資金的時間價值(下)

公式名稱所求已知系數(shù)符號數(shù)學(xué)表達(dá)式一次支付終值公式FP(F/P,i,n)一次支付現(xiàn)值公式PF(P/F,i,n)年金終值公式FA(F/A,i,n)償債基金公式AF(A/F,i,n)年金現(xiàn)值公式PA(P/A,i,n)資金回收公式AP(A/P,i,n)上節(jié)回顧運(yùn)用利息公式應(yīng)注意的問題:實(shí)施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；方案實(shí)施過程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計息期（年）末；P在當(dāng)前年度開始時發(fā)生（0時點(diǎn)處）；F在當(dāng)前以后的第n年年末發(fā)生（第n年年末）；A在考察期間各年年末發(fā)生。當(dāng)問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當(dāng)問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生；等差/等比系列中，第一個G/At發(fā)生在系列的第二年年末。各系數(shù)之間的關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：乘積關(guān)系：特殊關(guān)系：第二章現(xiàn)金流量與資金的時間價值現(xiàn)金流量資金的時間價值資金時間價值的復(fù)利計算名義利率和實(shí)際利率資金時間價值基本公式的應(yīng)用32.4名義利率和實(shí)際利率2.4.1基本概念名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系同單利與復(fù)利的關(guān)系一樣。當(dāng)計息周期小于利率周期時，則有了名義利率和實(shí)際利率的概念。名義利率——用計息周期利率按單利計算的利率周期（年）利率，即由計息周期利率i乘以一個利率周期（年）內(nèi)的計息周期數(shù)m所得到的利率周期（年）利率。實(shí)際利率——用計息周期利率按復(fù)利計算的利率周期（年）利率。4利率周期常以年為單位。設(shè)計息周期利率為i，一年中計息m次。按單利計算年名義利率r：一年末利息和I=m.P.i則由利率的定義可知：r=I/P=i×m按復(fù)利計算年實(shí)際利率ieff：一年末利息和則由利率的定義可知：5年名義利率(r)計息周期年計息次數(shù)計息周期利率(i=r/m)年實(shí)際利率(ieff)10%年110%10%半年25%10.25%季42.5%10.38%月120.833%10.47%日3650.0274%10.52%6名義利率與實(shí)際利率的比較：當(dāng)計息周期等于利率周期（年）時，名義利率與實(shí)際利率相等。當(dāng)計息周期小于利率周期（年）時，實(shí)際利率大于名義利率；且計息次數(shù)越多，實(shí)際利率與名義利率的差值就越大。名義利率不能完全反映資金的時間價值，實(shí)際利率才真實(shí)地反映了資金的時間價值。7例:已知某項目的計息期為月,月利率為8‰,則項目的名義利率為()。A.8%B.8‰C.9.6%D.6‰例:若i1=2i2；n1=n2/2，則當(dāng)P相同時有()。A.（F/P，i1，n1）<（F/P，i2，n2）B.（F/P，i1，n1）>（F/P，i2，n2）C.（F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）D.無法確定兩者的關(guān)系答案:A答案:C8例：某廠擬向兩個銀行貸款以擴(kuò)大生產(chǎn)，甲銀行年利率為16%，計息每年一次。乙銀行年利率為15%，但每月計息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠些？解：因?yàn)閕乙>i甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。9例：現(xiàn)投資1000元，時間為10年，年利率為8%，每季度計息一次，求10年末終值。解：季度計息周期利率為8%÷4=2%，①用年實(shí)際利率求解:年有效利率i為：ieff

=(1+2%)4－1=8.2432%F=1000(F/P，8.2432%，10)=2208（元）②用季度利率求解:F=1000(F/P，2%，40)=1000×2.2080=2208（元）F=？1000…012340季度102.4.2連續(xù)（瞬時）復(fù)利——當(dāng)計息周期趨于無窮小，一年內(nèi)計息次數(shù)m趨于無限大，即m→∞,此時可視為計息沒有時間間隔而成為連續(xù)計息。年實(shí)際利率為：式中：e自然對數(shù)的底，其數(shù)值為2.7182811將連續(xù)復(fù)利引入普通復(fù)利公式得：12例：某地向世界銀行貸款100萬美元，年利率為10％，試用間斷計息法和連續(xù)計息法分別計算5年后的本利和。解：①用間斷復(fù)利計算：F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=100(F/P,10%,5)=100×1.6105＝161.05（萬）②用連續(xù)復(fù)利計息計算：利率：i=er-1F=P(1+i)n=P(1+er-1)n=Pern=100×e0.1×5＝164.887（萬）132.4.3名義利率和有效（年）利率的應(yīng)用計息周期等于收付周期——直接運(yùn)用6個基本公式計息周期小于收付周期——按實(shí)際利率/計息周期利率計算計息周期大于收付周期——計息期內(nèi)不計息/單利計息/復(fù)利計息141、計息周期等于收付周期——根據(jù)計息周期利率，利用復(fù)利計算公式進(jìn)行計算。例：年利率為12%，每半年計息1次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年末等額存款為200元，問與其等值的第0年的現(xiàn)值是多少？解：計息周期利率（半年實(shí)際利率）i＝12％/2＝6％P=200×(P／A，6％，6)＝983.46（元）15按收付周期的實(shí)際利率計算；按計息周期利率計算。例：年利率12％，按季度計息，連續(xù)5年，在年末借款500元，求第5年末的等值借款額F？5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？2、計息周期小于收付周期16按收付周期的實(shí)際利率計算step1——計算收付周期的實(shí)際利率，本例為1年，以1年為基礎(chǔ)進(jìn)行計算：step2——以年實(shí)際利率為基礎(chǔ)，原現(xiàn)金流量轉(zhuǎn)變?yōu)榈阮~年值A(chǔ)與終值F的資金等值計算問題，即：（元）5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？17計息周期利率i=12%/4=3%。解法一：將等額支付的每個現(xiàn)金流量看作一次支付，求出每個支付的終值，然后將其累加，即為等額現(xiàn)金流量的實(shí)際終值F：按計息周期利率計算5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？（元）18step2——經(jīng)等值轉(zhuǎn)變，計息周期等于收付周期，所有現(xiàn)金流量全部轉(zhuǎn)變?yōu)樘幱谟嬒⒅芷谀┑牡戎惮F(xiàn)金流量，其終值為：161813192014150123456789101211Ⅰ(年)ⅡⅢⅣ17Ⅴ(季)解法二：step1——取一個收付周期，將該周期末的現(xiàn)金流量轉(zhuǎn)變?yōu)榈戎档挠嬒⒅芷谀┑牡阮~支付序列；01234Ⅰ500(年)(季)01234Ⅰ119.5(年)(季)（元）（元）191001239746581112（月）3001001001003、計息周期大于收付周期計息期內(nèi)的收付不計息；計息期內(nèi)的收付按單利計息；計息期內(nèi)的收付按復(fù)利計息。例：現(xiàn)金流量圖如圖所示，年利率為12%，每季度計息一次，求年末終值F為多少？20計息期內(nèi)的收付不計息——現(xiàn)金流出額放在計息期初，現(xiàn)金流入額放在期末，計息期分界點(diǎn)處的支付保持不變。解：計息周期利率i=12%/4=3%。1001239746581112（月）3001001001001001324（季）30030020030010021計息期內(nèi)收付按單利計息——見P311001239746581112（月）300100100100解：計息周期利率i=12%/4=3%。22計息期內(nèi)收付按復(fù)利計息——見P321001239746581112（月）300100100100解：計息周期利率（季實(shí)際利率）i=12%/4=3%。23作業(yè)二P34—T8、11、1224上節(jié)回顧求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付系列的等值終值。利息分別按以下三種情況計息:1）年利率為12％，每年計息一次

；2）年利率為12％，每半年計息一次；3）年利率為12％，每季度計息一次。解：1）計息期長于收付期：若計息期內(nèi)的收付不計息，則實(shí)際的現(xiàn)金流量圖：F=14002(F/A,12％，10)＝49136（元）01210年14001400r=12%,A=2800252）計息期等于收付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）計息期短于收付期取一個收付周期（季）進(jìn)行分析：i＝12％÷4＝3％F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）=52000（元）012341920半年i＝12％÷2＝6％,A=140001234季度14001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)按收付周期（季）實(shí)際利率計算？262.5資金時間價值基本公式的應(yīng)用復(fù)利系數(shù)表中包含了三種數(shù)據(jù)，即系數(shù)、利率、計息次數(shù)。根據(jù)各系數(shù)符號，查表即可得到相應(yīng)的系數(shù)；知道了三項數(shù)據(jù)中的任意兩項，還可以通過查表得到另一項。一、資金的等值計算二、計算未知利率三、計算未知年數(shù)272.5.1資金的等值計算例:某企業(yè)現(xiàn)貸款10000元，年利率為6%，十年內(nèi)償還完畢，試確定下列四種償還方案的償還數(shù)額。方案Ⅰ：每年償還利息，到期償還本金。方案Ⅱ：每年償還利息，并償還本金1000元，剩余部分十年末到期全部償還。方案Ⅲ：十年內(nèi)每年等額償還全部本利。方案Ⅳ：十年末一次償還全部本利。28解：計算結(jié)果見下表：(單位:元)年數(shù)

貸款額

四種等值的償還方案10000

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ0

60016001359

1

60015401359

2

60014801359

3

60014201359

4

60013601359

5

60013601359

6

60013001359

7

60012401359

8

60011801359

9

60011201359

10

106001060135917910合計

1600013300135901791029由計算結(jié)果可看出，四種方案償還的總數(shù)額是不相同的，但四種償還方案與10000元本金是等值的。從投資者立場來看，四種方案中任何一種都可以償付他現(xiàn)在的投資。從貸款者的立場來看，只要他同意在今后以四種方式中的任何一種來償還，他今日都可得到10000元的使用權(quán)。302.5.2計算未知利率在計算技術(shù)方案的等值時，有時會遇到這樣一種情況：即現(xiàn)金流量P、F、A以及計算期n均為已知量，而利率i為待求的未知量。比如，求方案的收益率、國民經(jīng)濟(jì)的增長率等。這時，可以借助查復(fù)利系數(shù)表利用線性內(nèi)插法近似地求出i來。31例：某人今年初借貸1000萬元，8年內(nèi)，每年還154.7萬元，正好在第8年末還清，問這筆借款的年利率是多少？解：已知P=1000萬，A=154.7萬，n=8由A=P(A/P,i,n)知：(A/P,i,8)=A/P=154.7/1000=0.1547查表中的資金回收系數(shù)列，在n=8的一行里，0.1547所對應(yīng)的i為5%。故所求i=5%。32例:已知現(xiàn)在投資300元，9年后可一次獲得525元。求利率i為多少？解：利用一次支付終值公式由F=P（F/P，i，n）得：（F/P，i，9）=F/P=525/300=1.750從復(fù)利表上查到，當(dāng)n=9時，1.750落在利率6%和7%之間。從6%的位置查到1.689，從7%的位置上查到1.838。用線性內(nèi)插法可得：i=6%+(1.750-1.6895)(7%-6%)=6.41%33線性內(nèi)插法設(shè)兩個已知的現(xiàn)金流量之比（F/P，F(xiàn)/A或P/A等）對應(yīng)的系數(shù)為f0，左右最接近的利率為i1和i2，i1對應(yīng)的系數(shù)為f1，i2對應(yīng)f2。由相似比可知：注意：函數(shù)的連續(xù)性表明，當(dāng)自變量增值趨于0時，才能將此變化范圍內(nèi)的函數(shù)近似看做直線。故選取的i1和i2應(yīng)無限接近。一般相差3%~5%時，通過線性內(nèi)插法求得的誤差在可接受范圍內(nèi)。0i1f1i2f2利率i系數(shù)fi0f034例：某人有資金10萬元，有兩個投資方向供選擇：一是存入銀行，每年復(fù)利率為10％；另一是購買五年期的債券，115元面值債券發(fā)行價為100元，每期分息8元，到期后由發(fā)行者以面值收回。試計算出債券利率，比較哪個方案有利。012345年i=？A=8P=100F=115

35解：依題意有：100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5)用試算的方法，可得：P(10%)=8(P/A,10％,5)+115(P/F,10％,5)＝101.73（元）P(12%)=8(P/A,12％,5)+115(P/F,12％,5)＝94.09（元）用線性內(nèi)插法：36例:某公司欲買一臺機(jī)床，有兩種付款方式：（1）若買時一次付清，則售價30000元；（2）買時第一次支付10000元，以后24個月內(nèi)每月支付1000元。取銀行利率為12%，問若這兩種付款方案在經(jīng)濟(jì)上是等值的話，那么，對于等值的兩種付款方式，賣方實(shí)際上得到了多大的名義利率與實(shí)際利率?37解：兩種付款方式中有10000元現(xiàn)值相同，剩下20000元付款方式不同，根據(jù)題意：已知P=20000元，A=1000元，n=24個月，求月利率i＝？（P/A，i，24）=20000/1000=20查復(fù)利表：（P/A，1%，24）=21.243,（P/A，2%，24）=18.914那么賣方得到的年名義利率：r=12×1.534%=18.408%38賣方得到的年實(shí)際利率：由于上述的名義利率18.408%和實(shí)際利率20.04%都高于銀行利率12%，因此，第一種付款方式對買方有利，而第二種付款方式對賣方有利，按銀行利率，賣方所得的現(xiàn)值為：P=P1+A（P/A，i，n）=10000+1000(P/A，1%，24)=31243.4（元）39練習(xí):

設(shè)有一個25歲的人投資人身保險，保險期50年，在這段期間，每年末繳納150元保險費(fèi)，在保險期間內(nèi)，若發(fā)生人身死亡或期末死亡，保險人均可獲得10000元。問投這段保險期的實(shí)際利率？若該人52歲去世，銀行年利率為6%，問保險公司是否吃虧？40解：已知A=150元，F(xiàn)=10000元，n=50年，求i=？（F/A，i，50）=10000/150=66.667查復(fù)利表：（F/A，1%，50）=64.463，（F/A，2%，50）=84.579所以,50年保險期的實(shí)際利率為1.11%41若此人52歲去世，則在保險期內(nèi)的第27年保險公司要賠償10000元，看其是否吃虧，就與存銀行所得本利和作比較：F=A（F/A，i，n）=150(F/A，6%，27)=150×63.706=9555.9（元）保險公司虧損：10000-9555.9=444.1（元）可見此人投保期間的實(shí)際利率只有1.11%，若此人52歲時去世，則保險公司就虧444.1元。422.5.3計算未知年數(shù)在計算技術(shù)方案的等值中另一種可能的情況是：已知方案現(xiàn)金流量P、F或A，以及方案的利率i，而方案的計算期n為待求的未知量。例如，要求計算方案的投資回收期、借款清償期等。這時仍可借助查復(fù)利表，利用線性內(nèi)插法近似地求出n來。其求解基本思路與計算未知利率大體相同。43例:假定國民經(jīng)濟(jì)收入的年增長率為10%，如果使國民經(jīng)濟(jì)收入翻兩番，問從現(xiàn)在起