ch7 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差及與結(jié)果處理

1北京石油化工學(xué)院化學(xué)工程學(xué)院第七章

定量分析中的誤差和數(shù)據(jù)處理胡應(yīng)喜2第一節(jié)實(shí)驗(yàn)誤差及其表示方法一、誤差的分類

1.系統(tǒng)誤差(亦稱“可測(cè)誤差”)

實(shí)驗(yàn)過程中某些恒定原因造成的誤差。在同一條件下的重復(fù)測(cè)定中會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，使測(cè)定結(jié)果偏高或偏低。

(1)

特點(diǎn)：?jiǎn)蜗蛐?大小、正負(fù)一定)

、重現(xiàn)性(重復(fù)測(cè)定重復(fù)出現(xiàn))、可消除(原因固定)

(2)誤差產(chǎn)生原因及消除

①方法誤差：由實(shí)驗(yàn)方法本身的缺陷或不夠完善而產(chǎn)生的誤差。如，在滴定分析中，反應(yīng)進(jìn)行不完全、指示劑選擇不當(dāng)、滴定終點(diǎn)與化學(xué)計(jì)量點(diǎn)不符、有其它副反應(yīng)發(fā)生等所引起的誤差都屬于方法誤差。3

對(duì)照實(shí)驗(yàn)：用已知含量的標(biāo)準(zhǔn)試樣，按所選的測(cè)定方法進(jìn)行分析，檢測(cè)試驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值是否一致。也可以用不同的分析方法，或者由不同的分析人員測(cè)試同一試樣，相互對(duì)照。

消除方法：優(yōu)化或改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法4②儀器：儀器不夠準(zhǔn)確所造成的誤差。

消除方法：校正儀器③試劑誤差：由于試劑或用水不純引起的誤差。

消除方法：純化試劑或進(jìn)行空白實(shí)驗(yàn)空白實(shí)驗(yàn)：不加試樣的情況下，按照試樣的分析步驟和條件進(jìn)行測(cè)定，求出空白值。從試樣的分析結(jié)果中扣除空白值，可以消除或減小由試劑、蒸餾水、實(shí)驗(yàn)器皿等帶入的雜質(zhì)所造成的系統(tǒng)誤差，得到更接近于真實(shí)值的分析結(jié)果。

5④環(huán)境誤差：由于儀器使用環(huán)境不同發(fā)生單一方向變化引起的誤差。⑤主觀(操作)誤差：它產(chǎn)生于測(cè)量者的感覺器官的不完善，或個(gè)人的不恰當(dāng)?shù)囊曌x習(xí)慣及偏好所引起的誤差。例如對(duì)滴定終點(diǎn)顏色的辨別不夠敏銳、滴定管讀數(shù)偏高或偏低等所造成的誤差。

消除方法：糾正實(shí)驗(yàn)不良習(xí)慣2.隨機(jī)誤差(偶然誤差)

由一些偶然的因素造成的誤差，其誤差的大小、正負(fù)不定，難以消除，又稱為不定誤差或不可測(cè)誤差。雖然有偶然性，但是在消除系統(tǒng)誤差后，發(fā)現(xiàn)其誤差分布符合正態(tài)分布：6①正負(fù)誤差出現(xiàn)概率相等；②小誤差出現(xiàn)的概率大；③大誤差出現(xiàn)的概率小；④特別大的誤差幾乎不出現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)者對(duì)儀器最小分度以下的估讀每次很難嚴(yán)格相同；

測(cè)量?jī)x器的某些活動(dòng)部件所指示的測(cè)量結(jié)果，很難每次完全相同；

影響測(cè)量結(jié)果的某些實(shí)驗(yàn)條件，例如溫度測(cè)量值不可能在每次實(shí)驗(yàn)中都控制得絕對(duì)一樣。由于隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因不定，因此此誤差不可消除，但可增加測(cè)定次數(shù)來減小實(shí)驗(yàn)誤差。7二、誤差的表示方法1.準(zhǔn)確度與誤差(1)準(zhǔn)確度：實(shí)驗(yàn)結(jié)果與真實(shí)值的接近程度，可用誤差來衡量。

(2)絕對(duì)誤差(E)：測(cè)量值與真實(shí)值之差

Ei

＝xi

－T

絕對(duì)誤差有正、負(fù)或用多次實(shí)驗(yàn)的平均值表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，則絕對(duì)誤差表達(dá)式：分析人員的操作不規(guī)范、儀器不潔、遺灑試樣、加錯(cuò)試劑、看錯(cuò)讀數(shù)、記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等，都屬于不應(yīng)有的“過失”，是錯(cuò)誤而不是誤差，應(yīng)及時(shí)糾正或重做。

8(3)相對(duì)誤差(Er)：絕對(duì)誤差占真實(shí)值的百分比，即

例：甲乙二人分別用分析天平稱量?jī)蓚€(gè)試樣，測(cè)定值分別是0.1990g和1.1990g，假定真實(shí)值分別是0.1991g和1.1991g。求E、Er，并比較二人實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確度。解：E甲＝0.1990－0.1991＝-0.0001Er甲＝(-0.0001/0.1991)×100%＝-0.05%E乙＝1.1990－1.1991＝-0.0001Er乙＝(-0.0001/1.1991)×100%＝-0.008%二人實(shí)驗(yàn)的絕對(duì)誤差相同，無法比較其準(zhǔn)確度，而乙的相對(duì)誤差比甲小，說明乙的準(zhǔn)確度高。說明：相對(duì)誤差更能反映測(cè)定的準(zhǔn)確度。9有一分析天平的稱量誤差為+0.2mg，如稱取試樣為0.2300g，計(jì)算其相對(duì)誤差是多少？如稱取試樣2.3000g計(jì)算其相對(duì)誤差又是多少？說明了什么？

解：Er1＝+0.0002/0.2300＝0.09%Er2＝+0.0002/2.3000＝0.009%

這說明同樣的絕對(duì)誤差，當(dāng)被測(cè)的質(zhì)量較大時(shí)，相對(duì)誤差就比較小，測(cè)定的準(zhǔn)確度也就比較高。

用分光光度法測(cè)定MnSO4中Mn含量的相對(duì)誤差為2%，用天平稱取MnSO4

的稱量準(zhǔn)確度為0.001g

。若要配制成每毫升含0.2mgMnSO4的標(biāo)準(zhǔn)溶液，至少要配制溶液….()A.50mLB.250mLC.100mLD.500mLB10

標(biāo)定濃度約為0.1mol·L-1的NaOH，欲消耗NaOH溶液20mL左右，應(yīng)稱取基準(zhǔn)物質(zhì)H2C2O4·2H2O多少克？其稱量的相對(duì)誤差是否小于0.1%？若改用鄰苯二甲酸氫鉀為基準(zhǔn)物，結(jié)果又如何？天平的稱量誤差為0.0002g。解：根據(jù)方程2NaOH+H2C2O4·H2O＝Na2C2O4+3H2O可知，需H2C2O4·H2O的質(zhì)量m1為：相對(duì)誤差為：

則相對(duì)誤差大于0.1%，不能用H2C2O4·H2O標(biāo)定0.1mol·L-1的NaOH。

若改用KHC8H4O4為基準(zhǔn)物時(shí)，則有：

KHC8H4O4+NaOH＝KNaC8H4O4+H2O11需KHC8H4O4的質(zhì)量為m2

，則

相對(duì)誤差為

相對(duì)誤差小于0.1%，可以用于標(biāo)定NaOH。

2.精密度與偏差

(1)精密度：幾次平行測(cè)定結(jié)果之間相互接近的程度，用偏差來衡量。22.30、22.80、21.90、22.50、23.10

(2)絕對(duì)偏差(di)：?jiǎn)未螠y(cè)量值與平均值之差。(3)相對(duì)偏差：絕對(duì)偏差占平均值的百分比。12①精密度表示測(cè)量的重復(fù)性，由偶然誤差決定。②準(zhǔn)確度表示測(cè)量的正確性，由系統(tǒng)誤差決定。

3.準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系精密度差(偶然誤差大)

準(zhǔn)確度差(系統(tǒng)誤差大)精密度好(偶然誤差小)

準(zhǔn)確度差(系統(tǒng)誤差大)精密度好(偶然誤差小)

準(zhǔn)確度好(系統(tǒng)誤差小)

③準(zhǔn)確度高一定要求精密度高，但精密度好，準(zhǔn)確度不一定高13

指出在下列情況下，各會(huì)引起哪種誤差？如果是系統(tǒng)誤差，應(yīng)該采用什么方法減免？

(1)砝碼被腐蝕系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準(zhǔn)儀器或更換砝碼。

(2)天平的兩臂不等長(zhǎng)系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準(zhǔn)儀器或更換儀器。

(3)容量瓶和移液管不配套系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準(zhǔn)儀器或更換儀器。14(4)試劑中含有微量的被測(cè)組分系統(tǒng)誤差中的試劑誤差。減免的方法：做空白實(shí)驗(yàn)。

(5)天平的零點(diǎn)有微小變動(dòng)偶然(隨機(jī))誤差。減免的方法：多稱量幾次取平均值

(6)讀取滴定體積時(shí)最后一位數(shù)字估計(jì)不準(zhǔn)偶然(隨機(jī))誤差

。減免的方法：多讀幾次取平均值

(7)滴定時(shí)不慎從錐形瓶中濺出一滴溶液過失、錯(cuò)誤。減免的方法：重新取溶液滴定

2023/2/1為什么要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理？個(gè)別偏離較大的數(shù)據(jù)（稱為離群值或極值）是保留還是該棄去？測(cè)得的平均值與真值（或標(biāo)準(zhǔn)值）的差異，是否合理？相同方法測(cè)得的兩組數(shù)據(jù)或用兩種不同方法對(duì)同一試樣測(cè)得的兩組數(shù)據(jù)間的差異是否在允許的范圍內(nèi)？數(shù)據(jù)進(jìn)行處理包括哪些方面？

可疑數(shù)據(jù)的取舍——過失誤差的判斷

分析方法的準(zhǔn)確度（可靠性）——系統(tǒng)誤差的判斷16第三節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理一、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分散程度的表示

1.

極差，又稱全距(R)表示一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最大值與最小值的差值。

R＝xmax－xmin

適用少量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精密度表示。

2.絕對(duì)偏差(di)

單次實(shí)驗(yàn)值與平均值之差。3.

平均偏差()平均偏差又稱為算術(shù)平均偏差，用來表示一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精密度。174.相對(duì)平均偏差()平均偏差在平均值所占的百分?jǐn)?shù)。5.標(biāo)準(zhǔn)偏差(均方根偏差，s)其中n－1稱為自由度，用f表示。標(biāo)準(zhǔn)偏差s是各實(shí)驗(yàn)值xi的函數(shù)，而且對(duì)一組實(shí)驗(yàn)中的xi

的大小比較敏感，所以它更好地反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精密度。18例：由甲乙二人分析鐵礦石中鐵的含量，各數(shù)據(jù)如下：甲：37.45%、37.20%、37.50%、37.30%、37.25%

乙：37.24%、37.36%、37.45%、37.44%、37.21%試比較哪一個(gè)精密度高。解：甲：乙：19

僅管甲乙的平均偏差相同，但乙的標(biāo)準(zhǔn)偏差比甲小，因此乙的實(shí)驗(yàn)結(jié)果精密度高。20

二、置信度和置信區(qū)間

置信度(P)：真實(shí)值在某置信區(qū)間出現(xiàn)的概率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠程度。

置信區(qū)間：在指定置信度時(shí)，由平均值和標(biāo)準(zhǔn)差確定真實(shí)值所在范圍。數(shù)學(xué)關(guān)系式：s－有限次測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差；n－測(cè)定次數(shù)t－選定置信度下的概率系數(shù)21t值隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而減小，求得的置信區(qū)間越窄，測(cè)定的平均值與總體平均值(或真值)越接近。

如：P＝95%，n=4時(shí)，可表示為t0.05,3＝3.182P＝90%，n=7時(shí)，可表示為t0.1,6＝1.895t值以t1-P,f表示22當(dāng)置信度為95%時(shí)，測(cè)得Al2O3的μ置信區(qū)間為(35.21±0.10)，其意義是………………..()A.

在所測(cè)定的數(shù)據(jù)中有95%在此區(qū)間內(nèi)；

B.

若再進(jìn)行測(cè)定，將有95%的數(shù)據(jù)落入此區(qū)間內(nèi)；

C.

平均值落入此區(qū)間的概率為95%；

D.在此區(qū)間內(nèi)包含μ值的概率為95%

D23例：測(cè)定某樣品中鐵的百分含量結(jié)果如下：

=15.30，s=0.10，n=4，計(jì)算置信度為95%時(shí)平均值的置信區(qū)間。

解：查t值表，當(dāng)n=4，P=95%時(shí)，t=3.182故平均值的置信區(qū)間為：

此結(jié)果表示在(15.30±0.16)區(qū)間內(nèi)包含真實(shí)值的把握有95%。24例：對(duì)某未知試樣中Cl－的百分含量進(jìn)行測(cè)定，4次結(jié)果為47.64%，47.69%，47.52%，47.55%，計(jì)算置信度為90%，和95%時(shí)的總體均值μ的置信區(qū)間。解：25三、可疑數(shù)據(jù)的取舍

1.Q檢驗(yàn)法(1)將測(cè)定值由小到大排列；(2)計(jì)算極差R；(3)計(jì)算可疑值與相鄰值之差Dx。(4)計(jì)算Q計(jì)算＝Dx/R值。(5)判斷Q計(jì)算>Q表，則舍棄可疑值，反之保留。舍棄商Q值表26例：測(cè)定某溶液濃度(mol·L－1)得到如下結(jié)果：0.1014、0.1012、0.1015、0.1016、0.1025。試用Q檢驗(yàn)法判斷0.1025這個(gè)值是否應(yīng)當(dāng)舍棄(置信度90%)？解：(1)將測(cè)定值由大到小排列：

0.1025、0.1016、0.1015、0.1014、0.1012

(2)R＝0.1025－0.1012＝0.0013(3)Dx

＝0.1025－0.1016＝0.0009

當(dāng)置信度為90%，n＝5時(shí)，Q表＝0.64

Q計(jì)算＞Q表，0.1025這個(gè)值應(yīng)當(dāng)舍棄。27

測(cè)定石灰中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)(%)，4次測(cè)定結(jié)果為1.59，1.53，1.54和1.83。(1)用Q檢驗(yàn)法判斷第四個(gè)結(jié)果應(yīng)否棄去？(2)如第5次測(cè)定結(jié)果為1.65，此時(shí)情況有如何(P均為90%)？

解：(1)將測(cè)定值由大到小排列：1.83、1.59、1.54、1.53

查表，當(dāng)置信度為90%，n＝4時(shí)，Q表＝0.76(2)將測(cè)定值由大到小排列：1.83、1.65、1.59、1.54、1.53

查表，當(dāng)置信度為90%，n＝5時(shí)，Q表＝0.64Q計(jì)算

<Q表，1.83這個(gè)值應(yīng)當(dāng)保留。

Q計(jì)算＞Q表，1.83這個(gè)值應(yīng)當(dāng)舍棄。282.格魯布斯檢驗(yàn)法(即G檢驗(yàn)法)①將測(cè)定值由小到大(或由大到小)排列，找出可疑值②計(jì)算測(cè)定數(shù)據(jù)的平均值(包括可疑值在內(nèi))和標(biāo)準(zhǔn)偏差s；③計(jì)算統(tǒng)計(jì)量G：

④比較判斷。將計(jì)算的G計(jì)算值與G表(見P163表7.3)相比較。若G計(jì)算≥G表，可疑值應(yīng)舍去，否則可疑值應(yīng)保留。29

用電位滴定法測(cè)定鐵精礦中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)(%)，6次測(cè)定結(jié)果如下：60.7260.8160.7060.7860.5660.84

用G檢驗(yàn)法有無應(yīng)舍去的測(cè)定值(P＝95%)30解：(1)

60.5660.7060.7260.7860.8160.84

查表，n＝6，P＝95%時(shí)，G表＝1.82，G計(jì)1＜G表，G計(jì)2

＜G表，故無舍去的測(cè)定值。

31

四、顯著性檢驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)工作中，由于實(shí)驗(yàn)方法、儀器、試劑、操作人員等不同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間可能存在著明顯的差異(是由系統(tǒng)誤差引起的)，即存在著“顯著性差異”，否則就無顯著性差異，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異純屬隨機(jī)誤差引起的，是正常的。下面介紹準(zhǔn)確性和精密度的檢驗(yàn)方法。

1.t

檢驗(yàn)法－主要檢驗(yàn)是否存在系統(tǒng)誤差

(1)實(shí)驗(yàn)平均值與標(biāo)準(zhǔn)值比較為了檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方法、儀器、試劑、操作人員等是否存在系統(tǒng)誤差，可測(cè)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)試樣，利用t

檢驗(yàn)法檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值與標(biāo)準(zhǔn)值之間是否存在性差異。32

由該式計(jì)算出一定置信度下的t值。將計(jì)算的t值與表中對(duì)應(yīng)的t表值作比較：

若t計(jì)算≥

t表，則存在顯著性差異，說明實(shí)驗(yàn)方法、儀器、試劑、操作人員等存在系統(tǒng)誤差；

若t計(jì)算＜

t表，則不存在顯著性差異，實(shí)驗(yàn)方法、儀器等是可靠的。33

某分析人員測(cè)定試樣中銅的質(zhì)量分?jǐn)?shù)(標(biāo)準(zhǔn)值為0.1834)，共測(cè)定7次，得平均值為0.1831，標(biāo)準(zhǔn)偏差s＝0.00040，試判斷該分析人員測(cè)定方法是否合格(置信度為95%)。解：查表：n=7，P＝95%時(shí)，t0.05,6＝2.447

t計(jì)算＝1.984<

t表＝2.447，即測(cè)定結(jié)果與要求標(biāo)準(zhǔn)無顯著性差異，說明該該人員的操作、方法是合格的。34用某一新方法測(cè)定某清潔劑有效成分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)(標(biāo)準(zhǔn)值為54.46%)，測(cè)定4次所得的平均值為54.36%，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.05%。問置信度為95%時(shí)，該方法是否可靠?

解：根據(jù)

查表得t0.05,3=3.182,因t>t0.05,3

，說明平均值與標(biāo)準(zhǔn)值之間存在顯著性差異，即該新方法不可靠，存在系統(tǒng)誤差。

35(2)兩組平均值的比較*有二人進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)，甲進(jìn)行了n1次，平均值為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為s1；乙進(jìn)行了n2次，平均值為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為s2。甲乙二人的平均值間是否存在顯著性差異？可用t檢驗(yàn)法。s為合并標(biāo)準(zhǔn)偏差：若t計(jì)算≥

t表，則兩組數(shù)據(jù)存在顯著性差異；

若t計(jì)算＜

t表，則兩組數(shù)據(jù)不存在性差異。

注意：查表所用自由度為：f＝n1+n2

－236例：甲、乙兩人用不同的方法測(cè)定某樣品中含KBr的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，分析結(jié)果為：甲：0.5316、0.5320、0.5318、0.5312；乙：0.5335、0.5336、0.5338。甲乙二人的實(shí)驗(yàn)方法間是否存在顯著性差異？

(置信度為99%)解：甲：n1＝4，s1＝0.00060乙：n1＝3，s2＝0.00016查表：f＝n1+n2－2＝5，P＝99%時(shí)，t表＝4.032

t計(jì)算≥

t表，甲乙二人的實(shí)驗(yàn)方法間存在顯著性差異。37

2.F檢驗(yàn)法

F檢驗(yàn)法是對(duì)兩實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差(s2)進(jìn)行比較，以確定它們的精密度是否有顯著性差異，主要用于檢驗(yàn)隨機(jī)誤差的大小。若要判斷兩組數(shù)據(jù)之間是否存在系統(tǒng)誤差，通過先進(jìn)行F檢驗(yàn)并確定它們的精密度無顯著差異后(隨機(jī)誤差小)，再進(jìn)行t檢驗(yàn)。步驟如下：

(1)計(jì)算F值(2)比較查表若F計(jì)算≥

F表，則兩組數(shù)據(jù)存在顯著性差異；

若F計(jì)算＜

F表，則兩組數(shù)據(jù)不存在性差異。

下表是置信度為95%時(shí)的F(f大,f小)值。其中f大、f小表示分別對(duì)應(yīng)s大、s小的自由度。3839分別用硼砂和碳酸鈉兩種基準(zhǔn)物標(biāo)定某HC1溶液的濃度(mol·L-1)，結(jié)果如下：用硼砂標(biāo)定x平1

＝0.1017，s1＝3.9×10－4，n1＝4

用碳酸鈉標(biāo)定x平2

＝0.1020，s2＝2.4×10－4，n2＝5

當(dāng)置信度為95%時(shí)，這兩種物質(zhì)標(biāo)定的HC1溶液濃度是否存在顯著性差異？解：n1＝4，x平1

＝0.1017，s1＝3.9×10－4

n2＝5，x平2

＝0.1020，s2＝2.4×10－4

查表,f大=3，f小=4，F(xiàn)表=6.59，F(xiàn)<F表說明此時(shí)s1與s2不存在顯著性差異。40第四章有效數(shù)字的修約及運(yùn)算規(guī)則在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，為了得到準(zhǔn)確的分析結(jié)果，不僅要準(zhǔn)確地測(cè)量，而且還要正確地記錄和計(jì)算，即記錄的數(shù)字不僅表示數(shù)量的大小，而且要正確地反映出測(cè)量的精確程度，所以記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字是一件很重要的事情，不能隨便增減。例如：用重量法測(cè)定硅酸鹽中的SiO2時(shí)，若稱取試樣重0.4538g，經(jīng)過一系列處理后，灼燒得到SiO2沉淀重量為0.1374g，則其百分含量為：

SiO2%=0.1374/0.4538×100%=30.277655354%共有11位運(yùn)算上并無錯(cuò)誤，但表示不對(duì)，實(shí)際上不可能達(dá)到這樣準(zhǔn)確的程度。41一、有效數(shù)字的位數(shù)

有效數(shù)字是指在分析工作中實(shí)際上能測(cè)量到的數(shù)字。所有測(cè)量結(jié)果的數(shù)字都由若干位確定數(shù)字加一位可疑數(shù)字組成:

有效數(shù)字

=若干位確定數(shù)字

+

一位可疑數(shù)字

例如：1.6754

為五位有效數(shù)字，4

為可疑數(shù)字。以滴定管讀出的體積20.35mL為例,滴定管上沒有0.01mL的刻度,最后一位數(shù)字“5”是估計(jì)出來的。這個(gè)“5”可能是“1”到“9”之間的任何數(shù)字,不過反映在實(shí)驗(yàn)報(bào)告上的可疑數(shù)字可能有±1

單位的誤差。20.35±

0.01mL42確定有效數(shù)字的規(guī)則：

非零數(shù)字都是有效數(shù)字,如823kg為三位有效數(shù)字;非零數(shù)字之間的“0”都是有效數(shù)字,如1008g為四位有效數(shù)字;數(shù)字中第一個(gè)非零數(shù)字之前的“0”都不是有效數(shù)字,它們僅用來表示小數(shù)點(diǎn)的位置,如0.0026cm

為兩位有效數(shù)字;小數(shù)點(diǎn)之后處于數(shù)字末尾的“0”都是有效數(shù)字,如0.0400g為三位有效數(shù)字;整數(shù)數(shù)字(即不含小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字)以“0”或幾個(gè)“0”結(jié)尾時(shí),這個(gè)或這些“0”可能是、也可能不是有效數(shù)字。對(duì)數(shù)的有效數(shù)字只計(jì)小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，即有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)位數(shù)一致。例如pH值為5.23，其有效數(shù)字不是三位而是兩位。對(duì)于第1位有效數(shù)字≥8的數(shù)據(jù)，其有效數(shù)字位數(shù)可多算一位。下列數(shù)據(jù)包括有效數(shù)字的位數(shù)為0.003080_______位；6.020×10-3_______位；1.60×10-5_______位；pH=10.85_______位；pKa=4.75_______位；0.0903mol/L_______位。43四；四；三；二；二；三44二、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

1.有效數(shù)字的修約數(shù)字位數(shù)能正確表達(dá)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度，舍去多余的數(shù)字。

在有效數(shù)字的運(yùn)算過程中，必須根據(jù)實(shí)驗(yàn)中各步測(cè)量的精度及有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則，對(duì)有效數(shù)字的位數(shù)進(jìn)行合理的取舍，稱為有效數(shù)字的修約。取舍原則：“四舍六入五成雙”，即四舍六入五考慮五后非零則進(jìn)一五后皆零視奇偶五前為奇則進(jìn)一五前為偶則舍棄

不許連續(xù)修約

將下面的數(shù)據(jù)修約為4位有效數(shù)字。

28.6249、28.165、28.2650、28.2350、28.14504、28.13500452.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

(1)加減法：幾個(gè)數(shù)相加減時(shí)，它們的和或差的有效數(shù)字的位數(shù)，取決于小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)。例如：0.121+25.64+1.05782＝26.82先修約，后計(jì)算：0.12+25.64+1.06＝26.82

(2)乘除法：幾個(gè)數(shù)相乘除時(shí)，它們的積或商的有效數(shù)字的保留，取決于有效數(shù)字位數(shù)最少。如：0.0325×5.103×60.06÷139.8=0.0713(1.276×4.17)+1.7×10－4－(0.0021764×0.0121)

＝(1.28×4.17)+1.7×10－4－(0.00218×0.0121)

＝5.34+1.7×10－4－2.64×10－5

＝5.34pH=1.05，[H+]＝0.0891252023/2/1運(yùn)算規(guī)則1.加減法運(yùn)算

結(jié)果的位數(shù)取決于絕對(duì)誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)

例：0.0121絕對(duì)誤差：0.000125.64

0.011.0570.00126.7091=26.71最后一位可疑2023/2/12.乘除法運(yùn)算

有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對(duì)誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)。

例：(0.03255.10360.064)/139.82=0.07130.0325±0.0001/0.0325100%=±0.3%

5.103±0.001/5.103100%=±0.02%60.064±0.001/60.064100%=±0.002%139.8±0.1/139.8100%=±0.07%

先修約再運(yùn)算？先運(yùn)算再修約？結(jié)果數(shù)值有時(shí)不一樣。將參與運(yùn)算的各數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)修約到比該數(shù)應(yīng)有的有效數(shù)字位數(shù)多一位(多取的數(shù)字稱為安全數(shù)字)，再進(jìn)行運(yùn)算。48兩位分析者同時(shí)測(cè)定某一試樣中硫的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，稱取試樣均為3.5g，分別報(bào)告結(jié)果如下：甲：0.042%,0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。問哪一份報(bào)告是合理的，為什么？答：甲的報(bào)告合理。因?yàn)樵诜Q樣時(shí)取了兩位有效數(shù)字，所以計(jì)算結(jié)果應(yīng)和稱樣時(shí)相同，都取兩位有效數(shù)字。2023/2/12.

有關(guān)有效數(shù)字的討論

（1）正確記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用分析天平與用托盤天平稱取試樣的不同。（2）實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)字不僅表示數(shù)量的大小，而且要正確地反映測(cè)量的精確程度。（3）一般有效數(shù)字的最后一位數(shù)字有±1個(gè)單位的誤差。結(jié)果絕對(duì)偏差相對(duì)偏差有效數(shù)字位數(shù)0.51800±0.00001±0.002%50.5180±0.0001±0.02%40.518±0.001±0.2%32023/2/1（4）數(shù)據(jù)中零的作用

數(shù)字零在數(shù)據(jù)中具有雙重作用：

a.作普通數(shù)字用，如0.5180；4位有效數(shù)字5.18010－1

b.作定位用，如0.0518；3位有效數(shù)字5.1810－2（5）注意點(diǎn)

a.容量器皿:滴定管,移液管,容量瓶；4位有效數(shù)字。25.32mL.

b.分析天平（萬分之一）取4位有效數(shù)字。0.2501g

c.標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度，用4位有效數(shù)字表示:0.1000mol/Ld.pH=4.34，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字位數(shù)為有效數(shù)字位數(shù)對(duì)數(shù)值，lgX=2.38；lg(2.4102)1.加減運(yùn)算幾個(gè)數(shù)相加減的結(jié)果，經(jīng)修約后保留有效數(shù)字的位數(shù)，取決于絕對(duì)誤差最大的數(shù)值，計(jì)算結(jié)果應(yīng)以絕對(duì)誤差最大（即小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少）的數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，來決定計(jì)算結(jié)果數(shù)