以證明：mkmk根據(jù)功的互等定理，有：二、自由振動微分方程的解單自由度體系自由振動微分方程寫為：

（10－2）式中：

其通解為：

當初始條件二階齊次線性常微分方程式（10－3）還可寫成：（10－4）式中：（10－5）不計阻尼時，單自由度體系的自由振動是由初位移和初速度引起的簡諧振動。方程的解：（10－3）三、結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率

由式（10－4）：y(t)是周期函數(shù)－自振周期（固有周期）－自振頻率（固有頻率）1.結(jié)構(gòu)自振周期和自振頻率的各種等價計算公式

理解這些公式各符號的含義，由其中一個公式便可得到其他公式。自振頻率和周期的計算方法：(1)利用計算公式(2)利用機械能守恒（能量法）2.結(jié)構(gòu)自振周期T（或自振頻率ω）的性質(zhì)

（1）自振周期只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外部干擾因素無關(guān)，它是結(jié)構(gòu)本身固有的特性；干擾力的大小只能影響振幅。（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比，改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度可改變其自振周期。（3）自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個很重要的數(shù)量標志。不管實際結(jié)構(gòu)是否相同，若自振周期相同，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)也相同。3.簡諧自由振動的特性

位移：

加速度：

慣性力：

位移與慣性力作同頻同步振動。1mEIla—位移幅值（最大值）maω2—慣性力最大值4.算例

例1.求圖示體系的自振頻率和自振周期。解：圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個質(zhì)量，但它們沿同一直線（水平方向）運動，故仍為單自由度體系。如圖（b）示，作圖柔度系數(shù)自振頻率

自振周期例2．圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計,求其自振頻率。解：不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作圖，求出剛度系數(shù)自振頻率

例3．求圖示體系的自振頻率。

解：（1）求各質(zhì)點處的慣性力幅值，作體系的受力圖

設(shè)該體系轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角的幅值為。當位移達到幅值時，質(zhì)量2m

和m上的慣性力也同時達到幅值。（2）在幅值處列出動平衡方程，求體系自振頻率由此求得

慣性力：

在質(zhì)點2m處最大慣性力：

在質(zhì)點m處最大慣性力：

例4.求圖示體系的自振頻率和周期.解:mlmmlllkk1.能量法2.列幅值方程A例5.求圖示體系的自振頻率和周期。mEIlEIl=1=1ll/2l解:例6.質(zhì)點重W，求體系的頻率和周期.解:EIkl1k§10.3單自由度體系的強迫振動（不計阻尼）強迫振動——結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的振動，也叫受迫振動。一.強迫振動的運動微分方程mEIlP(t)運動方程或（10－11）式中結(jié)構(gòu)的自振頻率式（10－11)為單自由度體系強迫振動的運動方程。單自由度體系在動荷載下的振動及相應(yīng)的振動模型如圖示:二階線性非齊次常微分方程通解：mEIlP(t)P

——荷載幅值——荷載頻率運動方程先求方程特解：

代入方程,可得二、簡諧荷載作用下的受迫振動1.運動方程的建立及求解齊次解：通解為：荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移積分常數(shù)由初始條件確定，設(shè)在t=0時的初位移和初速度均為零，則得運動方程的解為：（10－12）式（10-12）中第一項為動荷載引起的振動;第二項為初始條件引起的自由振動。實際上，由于阻尼的存在，自由振動部分都很快衰減掉。自由振動消失前的振動階段稱為過渡階段。后來只按荷載頻率進行的振動階段為振動的平穩(wěn)階段，稱為純受迫振動或穩(wěn)態(tài)振動。2.穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動階段運動方程的解：最大動位移：動力系數(shù)：（10－13）（1）動位移的討論動力系數(shù)是頻率比的函數(shù),它反映了干擾力與動位移之間的關(guān)系。

當時，即動位移與干擾力指向一致；當時，即動位移與干擾力指向相反。1）

干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。當時，為增函數(shù)。極限情況，即或，則。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在振動問題。

2）共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率,使或。體系處于靜止狀態(tài)3）為減函數(shù)通過改變頻比可增加或減小振幅。若要使振幅降低,應(yīng)采取何種措施?應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)構(gòu)的自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；（2）降低振幅的措施：

－頻率比應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。3.動位移幅值（振幅）和動內(nèi)力幅值的計算（1）計算動力系數(shù)；（2）計算動荷載幅值作為靜荷載作用時引起的位移和內(nèi)力；（3）將位移和內(nèi)力分別乘以動力系數(shù)得動位移幅值和動內(nèi)力幅值。計算步驟：例1.求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知mEIEIlPl/4解：

Pl/3動彎矩幅值圖例2.求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移。解：

Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4最大動位移最大動彎矩跨中最大彎矩跨中最大位移4.動荷載不作用于質(zhì)點時的計算m=1=1令P運動方程穩(wěn)態(tài)解（2）列幅值方程求最大動內(nèi)力（動內(nèi)力幅值）同頻同步變化仍是位移動力系數(shù)是內(nèi)力動力系數(shù)嗎?（1）求振幅——最大動位移（動位移幅值A(chǔ)）根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時作用在體系上，按靜力學計算方法便可求得動內(nèi)力幅值?！畲箪o位移解:例1.求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知mEIl/2l/2PP=1=1P動彎矩幅值圖解:例2.求圖示體系右端的質(zhì)點振幅。mlmkllAPo(a)(b)(c)例3.求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知解：(1)計算動力系數(shù)

(2)簡支梁的振幅(d)l/4(e)3l/16(3)作動彎矩的幅值圖。(f)l/4(d)l/4(e)3l/16采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應(yīng)，在此基礎(chǔ)上討論一般動力荷載下的動力反應(yīng)。1.瞬時沖量的動力反應(yīng)假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。由于荷載作用時間極短，可以認為在沖擊荷載作用完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止狀態(tài)的質(zhì)點獲得速度而引起自由振動。

思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？

三、一般動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)根據(jù)動量定律，質(zhì)點在瞬時沖量F·Δt作用下的動量變化為:由于v0=0，

所以有原來初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為的自由振動問題。由(10-14)得若沖擊荷載不是在t＝0，而是在t=τ時作用，則上式中的t應(yīng)改為(t-τ)。由式(10-14)可得在t=τ

時作用瞬時沖量S引起的動力反應(yīng)：(10-14)2.一般動力荷載F(t)的動力反應(yīng)把整個加載過程看成是由一系列瞬時沖量所組成的。在時刻t=τ

作用的荷載為F(t)，此荷載在微分時段dτ內(nèi)產(chǎn)生的沖量為dS=F(t)·dτ

。根據(jù)式(10-14)，此微分沖量引起的動力反應(yīng)為：對加載過程中產(chǎn)生的微分反應(yīng)進行疊加，得出總反應(yīng)如下：——稱為杜哈梅(Duhamel)積分。

(10-15)§14-5

單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動

（1）基本思路：視為一系列瞬時沖量連續(xù)作用下響應(yīng)的總和Δttτt't't0t瞬時沖量tP(t)tτ(Duhamel積分)初始位移y0和初始速度v0不為零t時刻τ的微分沖量對t瞬時(t>τ)引起的動力反應(yīng)：微分沖量（2）一般動荷載的動力反應(yīng)杜哈梅積分初始位移y0和初始速度v0為零（1）突加荷載P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π質(zhì)點圍繞靜力平衡位置作簡諧振動ystyst舉例說明：動力系數(shù)：3.幾種常見動力荷載下的動力反應(yīng)（2）短時荷載

P(t)tPou

1）方法一：階段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷載：直接采用

Duhamel

積分階段Ⅱ

(t>u)：P(t)tPou階段Ⅱ

(t>u)：體系以作自由振動。

2）方法二：利用突加荷載結(jié)論，分段討論。階段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷載：

3）方法三：由兩個突加荷載疊加而成。P(t)tPP(t)tPu1)當0<ｔ<u2)當ｔ>uP(t)tPuy(t)ωt0π2π3π討論主要針對u展開ystT/21）當u>T/2，最大動位移發(fā)生在階段Ⅰ2）當0<u<T/2，最大動位移發(fā)生在階段Ⅱβ1/611/22動力系數(shù)反應(yīng)譜β(T,u)最大動反應(yīng)的求解：（3）線性漸增荷載P(t)tP0tr對于這種線性漸增荷載，其動力反應(yīng)與升載時間tr的長短有很大的關(guān)系。P(t)tP0tr01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0β動力系數(shù)反應(yīng)譜β(T，tr)討論：β與tr的關(guān)系例.

有一重物Q=2kN從20cm高處落到梁的中點，求梁的最大彎矩。已知梁的自重為W=20kN，I=36×104cm4,E=34×102kN/cm2。20cmQ3m3mW’解：結(jié)構(gòu)在瞬時沖量作用下的動方程：重物與地面接觸時的速度為：沖量為：1）求沖量：結(jié)構(gòu)的最大位移：其中：2）求頻率：等效靜荷載：將梁的重量一半作用在梁的中間，一半作用在梁的兩邊。跨中最大彎矩：跨中最大位移：20cmQ3m3mW’（1）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系多層房屋、不等高排架等（2）為滿足計算精度的要求煙囪、高聳建筑物等

基本方法剛度法：柔度法：按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運動方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運動方程§10.5雙自由度體系的自由振動（不計阻尼）

一、剛度法(以質(zhì)點為研究對象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)根據(jù)達郎伯原理，可列出方程：（a）(c)12y1(t)y2(t)1.建立自由振動微分方程是質(zhì)點受到的彈力,與位移方向相反。12y1(t)y2(t)=121×+121×由上圖，可列出方程：（b）把（b）代入（a），可列出自由振動微分方程：（10-38）微分方程：設(shè)解為：（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：2.求自振頻率頻率方程或（特征方程）：齊次線性方程組：自振頻率：非零解較小的第一頻率（基頻），為第二頻率。（10-39）（10-40）（10-41）則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：兩個質(zhì)點的位移隨時間變化的頻率相同，二者比值保持不變，即結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型。3.主振型第一振型或基本振型第二振型（1）結(jié)論(1)在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。(2)多自由度體系自振頻率不止一個，其個數(shù)與體系自由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。(3)每個自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。(4)與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型也是體系本身的固有性質(zhì)。二、柔度法(以結(jié)構(gòu)整體為研究對象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)12=×+(c)12×根據(jù)疊加原理，可列出方程如下：（10-44）1.建立自由振動微分方程微分方程：設(shè)解為：（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：2.求自振頻率齊次線性方程組：（10-45）即：主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。12Y1Y2式（10-45）還可寫成下式來表達：頻率方程或（特征方程）：齊次線性方程組：非零解（10-46）令頻率方程：則自振圓頻率為：較小的第一頻率（基頻），為第二頻率。（10-47）則用柔度系數(shù)表示的主振型為：3.主振型第一振型第二振型（1）（10-48a）（10-48b）三、主振型的正交性m1m2運動方程：按振動時：位移與加速度同時達到最大，因此可以看作是最大慣性力產(chǎn)生的靜位移。1.作自由振動時，體系上承受的是慣性力2.功的互等定理1212在梁上先作用P1,再作用P2,整個過程中體系做的功為：在梁上先作用P2,再作用P1,整個過程中體系做的功為：

1號力在2號力引起的位移上做的功功的互等定理2號力在1號力引起的位移上做的功3.主振型的正交性用功的互等定理來證明：第一主振型第二主振型功的互等定理整理得：第一正交關(guān)系虛功1虛功2Y1(1)Y2(1)m1m2m1m2Y1(2)Y2(2)如何解釋正交性？利用第一正交關(guān)系1)同乘虛功1＝02)同乘虛功2＝0這表明體系在振動過程中，各主振型的能量不會轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會引起其他主振型的振動。因此，各主振型能單獨存在而不相互干擾。例1.設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無限大，質(zhì)量集中在橫梁上，且m1=m2=m,試求剛架水平振動時的自振動