課堂學案配套課件-板塊二專題七第2講

第2講三角函數、解三角形中的應用題板塊二專題七應用題在實際問題中以角為自變量建立函數，利用三角函數的性質求解實際問題.與解三角形有關的應用題，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，進而解決實際問題.考情考向分析NEIRONGSUOYIN內容索引熱點分類突破真題押題精練1PARTONE熱點一和三角函數有關的應用題熱點二和解三角形有關的應用題熱點一和三角函數有關的應用題例1

(2019·南通聯考)如圖，某公園內有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD，已知AB＝100米，BC＝80米，在以AD，BC為直徑的兩個半圓內種植花草，其它區(qū)域種植苗木.現決定在綠地區(qū)域內修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價為每米3a元(a>0)，修建的總造價為W元.設∠NBC＝θ.(1)求W關于θ的函數關系式；解連結NC，AM，設AD的中點為O，連結MO，過N作NE⊥BC，垂足為E.由BC為直徑知，∠BNC＝90°，又BC＝80，∠NBC＝θ，所以BN＝80cosθ，NE＝BNsinθ＝80sinθcosθ，因為MN∥AB，AB＝100，所以MN＝AB－2NE＝100－160sinθcosθ，由于∠DOM＝2∠MAD＝2θ，OM＝40，所以

＝40×2θ＝80θ，

因為直路的工程造價為每米2a元，弧形路的工程造價為每米3a元，所以總造價為W＝2a(BN＋MN)＋3a

＝2a(80cosθ＋100－160sinθcosθ)＋3a·80θ，(2)如何修建道路，可使修建的總造價最少？并求最少總造價.則f′(θ)＝－4sinθ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sinθ－2＝2(4sinθ＋1)(2sinθ－1).此時，總造價W最少，最少總造價為(200＋40π)a元.思維升華在求解與三角函數有關的應用題時，首先數形結合建立相關的三角函數模型，再運用三角恒等變換、導數等求解最值，從而解決優(yōu)化問題.跟蹤演練1

(2019·揚州調研)2019年揚州市政府打算在如圖所示的某“葫蘆”形花壇中建一噴泉，該花壇的邊界由兩個半徑為12米的圓弧圍成，兩圓心O1，O2之間的距離為12米.在花壇中建矩形噴泉，四個頂點A，B，C，D均在圓弧上，O1O2⊥AB于點M.設∠AO2M＝θ.(2)求cosθ為何值時，可使噴泉ABCD的面積S最大？解在Rt△AO2M中，AM＝12sinθ，O2M＝12cosθ，則AD＝24cosθ＋12，AB＝2AM＝24sinθ，所以矩形ABCD的面積S＝24sinθ(24cosθ＋12)則f′(θ)＝2(cos2θ－sin2θ)＋cosθ＝4cos2θ＋cosθ－2，列表如下：所以當θ＝θ0時，f(θ)最大，即S最大.熱點二和解三角形有關的應用題例2

(2019·鹽城模擬)某公園內有一塊以O為圓心，半徑為20米的圓形區(qū)域.為豐富市民的業(yè)余文化生活，現提出如下設計方案：如圖，在圓形區(qū)域內搭建露天舞臺，舞臺為扇形OAB區(qū)域，其中兩個端點A，B分別在圓周上；觀眾席為梯形ABQP內且在圓O外的區(qū)域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在點O的同側.為保證視聽效果，要求觀眾席內每一個觀眾到舞臺O處的距離都不超過60米.設∠OAB＝α，α∈.問：對于任意α，上述設計方案是否均能符合要求？解過O作OH垂直于AB，垂足為H.在Rt△OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.由圖可知，點P處觀眾離點O處最遠.答

對于任意α，上述設計方案均能符合要求.思維升華用正弦、余弦定理去解決具體實際問題時，應關注圖形的特點，找出已知量及所求的量，轉化為三角形的邊角，在某個三角形內利用正弦、余弦定理構造方程或三角函數式，運用求導或不等式的性質尋找最值.由題意可知S△AEF＝S△AEP＋S△AFP，設∠FPA＝θ，由PF＋PE＝FE，(2)試確定E，F的位置，使三條路圍成的△AEF地皮購價最低.解設三條路圍成△AEF地皮購價為z元，地皮每平方米購價為k元，則z＝k·S△AEF(k為正常數)，所以要使z最小，只要使S△AEF最小，令t＝4x－7a>0，2PARTTWO真題押題精練121.(2018·江蘇，17)某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現規(guī)劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；12解如圖，設PO的延長線交MN于點H，則PH⊥MN，所以OH＝10.過點O作OE⊥BC于點E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，＝1600(cosθ－sinθcosθ).過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK＝KN＝10.1212(2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3.求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.12解因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3，設甲的單位面積的年產值為4k，乙的單位面積的年產值為3k(k＞0)，則年總產值為4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)則f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1).12122.如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200m，斜邊AB＝400m.現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F.(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲晚2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離；12解依題意得BD＝300m，BE＝100m，在△BDE中，由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB12(2)設∠CEF＝θ，乙、丙之間