第一講 簡(jiǎn)單幾何體結(jié)構(gòu)三視圖直觀圖

第1講簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖最新考綱

1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖；3.會(huì)用平行投影方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.知

識(shí)

梳

理1.簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體①棱柱：兩個(gè)面互相______，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相_____，這些面圍成的幾何體叫作棱柱.②棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)________的三角形，這些面圍成的幾何體叫作棱錐.③棱臺(tái)：用一個(gè)_______棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫作棱臺(tái).平行平行公共頂點(diǎn)平行于(2)旋轉(zhuǎn)體①圓錐可以由直角三角形繞其_____________旋轉(zhuǎn)得到.②圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到.③球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.任一直角邊2.三視圖(1)三視圖的名稱(chēng)幾何體的三視圖包括_______、______、______.(2)三視圖的畫(huà)法①畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線(xiàn)只畫(huà)一條，擋住的線(xiàn)要畫(huà)成虛線(xiàn).②三視圖的主視圖、左視圖、俯視圖分別是從幾何體的_____方、______方、_____方觀察幾何體得到的正投影圖.③觀察簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線(xiàn)位置.主視圖左視圖俯視圖正前正左正上3.直觀圖簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖常用_______畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy.畫(huà)直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′＝_____，它們確定的平面表示水平平面；(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于_____和_____的線(xiàn)段；斜二測(cè)45°x′軸y′軸(3)已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度_____；平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為原來(lái)的_____.不變?cè)\

斷

自

測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

精彩PPT展示(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(

)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.(

)解析(1)反例：由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿(mǎn)足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示不是棱錐.(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，把x，y軸畫(huà)成相交成45°或135°，平行于x軸的線(xiàn)還平行于x軸，平行于y軸的線(xiàn)還平行于y軸，所以∠A也可能為135°.(4)正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的主視圖和左視圖相同，且為等腰三角形，

其俯視圖為圓心和圓.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(教材改編)某簡(jiǎn)單幾何體的主視圖是三角形，則該幾何體不可能是(

) A.圓柱 B.圓錐 C.四面體 D.三棱柱

解析由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其主視圖為三角形，而圓柱的主視圖不可能為三角形.

答案

A3.如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是(

)A.棱臺(tái)

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.答案

C4.(2016·天津卷)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的左視圖為(

)解析先根據(jù)主視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其左視圖.由幾何體的主視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其左視圖為圖②.答案B5.正△AOB的邊長(zhǎng)為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是________.考點(diǎn)一簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)給出下列命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)； ②直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； ③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

) A.0 B.1 C.2 D.3(2)以下命題：①以直角梯形的一腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析

(1)①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸時(shí)才是母線(xiàn)；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.(2)由圓臺(tái)的定義可知①錯(cuò)誤，②正確.對(duì)于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，③不正確.答案

(1)A

(2)B規(guī)律方法

(1)關(guān)于簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種簡(jiǎn)單幾何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.(3)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.【訓(xùn)練1】

下列結(jié)論正確的是(

) A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體 C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可

能是六棱錐 D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn)解析如圖1知，A不正確.如圖2，兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，C錯(cuò)誤.由母線(xiàn)的概念知，選項(xiàng)D正確.答案

D考點(diǎn)二簡(jiǎn)單幾何體的三視圖(多維探究)命題角度一由簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖判斷三視圖【例2－1】

一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是(

)解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項(xiàng)B適合.答案

B命題角度二由三視圖判定幾何體【例2－2】(1)(2014·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是(

) A.三棱錐

B.三棱柱 C.四棱錐

D.四棱柱(2)(2015·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為(

)解析(1)由題知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱，故選B.答案(1)B

(2)C規(guī)律方法

(1)由實(shí)物圖畫(huà)三視圖或判斷選擇三視圖，按照“主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn).(2)根據(jù)三視圖還原幾何體.①對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉.②明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.③根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù).提醒對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖，首先要確定主視、左視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線(xiàn)的位置，區(qū)分好實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)的不同.【訓(xùn)練2】(1)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為(

)(2)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)錐體的左視圖和俯視圖，則該錐體的主視圖可能是(

)解析

(1)還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線(xiàn)，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線(xiàn)，B1C被遮擋應(yīng)為虛線(xiàn).故選B.(2)由俯視圖和左視圖可知原幾何體是四棱錐，底面是長(zhǎng)方形，內(nèi)側(cè)的側(cè)面垂直于底面，所以主視圖為A.答案

(1)B

(2)A考點(diǎn)三簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖：規(guī)律方法

(1)畫(huà)幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫(huà)法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變)來(lái)掌握.對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.【訓(xùn)練3】

(2017·貴陽(yáng)聯(lián)考)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______.解析如圖1，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.[思想方法]1.畫(huà)三視圖的三個(gè)原則： (1)畫(huà)法規(guī)則：“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”. (2)擺放規(guī)則：左視圖在主視圖的右側(cè)，俯視圖在主視圖的正下方. (3)