第11章 彎曲應(yīng)力

第11章彎曲應(yīng)力§11-1平面彎曲的概念及實例彎曲：舉例說明：我們在家洗衣服后，總是要拿到陽光下去曬，在這種情況下，我們都是在有陽光的地方拉一根鐵絲（或繩子），在沒有鐵絲或繩子的情況下，一般都喜歡在兩個建筑物之間橫上一根竹桿用來涼衣服。這些繩子或竹桿在沒有掛上衣物之前都保持在水平位置（它的軸線自然也是一條水平直線）。當(dāng)我們把衣服掛上去之后，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)原來為直線的軸線變成了曲線，這種形式的變形我們就稱為彎曲變形。

再如我們書中所舉的火車輪軸的例子，也是一樣的情況。2、定義：當(dāng)通過桿件軸線的縱向平面內(nèi)作用一對等值、反向的力偶時，桿件的軸線由原來的直線變?yōu)榍€，這種形式的變形就稱為彎曲。3、梁：以彎曲為主要變形的桿件，我們通常稱之為梁。①軸線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。②有對稱平面的梁稱為對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為非對稱梁工程實例工程實例工程實例工程實例5、非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。FqFAFB縱向?qū)ΨQ面4、平面彎曲（對稱彎曲）一般情況下，工程中受彎桿件的橫截面都至少有一個通過幾何形心的對稱軸，因而整個桿件都有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。如下圖，當(dāng)作用于桿件的外力都在這個縱向?qū)ΨQ平面上時，可以想象到，彎曲變形后的軸線也將是位于這個對稱面內(nèi)的一條曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲變形，簡稱為平面彎曲。目錄§11-2彎曲正應(yīng)力純彎曲橫力彎曲FSxFFxMFaFalaF①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；1、梁的純彎曲實驗縱向?qū)ΨQ面bdacabcdMM②縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；③橫向線與縱向線變形后仍正交。④橫截面高度不變。11-2-1實驗現(xiàn)象的觀察與分析2.平面假設(shè)：梁在變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，并仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞截面內(nèi)的某一軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度，這就是彎曲變形的平面假設(shè)。對上面的實驗結(jié)果進行判斷和推理，我們就可以得出如下的結(jié)論：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。3.單向受力假設(shè)：平面假設(shè)

梁在純彎曲時，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對稱軸的某一軸轉(zhuǎn)動。中性軸根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層，稱為中性層。中性層中性軸中性層與橫截面的交線就是中性軸。中性層中性軸Me

Me

11-2-2正應(yīng)力公式的推導(dǎo)（一）幾何方面表面變形情況縱線彎成弧線，靠近頂面的縱線縮短，而靠近底面的縱線則伸長；橫線仍為直線，并與變形后的縱線保持正交，只是橫線間相對轉(zhuǎn)動。mabmanbnMe

Me

mmnnaabbr——中性層的曲率半徑CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb（二）物理方面——單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律不計擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)s<sp，且拉、壓彈性模量相同時，有即直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。zOyzdAsdAyx（三）靜力關(guān)系：從式

可知：我們雖然知道了正應(yīng)力的分布規(guī)律，但因曲率半徑

和中性軸的位置尚未確定，所以仍不能求出正應(yīng)力，因此我們還有必要考慮靜力平衡關(guān)系。如圖所示：橫截面上的微內(nèi)力可組成一個與橫截面垂直的空間平行力系，這樣的平行力系可簡化成三個內(nèi)力的分量：N——平行于x軸的軸力N

MZ——對Z軸的力偶矩

My——對y軸的力偶矩z(中性軸)ysdAdAyxzOM圖6—6其中：由左半部分平衡可得：中性層通過截面形心。

由于y軸是橫截面的對稱軸，故自然滿足。

由

(6—3)

其中：

是梁軸線變形后的曲率，EIz是梁的抗彎剛度。上式即是純彎曲時，梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式。（四）討論：1.梁的上下邊緣處，彎曲正應(yīng)力達到最大值，分別為：

式中：Wz——抗彎截面模量對矩形和圓形截面的抗彎截面模量。[注：各種型鋼的抗彎截面模量可從型鋼表中查到]矩形：

(6—4)

圓形：

(6—5)

若梁的橫截面對中性軸不對稱，其最大拉壓應(yīng)力并不相等，這時應(yīng)分別進行計算。2.橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律：

smaxsmaxMsminMsmin3.公式適用范圍：①適用于線彈性范圍——正應(yīng)力小于比例極限sp；②適用于平面彎曲下的純彎曲梁；③橫力彎曲的細長梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大，但此時公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即：目錄中性軸

z

為橫截面的對稱軸時稱為彎曲截面系數(shù)yzzybh中性軸

z

不是橫截面的對稱軸時Ozyyt，maxyc，maxⅡ.純彎曲理論的推廣橫力彎曲時：1、由于切應(yīng)力的存在梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實際上都不再成立。彈性力學(xué)的分析結(jié)果：對于細長梁（l/h>5），純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。Fl4lF§11-3常用截面的慣性矩、平行移軸公式

一、基本概念1.靜矩（或一次矩）OxdAyyxC——微面積對y軸的靜矩——微面積對x軸的靜矩——整個平面圖形對y軸的靜矩——整個平面圖形對x軸的靜矩2.形心坐標(biāo)公式常用單位：m3或mm3。數(shù)值：可為正、負或0。3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系推論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。1.組合截面的靜矩根據(jù)靜矩的定義：整個平面圖形對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：二、討論：2.組合截面的形心坐標(biāo)公式組合截面靜矩組合截面面積組合截面的形心坐標(biāo)公式為：11-3-1常用截面的慣性矩1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）所以O(shè)xyyxrdA例11-1：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。解：取平行于x軸的狹長條則dA=bdy同理yhCxdyyb簡單截面的慣性矩計算⑴矩形截面⑵圓形截面zybhyzd§11-3-2平行移軸公式1.平行移軸公式推導(dǎo)左圖是一面積為A的任意形狀的平面，c為其形心，xcyc為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為xy,形心c在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：注：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時可能取負值。例11—2：求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。（1）求形心坐標(biāo)解：xyb(y)ycCdxcy（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：

例11—3：求圖示平面圖形對y軸的慣性矩Iy解：例11-4圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應(yīng)力sa。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作彎矩圖如上，2、查型鋼表得56號工字鋼3、求正應(yīng)力為

12.521166560za或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的

12.521166560za§11-4梁的切應(yīng)力11-4-1矩形梁橫截面上的切應(yīng)力推導(dǎo)思路：近似方法不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計算公式的分析過程分離體的平衡橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)橫截面上彎曲切應(yīng)力的計算公式1、兩點假設(shè):

（1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切應(yīng)力互等定理一、矩形截面梁mmnnq(x)F1

F2

xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)mnnmm'n'yzyBAA1sdAy1橫截面上縱向力不平衡意味著縱截面上有水平剪力，即有水平切應(yīng)力分布。面積AA1mm'對中性軸z的靜矩而橫截面上縱向力的大小為mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx縱截面上水平剪力值為要確定與之對應(yīng)的水平切應(yīng)力t‘還需要補充條件。mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx窄高矩形截面梁橫截面上彎曲切應(yīng)力分布的假設(shè)：(1)橫截面上各點處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；(2)橫截面上距中性軸等遠各點處的切應(yīng)力大小相等。根據(jù)切應(yīng)力互等定理推得：(1)t'沿截面寬度方向均勻分布；(2)在dx微段長度內(nèi)可以認(rèn)為t'

沒有變化。m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx根據(jù)前面的分析mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx即又由兩式得其中：FS→橫截面上的剪力；Iz

→整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b

→與剪力垂直的截面尺寸，此時是矩形的寬度；矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計算公式zyyy1

→橫截面上求切應(yīng)力的點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩矩形橫截面上彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律zyyy1

t沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2)同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0)；(3)上下邊緣處（y=±h/2)，切應(yīng)力為零。tmaxzyOtmax11-4-2工字形截面梁1、腹板上的切應(yīng)力xydhzOdbtydAxzyOsA*dxtt'腹板與翼緣交界處中性軸處zyOtmaxtmintmax2、翼緣上的切應(yīng)力a、因為翼緣的上、下表面無切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣處平行于y軸的切應(yīng)力為零；b、計算表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)的剪力(1)平行于y軸的切應(yīng)力可見翼緣上平行于y軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。xydhzOdbty(2)垂直于y軸的切應(yīng)力dht1t1'xydhzOdbth即翼緣上垂直于y軸的切應(yīng)力隨按線性規(guī)律變化。且通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max11-5-1梁的正應(yīng)力強度條件由于smax處t=0或極小，并且不計由橫向力引起的擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強度條件可按單向應(yīng)力狀態(tài)來建立：材料的許用彎曲正應(yīng)力中性軸為橫截面對稱軸的等直梁§11-5梁的強度條件拉、壓強度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設(shè)計為強度條件：注：有時

并不發(fā)生在彎矩最大的截面上，而根截面的形狀有關(guān)。拉壓強度相等材料：拉壓強度不等材料：強度條件的作用：a、強度校核:b、截面設(shè)計:c、確定梁的許可荷載:例11-5圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計算簡圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa。試選擇工字鋼的號碼。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力為作彎矩圖如上。281375單位：kN·m2、根據(jù)強度條件確定截面尺寸與要求的Wz相差不到1%，可以選用。查型鋼表得56b號工字鋼的Wz比較接近要求值例11-6跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強度。解：根據(jù)截面最為合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即得截面對中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280d梁上的最大彎矩于是最大壓應(yīng)力為即梁滿足強度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例11-7圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，截面對中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。

解：1、梁的支反力為zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

據(jù)此作出梁的彎矩圖如下發(fā)生在截面C發(fā)生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、計算最大拉、壓正應(yīng)力可見：壓應(yīng)力強度條件由B截面控制，拉應(yīng)力強度條件則B、C截面都要考慮。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力考慮截面B：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考慮截面C：因此梁的強度由截面B上的最大拉應(yīng)力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/411-5-2梁的切應(yīng)力強度條件一般tmax發(fā)生在FS,max所在截面的中性軸處，該位置s=0。不計擠壓，則tmax所在點處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。梁的切應(yīng)力強度條件為材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力對等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上smax所在點處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，其正應(yīng)力強度條件為梁上任意點G和H→平面應(yīng)力狀態(tài)，若這種應(yīng)力狀態(tài)的點需校核強度時不能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進行，而必須考慮兩者的共同作用（強度理論）。Csmax

DsmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GtsHts橫力彎曲梁的強度條件：強度足夠確定截面尺寸驗證設(shè)計截面時Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2例11-8跨度為6m的簡支鋼梁，是由32a號工字鋼在其中間區(qū)段焊上兩塊100103000mm的鋼板制成。材料均為Q235鋼，其[]=170MPa，[]=100MPa。試校核該梁的強度。解1、計算反力得F1F2

50kN50kN50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010FS(kN)xM(kN·mm)x75252575112.5150112.5F1F2

50kN50kN50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010最大彎矩為F1F2

50k