(周?chē)?現(xiàn)代信號(hào)處理基礎(chǔ)04-現(xiàn)代功率譜估計(jì)(上)

第四章

隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)（上）周?chē)宰饔茫汗β首V起著類(lèi)似于頻譜的作用應(yīng)用：通信、噪聲監(jiān)測(cè)、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)、模式識(shí)別、振動(dòng)分析等領(lǐng)域依據(jù)：觀測(cè)數(shù)據(jù)（出發(fā)點(diǎn)）目的：用有限的N個(gè)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度基礎(chǔ)：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅立葉變換關(guān)系（理論基礎(chǔ)）注意：隨機(jī)信號(hào)不能直接進(jìn)行傅立葉變換

經(jīng)典譜估計(jì)與現(xiàn)代譜估計(jì)

經(jīng)典譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)經(jīng)典譜估計(jì)

基本思想：以

為基礎(chǔ)，附以

等預(yù)處理或后處理優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行、計(jì)算效率高缺點(diǎn)：適用范圍：主要方法：

相互關(guān)系－二者存在聯(lián)系，均采用加窗來(lái)改善特性－FFT的出現(xiàn)使二者獲得新生－都存在致命缺點(diǎn)：分辨率低現(xiàn)代譜估計(jì)算法基礎(chǔ)以隨機(jī)過(guò)程或信號(hào)的的參數(shù)模型為基礎(chǔ),故稱(chēng)為參數(shù)模型法或參數(shù)法歷史沿革－從非工程領(lǐng)域(如實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理、統(tǒng)計(jì)學(xué))

的時(shí)間序列分析(早已有之)到工程領(lǐng)域的現(xiàn)代譜估計(jì)－現(xiàn)代譜估計(jì)始于60年代，經(jīng)歷了從

(Burg,1967)

自回歸（AR）譜估計(jì)方法(1968，Parzen)Pisarenko諧波分解算法(MUSIC,1981，Schimit)HOS方法確定信號(hào)的功率譜密度?平穩(wěn)離散隨機(jī)信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間為一對(duì)傅立葉變換物理意義：功率在ω上的分布如果隨機(jī)信號(hào)是各態(tài)遍歷的，相關(guān)函數(shù)可以由一個(gè)取樣時(shí)間序列用時(shí)間平均來(lái)取代統(tǒng)計(jì)平均。

實(shí)際中信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)實(shí)際中只能由有限個(gè)取樣數(shù)據(jù)估計(jì)得到：(有偏，漸進(jìn)無(wú)偏)上兩式稱(chēng)為取樣自相關(guān)函數(shù)。（無(wú)偏估計(jì)）

經(jīng)典譜估計(jì)方法自相關(guān)法(B-T法）

1958年，Blackman和Tukey提出。先求出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，再求出信號(hào)的功率譜密度：周期圖法（Periodogram）進(jìn)行譜估計(jì)取樣自相關(guān)函數(shù)實(shí)際上是下x(n)與x(-n)的卷和,即

對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理，得xN(n)，再進(jìn)行離散傅立葉變換得

X(ω)，再求模的平方得功率譜密度。相關(guān)法和周期圖法得到的譜估計(jì)相同。均值：（有偏，漸進(jìn)無(wú)偏）經(jīng)典譜估計(jì)的缺點(diǎn)

頻率分辨率低頻譜能量的泄漏相關(guān)圖法主觀認(rèn)為未觀測(cè)數(shù)據(jù)都等于0，造成頻譜能量的泄漏周期圖法假設(shè)數(shù)據(jù)是以N為周期的周期性延拓，把不真實(shí)的信息加于隨機(jī)過(guò)程之上，限制了頻率分辨率和譜估計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)，對(duì)短時(shí)間序列誤差太大。

一些改進(jìn)方法數(shù)據(jù)加窗——降低譜的旁瓣。將矩形窗改為其他窗函數(shù)，如：漢寧（Hanning）窗、哈明（Harmming）窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗（Bartlett)、凱塞窗（Kaiser)等。

將長(zhǎng)度為N的序列分K段，每段長(zhǎng)為M，分別對(duì)每段進(jìn)行譜估計(jì)，再進(jìn)行總平均，得平均周期圖。如各段數(shù)據(jù)相互獨(dú)立，則所得估計(jì)的方差為原來(lái)不分段時(shí)的1/K。缺點(diǎn)是點(diǎn)數(shù)減少，分辨率下降。2.相關(guān)函數(shù)加窗（B-T法）（窗函數(shù)）3.修正周期圖法（分段平均）（Welch，1967）一般作法：數(shù)據(jù)加窗，交疊，平均，如：

功率譜估計(jì)的參數(shù)法（現(xiàn)代譜估計(jì)）參數(shù)法譜估計(jì)

模型

模型（諧波）AR模型ARMA模型MA模型AR模型(全極點(diǎn)模型)

MA模型(全零點(diǎn)模型)ARMA模型譜分解定理的推論任何平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)都可以看成由白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)因果和穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)H(z)產(chǎn)生的輸出。任何有限方差的平穩(wěn)ARMA過(guò)程可以分為完全隨機(jī)的部分和確定的部分，對(duì)應(yīng)的功率譜為連續(xù)的和離散的沖激信號(hào)。任何ARMA過(guò)程可以用無(wú)限階的MA和AR模型來(lái)表示。參數(shù)法譜估計(jì)的理論基礎(chǔ)AR模型法功率譜估計(jì)：基本原理：根據(jù)x(0),x(1)…x(N－1)

這一隨機(jī)采樣樣本估計(jì)隨機(jī)時(shí)間序列的功率譜密度：AR模型法功率譜估計(jì)：求解方法：模型階數(shù)p不確定時(shí)數(shù)學(xué)上很難處理，因此先假定p，求模型參數(shù)。階數(shù)p已知時(shí)對(duì)模型兩邊同求某種統(tǒng)計(jì)特征以將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為確定性的量。對(duì)各種階數(shù)下的模型進(jìn)行比較應(yīng)用某種準(zhǔn)則選出最好的模型()。AR模型法功率譜估計(jì)：AR(p)模型的Yule-Walker方程組：AR模型法功率譜估計(jì)步驟：N個(gè)樣值x(0),x(1)…x(N-1)解Yule-Walker方程組

功率譜密度AR模型參數(shù)和激勵(lì)源方差A(yù)R模型法功率譜估計(jì)：AR模型階數(shù)的選擇：階數(shù)對(duì)估計(jì)性能的影響階數(shù)選得太低，功率譜被平滑太厲害，無(wú)法分辨真實(shí)峰（P130圖4.3）；階數(shù)選得太高，譜分辨率提高，但會(huì)產(chǎn)生虛假峰。（P130圖4.4）。實(shí)驗(yàn)方法：觀察擬合誤差法。分析方法：最終預(yù)測(cè)誤差（FPE）準(zhǔn)則。Akaike(赤池）信息準(zhǔn)則（AIC）。判別自回歸傳輸函數(shù)（CAT）準(zhǔn)則。定義最終預(yù)測(cè)誤差：N為觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。使上式最小化的階數(shù)k即為最優(yōu)階數(shù)最優(yōu)階數(shù)。FPE準(zhǔn)則得到模型階數(shù)一般偏低。(1)最終預(yù)測(cè)誤差（FPE）準(zhǔn)則(2)Akaike（赤池）信息準(zhǔn)則（AIC）使上式最小化的階數(shù)k即為最優(yōu)階數(shù)。AIC準(zhǔn)則得到模型階數(shù)一般偏高。(3)判別自回歸傳輸函數(shù)（CAT）準(zhǔn)則最小化上式得最優(yōu)階數(shù)。AR模型法功率譜估計(jì)：性能分析：精確分析很困難，只能給出大樣本理論的近似關(guān)系。估值的均值（N，p）：估值的方差（N，p）：AR譜估計(jì)的性質(zhì)1：隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推譜估計(jì)結(jié)果與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：令：則：AR譜估計(jì)的性質(zhì)1：隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推AR譜估計(jì)的性質(zhì)1：隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推說(shuō)明對(duì)m>p范圍內(nèi)的并未被認(rèn)為等于0，而是仍按上式遞推。AR譜估計(jì)的性質(zhì)1：隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推結(jié)論：AR譜估計(jì)是將有限個(gè)自相關(guān)函數(shù)值按照Yule-Walker方程進(jìn)行外推后進(jìn)行傅立葉變換得到的結(jié)果。由于AR譜估計(jì)將自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了外推，克服了經(jīng)典譜估計(jì)方法加窗導(dǎo)致分辨率低和旁瓣“泄漏”的問(wèn)題，因此AR譜估計(jì)有高的分辨率。AR譜估計(jì)的性質(zhì)2：與最大熵譜估計(jì)等效最大熵譜估計(jì)的提出(Burg)：經(jīng)典譜估計(jì)方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏”的問(wèn)題。其根本原因是自相關(guān)函數(shù)加窗，這樣克服這些問(wèn)題必須對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推。Burg提出以

，其合理性在于這樣對(duì)自相關(guān)函數(shù)的約束最少，因而時(shí)間序列的

，

。AR譜估計(jì)的性質(zhì)2：與最大熵譜估計(jì)等效最大熵譜估計(jì)原理：熵的定義：隨機(jī)向量X的概率密度為p(X)，則其熵定義為：平穩(wěn)高斯過(guò)程的熵：該式建立了熵和功率譜之間的關(guān)系。AR譜估計(jì)的性質(zhì)2：與最大熵譜估計(jì)等效最大熵譜估計(jì)問(wèn)題的定義：利用Lagrangian乘數(shù)法解此約束優(yōu)化問(wèn)題可得：λ(m)為L(zhǎng)agrangian乘數(shù)，將上式代回約束條件可求的λ(m)AR譜估計(jì)的性質(zhì)2：與最大熵譜估計(jì)等效最大熵譜估計(jì)問(wèn)題的結(jié)果：其中：、是Yule-Walker方程組的解。AR譜估計(jì)的性質(zhì)2：與最大熵譜估計(jì)等效結(jié)論：AR譜估計(jì)相當(dāng)于對(duì)自相關(guān)函數(shù)以最大熵為原則進(jìn)行外推后進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。AR譜估計(jì)相當(dāng)于在p+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)值確定的情況下，以功率譜密度最平坦為準(zhǔn)則得到的估計(jì)結(jié)果。AR譜估計(jì)的性質(zhì)3：與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)：?jiǎn)栴}的提出：用隨機(jī)時(shí)間序列x(n)前p個(gè)時(shí)刻的值的線性組合來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前值，即：?jiǎn)栴}的定義：AR譜估計(jì)的性質(zhì)3：與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效線性預(yù)測(cè)結(jié)果：這與AR(p)模型的Yule-Walker方程組是相同的。若二者具有相同自相關(guān)值，則其解必然相同。

說(shuō)明最佳線性預(yù)測(cè)系數(shù)等于AR模型參數(shù)，最小預(yù)測(cè)誤差功率εmin等于AR模型中激勵(lì)噪聲方差σ2。AR譜估計(jì)的性質(zhì)3：與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效預(yù)測(cè)誤差濾波器：定義：預(yù)測(cè)誤差濾波器是最小相位濾波器.AR譜估計(jì)的性質(zhì)3：與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效

假設(shè)zi為A(ejw)的單位圓外的零點(diǎn)，這對(duì)A(ejw)進(jìn)行因式分解后應(yīng)有1-zie-jw這一項(xiàng)，有：AR譜估計(jì)的性質(zhì)3：與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效結(jié)論：AR譜估計(jì)相當(dāng)于用隨機(jī)時(shí)間序列前p個(gè)時(shí)刻的值在最小均方誤差準(zhǔn)則下來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前值外推后進(jìn)行譜估計(jì)的結(jié)果。預(yù)測(cè)誤差濾波器是最小相位濾波器。AR譜估計(jì)的性質(zhì)4：等效于最佳白化處理問(wèn)題的提出：AR模型假設(shè)輸入信號(hào)為白噪聲，AR譜估計(jì)能否滿足該條件？AR譜估計(jì)與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效，是否能證明AR譜估計(jì)方法輸出的誤差信號(hào)能接近于白噪聲？通過(guò)譜平坦度的概念來(lái)衡量誤差預(yù)測(cè)濾波器輸出的誤差信號(hào)的白化程度。AR譜估計(jì)的性質(zhì)4：等效于最佳白化處理譜平坦度：隨機(jī)時(shí)間序列x(n)的譜平坦度定義為：AR譜估計(jì)的性質(zhì)4：等效于最佳白化處理問(wèn)題的定義：假設(shè)預(yù)測(cè)誤差濾波器A(z)為最小相位濾波器，同時(shí)輸入時(shí)間序列x(n)的輸出誤差時(shí)間序列信號(hào)為e(n)，求解以下優(yōu)化問(wèn)題：

AR譜估計(jì)的性質(zhì)4：等效于最佳白化處理問(wèn)題的求解：AR譜估計(jì)的性質(zhì)4：等效于最佳白化處理若要使e最大，Re(0)要最小，因此使預(yù)測(cè)誤差譜平坦度最大等效于使p階線性預(yù)測(cè)器的預(yù)測(cè)誤差功率最小，也等效于AR譜估計(jì)器。AR譜估計(jì)的性質(zhì)4：等效于最佳白化處理結(jié)論：AR譜估計(jì)等效于預(yù)測(cè)誤差最佳白化處理。根據(jù)預(yù)測(cè)誤差的白化程度可以判斷時(shí)間隨機(jī)序列對(duì)AR(p)模型的符合程度。AR譜估計(jì)的性質(zhì)：總結(jié)相當(dāng)于根據(jù)Yule-Walker方程組對(duì)自相關(guān)函數(shù)值外推后進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。相當(dāng)于對(duì)隨機(jī)時(shí)間序列以最大熵準(zhǔn)則外推后估計(jì)信號(hào)的功率譜密度。相當(dāng)于對(duì)隨機(jī)時(shí)間序列以最佳線性預(yù)測(cè)外推后估計(jì)信號(hào)的功率譜密度。求出的功率譜密度為在幾個(gè)自相關(guān)函數(shù)值受限條件下最平坦的功率譜密度。相當(dāng)于對(duì)預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行最佳白化處理。Levinson-Durbin算法：AR模型的Yule-Walker方程組：某階方程的系數(shù)矩陣包含了前面各階系數(shù)矩陣。系數(shù)矩陣先進(jìn)行列倒序再進(jìn)行行倒序（或先行倒序后列倒序）后矩陣不變（Toeplitz性質(zhì)）。Levinson-Durbin算法：?jiǎn)栴}的提出：線性方程組的常用解法解AR(p)模型的Yule-Walker方程組的運(yùn)算復(fù)雜度為p3，為了選擇模型要解一系列的方程組運(yùn)算量很大。Yule-Walker的系數(shù)矩陣很有規(guī)律性，可以構(gòu)造迭代算法以減少計(jì)算量。問(wèn)題的定義：已知AP(k)模型，怎樣用AP(k)模型的參數(shù)求出AP(k＋1)模型的參數(shù)?Levinson-Durbin算法：?jiǎn)栴}分析：條件：目標(biāo)：Levinson-Durbin算法：求解過(guò)程：將條件向目標(biāo)轉(zhuǎn)化，擴(kuò)充條件方程組：其中：Levinson-Durbin算法：將擴(kuò)充方程組與目標(biāo)方程組比較，發(fā)現(xiàn)缺少一個(gè)自由度，故利用Toeplitz性質(zhì)創(chuàng)造一個(gè)條件：Levinson-Durbin算法：將上述兩個(gè)方程組進(jìn)行某種線性組合以將等式右邊的最后一個(gè)元素化為0，即令：Levinson-Durbin算法：比較組合結(jié)果與目標(biāo)方程組，可得迭代方法：Levinson-Durbin算法：格形濾波器：?jiǎn)栴}的提出：建立k+1階預(yù)測(cè)誤差濾波器與k階預(yù)測(cè)誤差濾波器之間的關(guān)系。進(jìn)一步明確k+1的物理意義。Levinson-Durbin算法：遞推算法圖示：定義：反射系數(shù)：k+1。格形濾波器：前向預(yù)測(cè)誤差和后向預(yù)測(cè)誤差：格形濾波器：前向預(yù)測(cè)誤差濾波器和后向預(yù)測(cè)誤差濾波器：

格形濾波器：根據(jù)Levinson-Durbin算法建立遞推關(guān)系：兩邊同乘以X(z)，有：格形濾波器：時(shí)域遞推關(guān)系式：初始條件：格形濾波器：格形濾波器圖示：格形濾波器：格形濾波器的性質(zhì)：各級(jí)參數(shù)（反射系數(shù)）的模值小于1，可保證濾波器穩(wěn)定。級(jí)間是“去耦”的，當(dāng)各級(jí)分別調(diào)至最佳時(shí)可以使濾波器達(dá)到全局最佳。反射系數(shù)與AR模型是一一對(duì)應(yīng)的，是AR模型的另一種刻劃形式。AR模型的穩(wěn)定性：AR模型的穩(wěn)定條件：一般自相關(guān)函數(shù)沒(méi)有誤差時(shí)能自動(dòng)滿足。H(z)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。12>22>…>p2>0。|k|<1，k=1,2…p。AR譜估計(jì)的界：Burg證明了AR譜的動(dòng)態(tài)范圍滿足：任何一個(gè)反射系數(shù)i接近于1時(shí)，上界將變大，而下界將變小。具有大反射系數(shù)模值的AR過(guò)程，其譜一定具有尖銳的峰。AR模型參數(shù)提取方法：?jiǎn)栴}的提出：Levinson-Durbin算法要先算估計(jì)出幾個(gè)自相關(guān)函數(shù)值，而自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)是有偏估計(jì)，這將導(dǎo)致AR模型的估計(jì)精度降低，是否有其他辦法提高AR模型的估計(jì)精度？Levinson-Durbin算法要先算估計(jì)出幾個(gè)自相關(guān)函數(shù)值，有無(wú)直接利用隨機(jī)采樣樣本提取AR模型參數(shù)的方法？AR模型參數(shù)提取方法：?jiǎn)栴}的定義：怎樣根據(jù)x0,x1…xN－1這一隨機(jī)采樣樣本估計(jì)隨機(jī)時(shí)間序列的AR(p)模型？AR模型參數(shù)提取方法：基本思路：AR模型法與線性預(yù)測(cè)譜估計(jì)等效。AR模型的參數(shù)與線性預(yù)測(cè)濾波器的沖激響應(yīng)相同：E(z)=A(z)X(z)。對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，可用時(shí)間平均代替集合平均。AR模型參數(shù)的提取可化為以下優(yōu)化問(wèn)題：

AR模型參數(shù)提取方法：Yule-Walker法（自相關(guān)法）：估計(jì)準(zhǔn)則：Yule-Walker法（自相關(guān)法）計(jì)算的原理圖AR模型參數(shù)提取方法：估計(jì)結(jié)果：取樣自相關(guān)序列取樣自相關(guān)矩陣AR模型參數(shù)提取方法：估計(jì)性能：自相關(guān)矩陣是正定的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性能夠保證。求時(shí)相當(dāng)于對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行了加窗處理（前后補(bǔ)0），因此估計(jì)精度不高。AR模型參數(shù)提取方法：協(xié)方差法：估計(jì)準(zhǔn)則：要點(diǎn)：未對(duì)數(shù)據(jù)兩端加0（未加窗），對(duì)觀測(cè)時(shí)間以外數(shù)據(jù)不做任何假設(shè)。用協(xié)方差法計(jì)算的原理圖AR模型參數(shù)提取方法：估計(jì)結(jié)果：AR模型參數(shù)提取方法：估計(jì)性能：求時(shí)沒(méi)有對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行加窗處理，因此估計(jì)精度較高。自相關(guān)矩陣不是正定的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能夠保證。例：試根據(jù)信號(hào)的4個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3}，分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。例4.1（教材P143）解：（1）自相關(guān)法（隱含右端添0）（隱含左端添0）（2）協(xié)方差法（不外推添0）（不外推添0）AR模型參數(shù)提取方法：Burg法：Burg法的思想：

●自相關(guān)法：計(jì)算效率高，能保證預(yù)測(cè)濾波器是最小相位的，但對(duì)數(shù)據(jù)兩端添加了0（加窗），估計(jì)精度下降，短數(shù)據(jù)時(shí)性能下降。

●協(xié)方差法：計(jì)算效率高，未加窗，但自相關(guān)矩陣不是正定的，潛在著不穩(wěn)定因素。

●

Burg法的思想：一方面希望利用已知數(shù)據(jù)段以外的未知數(shù)據(jù)（但不做主觀臆測(cè)）；另一方面使預(yù)測(cè)誤差濾波器是最小相位的。不直接估計(jì)AR參數(shù)，先估計(jì)反射系數(shù)，再利用Levinson遞推算法由反射系數(shù)求的AR參數(shù)。AR模型參數(shù)提取方法：Burg法：估計(jì)準(zhǔn)則：Burg法前后向預(yù)測(cè)誤差產(chǎn)生原理圖AR模型參數(shù)提取方法：估計(jì)方法：利用Levinson-Durbin迭代算法以及格形濾波器預(yù)測(cè)誤差的迭代關(guān)系式，在已知p-1階模型參數(shù)的情況下，只要求出p即可求出p階模型參數(shù)。AR模型參數(shù)提取方法：容易證明：AR模型參數(shù)提取方法：迭代關(guān)系式：AR模型參數(shù)提取方法：初始條件：Burg算法

設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,…,N-1，可按下步驟計(jì)算預(yù)測(cè)濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算功率譜。1.置k=0,計(jì)算初值2.k=k+1,

計(jì)算反射系數(shù)3.計(jì)算濾波器系數(shù)：

5.計(jì)算k階預(yù)測(cè)誤差功率：6.回到步驟(2)-(5),進(jìn)行下一次迭代。4.計(jì)算前、后向預(yù)測(cè)誤差：AR模型參數(shù)提取方法：估計(jì)性能：如果處理數(shù)據(jù)來(lái)自AR過(guò)程，則可獲得精確的結(jié)果同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有保證。如果處理的是正弦信號(hào)會(huì)遇到一些困難，例如：譜線分裂、譜峰位置受相位影響大等。為了減小相位的影響，可對(duì)反射系數(shù)估計(jì)公式進(jìn)行如下修正：其中：wp(n)為某一非負(fù)的窗函數(shù)。噪聲對(duì)AR譜估計(jì)的影響：?jiǎn)栴}的提出：AR譜估計(jì)對(duì)觀測(cè)噪聲比較敏感：噪聲會(huì)使譜峰展寬，分辨率下降。噪聲會(huì)使譜峰偏離正確位置。在信噪比低的情況下，AR譜估計(jì)已經(jīng)不再優(yōu)于周期圖方法。研究怎樣減小噪聲對(duì)AR譜估計(jì)的惡化影響。噪聲對(duì)AR譜估計(jì)的影響：噪聲對(duì)AR(p)過(guò)程功率譜密度的影響：假設(shè)x(n)是一個(gè)AR(p)過(guò)程，w(n)為與x(n)不相關(guān)且方差為w2的白噪聲，令：

y(n)=x(n)+w(n)

則：結(jié)論：噪聲使AR(p)過(guò)程變?yōu)锳RMA(p,p)過(guò)程。噪聲對(duì)AR譜估計(jì)的影響：減小噪聲對(duì)AR譜估計(jì)影響的方法：采用ARMA譜估計(jì)方法：使用與實(shí)際數(shù)據(jù)情況相符合的ARMA(p,p)模型。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，減小噪聲：使用維納濾波器進(jìn)行波形估計(jì)以減小噪聲。采用髙階AR模型：一個(gè)ARMA(p,p)模型可用AR()模型描述。補(bǔ)償自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)估計(jì)中的影響：噪聲對(duì)AR譜估計(jì)的影響：采用髙階AR模型：原理：噪聲對(duì)AR譜估計(jì)