郭中珍 232等腰三角形的判定

三角形本章內(nèi)容第2章

等腰三角形的判定本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過(guò)來(lái)，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能目標(biāo)：進(jìn)一步熟悉等腰三角形的判定定理及其應(yīng)用;能綜合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理解決問(wèn)題;歸納出遇有角平分線和平行線這一類題的解題規(guī)律;培養(yǎng)學(xué)生多題歸一，善于思考本質(zhì)的能力.2、過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)學(xué)生的分析問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生歸納出遇有角平分線和平行線這一類題的思考方向;使學(xué)生在游泳中學(xué)會(huì)游泳，在解題中學(xué)會(huì)解題.3、情感與態(tài)度目標(biāo)：學(xué)生通過(guò)積極參與分析，使學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)知識(shí)的樂(lè)趣，思考的魅力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等腰三角形的判定的應(yīng)用;對(duì)一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法歸納.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：培養(yǎng)善于歸納這類問(wèn)題的意識(shí)。閱讀課本P63-64的內(nèi)容:1.通過(guò)完成探究的內(nèi)容,感性認(rèn)識(shí)等腰三角形的判定定理.2.結(jié)合P64的例2，掌握用等腰三角形判定定理做證明題.閱讀課本P64-65的內(nèi)容:1.結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,正確理解等邊三角形的判定定理.2.結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,正確說(shuō)明等邊三角形的判定定理.閱讀課本P65例3的內(nèi)容:1．運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理來(lái)解決幾何問(wèn)題.2.在例3證明過(guò)程中補(bǔ)上每一步的依據(jù).在一般的三角形中,如果有兩個(gè)角相等,那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系?即：若△ABC中,∠B=∠C,則AB與AC有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)符號(hào)表示：探究閱讀課本P63-64的內(nèi)容:1.通過(guò)完成探究的內(nèi)容,感性認(rèn)識(shí)等腰三角形的判定定理.2.結(jié)合P64的例2，掌握用等腰三角形判定定理做證明題.一自主解讀探究：我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm猜測(cè)，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.量一量如圖，在△ABC中，∠B＝∠C作∠BAC的平分線l交BC于D，則∠1＝∠2，又∠B＝∠C，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得∠ADB＝∠ADC，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．在一個(gè)三角形中，相等的角所對(duì)的邊相等，相等的邊所對(duì)的角也相等，簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角”.ABCD12沿直線AD折疊，由于∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合，從而點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，因此AB＝AC．證一證求證：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.學(xué)生代表上臺(tái)展示結(jié)論有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.舉例例1

已知：如圖,在△ABC中,

AB=AC,點(diǎn)D,

E分別是AB,AC上的點(diǎn),且DE∥BC.求證：△ADE為等腰三角形.證明∵AB=AC，（）∴∠B=∠C.（）又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.（

）∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.（）二學(xué)以致用合作解讀探究：練習(xí)1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，（）又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.（）練習(xí)2、已知：如圖,在等邊三角形ABC的AC邊上的取中點(diǎn)D,BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得CE=CD.求證：BD=DE.證明：

∵△ABC是等邊三角形,D是AC中點(diǎn)

∴∠ACB=60°,∠CBD=30°∵CD=CE∴∠E=∠CDE

∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°∴∠E=30°=∠CBD

∴BD=DE等邊對(duì)等角一、基礎(chǔ)回顧1.（2008年沈陽(yáng)市）若等腰三角形中有一個(gè)外角等于70°，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為

.35°2.（2008年甘肅省白銀市）已知等腰三角形的一條腰長(zhǎng)是5，底邊長(zhǎng)是6，則它底邊上的高為

．43.（2008年龍巖市）如圖，∠A=36°，∠DBC=36°,∠C=72°,找出圖中的一個(gè)等腰三角形，并給予證明.我找的等腰三角形是

.△ABC,△BCD,△DABBCDAD┓三線合一（36°36°（（72°等角對(duì)等邊┓E4.（2008年新泰市）下面給出的幾種三角形，不一定是等邊三角形的是（）A.有2個(gè)角為60°的三角形B.三個(gè)外角都相等的三角形C.一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形D.有一個(gè)角為60°的等腰三角形C等邊三角形的判定二、拓展提高1.已知一個(gè)等腰三角形腰上的高與另一腰的夾角為45°，頂角的度數(shù)為

.2.等腰三角形中一腰上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為21cm和12cm兩部分，則腰長(zhǎng)為（）.A.8cmB.14cm或15cmC.8cm或14cmD.14cm45°或135°DDCAB┏ABCDB┓ACDxx2x3.如圖，BO平分∠CBA,CO平分∠ABC,且MN//BC,設(shè)AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周長(zhǎng).1ABCMNO練習(xí)已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.求證：∠BAE=∠CAE拓展提升2.如圖，在網(wǎng)格中有一個(gè)直角三角形（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度），若以該三角形一邊為公共邊畫一個(gè)新三角形與原來(lái)的直角三角形一起組成一個(gè)等腰三角形，要求新三角形與原來(lái)的直角三角形除了有一條公共邊外，沒(méi)有其它的公共點(diǎn)，新三角形的頂點(diǎn)不一定在格點(diǎn)上，那么符合要求的新三角形有（）A．4個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．9個(gè)拓展提升C3.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則（1）θ1=

；（2）θn=

．拓展提升閱讀課本P64-65的內(nèi)容:1.結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,正確理解等邊三角形的判定定理.2.結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,正確說(shuō)明等邊三角形的判定定一自主解讀探究：三個(gè)角都是60o的三角形是等邊三角形．三邊相等的三角形，叫作等邊三角形.探究我們知道等腰三角形的兩底角相等，那么等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角是否相等呢？因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB＝AC＝BC從而∠B＝∠C＝∠A．再由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得：∠A＝∠B＝∠C＝60o因此，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60o.反過(guò)來(lái)，我們?nèi)菀椎贸觯篈BC二合作交流，解讀探究：結(jié)論由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,還可以得到等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形.有一角等于60o的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？①△ABC

AB=AC如果如果底角∠B=60°由AB=AC

得∠C＝60°由三角形內(nèi)角和得∠A=180°－(∠B+∠C)=60°所以AB=AC=BC②如果頂角∠A=60°因?yàn)锳B=AC所以∠B=∠C由三角形內(nèi)角和定理得∠A=∠B=∠CABC所以AB=AC=BC二知識(shí)延伸合作交流，解讀探究：動(dòng)腦筋結(jié)論有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.圖形性質(zhì)判定等腰三角形等邊三角形B ACDABC兩腰相等等邊對(duì)等角三線合一軸對(duì)稱圖形兩邊相等等角對(duì)等邊三邊相等三角相等三線合一軸對(duì)稱圖形三邊相等三角相等有一個(gè)角是60°的等腰三角形例2已知：如圖,△ABC

是等邊三角形,點(diǎn)D,

E

分別在BA,CA的延長(zhǎng)線上,且AD=AE.求證：△ADE是等邊三角形.舉例∵△ABC是等邊三角形，二學(xué)以致用合作解讀探究：證明∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，（）又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（）.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形因此△ADE是等邊三角形（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）

變式練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE//BC，交AB，AC于D，E，試問(wèn)△ADE是等邊三角形嗎？為什么？因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠A＝∠B＝∠C（等邊三角形各角相等）因?yàn)镈E//BC，所以∠1＝∠B，∠2＝∠C（兩直線平行，同位角相等）．所以∠A＝∠1＝∠2.ABCDE12解2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，（）∴∠ACD=∠DCB，（）∴∠ACD=∠DCB=60°（）又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.（）練習(xí)3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，練習(xí)4、已知，AC=AD,∠ACB=∠ADB,求證：BC=BDABCD練習(xí)鞏固與提高2.已知：如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED.求證：△DEC為等邊三角形.

鞏固與提高3.已知：如圖，△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn).求證：△DEF是等邊三角形.鞏固與提高4.上午10時(shí),一艘船從A處出發(fā)以每小時(shí)20海里的速度向正北航行,中午12時(shí)到達(dá)B處.從A,B兩點(diǎn)觀望燈塔C,測(cè)得∠DAC=40°,∠DBC=80°,求從B處到燈塔C的距離.鞏固與提高5如圖，⊿ABC中,∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作FE//BC,交AC于點(diǎn)O,交∠ACD的平分線于點(diǎn)F,求證：EO=FO.證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF∥BC,∴∠2=∠5，∠3=∠6,∴∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.鞏固與提高已知，如圖在等腰△ABC中，AB=AC，O是底邊BC的中點(diǎn)，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.（1）OD與OE有什么數(shù)量關(guān)系；ADCBEO┏┓三、合作探究M┏（2）若BM是一腰上的高，BM與OD，OE有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：變式：已知，如圖（2），（3）在等腰△ABC