胡海巖機械振動基礎第一章課件

1第一章

單自由度系統(tǒng)的振動振動工程研究所振動分類（自由度）單自由度多自由度（有限自由度）－>大自由度連續(xù)體（無限自由度）

振動工程研究所振動分類（運動特點）簡諧振動周期振動（可分解為若干簡諧振動之和）非周期確定性振動（可分解為無限個簡諧振動之和）*概周期振動*一般確定性運動隨機振動混沌振動

振動工程研究所研究的起點----單自由度系統(tǒng)的確定振動是以后研究復雜系統(tǒng)的基礎。有助于理解實際工程振動問題。很多實際問題可簡化為單自由度問題。振動工程研究所1.0.1

簡諧振動的表示三要素：振幅、頻率、相位（概念復習）簡諧振動的三種表示法三角函數(shù)法1.0振動的描述

注意位移、速度、加速度之間得相位關系振動工程研究所復數(shù)法

旋轉向量法（幾何法）——縱軸投影振動工程研究所復數(shù)法的位移、速度、加速度關系振動工程研究所三種表示法的差異三角函數(shù)最直接、最常用。旋轉向量法是三角函數(shù)幾何表示，用得不多，直觀。復數(shù)法與三角函數(shù)是一致的。向Y軸投影取虛部振動工程研究所簡諧振動的合成

頻率相同的兩簡諧振動合成后仍為簡諧振動，且頻率不變。

用復數(shù)法振動工程研究所不同頻率的簡諧振動的合成不再是簡諧振動周期振動(頻率可通約)證明關鍵整數(shù)倍數(shù)振動工程研究所2.調制信號——用高頻傳遞低頻信號兩個振幅相同，而相位不同、頻率接近且可通約的諧振動合成振動工程研究所幾個概念拍:周期振動的一種拍頻:注意是拍的節(jié)律,不是包絡線頻率

(差一倍)包絡線:有兩條振動工程研究所兩個振幅、相位、頻率都不同的諧振動合成同振幅諧振動的包絡線通過零點。由兩個頻率接近的簡諧振動合成的拍是一種普遍的物理現(xiàn)象。

振動工程研究所李沙育（Lissajous）圖振動方向相互垂直的簡諧振動合成示波器觀測頻率與象位的傳統(tǒng)工具振動工程研究所1.1單自由度系統(tǒng)振動方程振動系統(tǒng)的組成三要素：質量，剛度，阻尼

必須要素振動系統(tǒng)的數(shù)學模型:運動方程（力平衡給出方程）kmcu(t)f(t)振動工程研究所

fs彈性恢復力與彈簧兩端的相對位移（變形）成正比，方向相反。彈簧受力有勢能；松弛完全放勢能（無阻尼）。

方程中的彈性項振動工程研究所粘性阻尼力與物體在介質中的相對運動速度成正比，方向相反。（最簡阻尼形式）方程中的阻尼項振動工程研究所根據(jù)D’Alembert原理（動靜轉換），質量塊（無變形）提供與外力大小相同、方向相反的慣性力方程中的慣性項振動工程研究所建模步驟建立坐標系

原點為靜止點坐標正向為標示外力方向分離體法（材力，結力）

對質點標明慣性力、彈性力、阻尼力力平衡

達朗貝爾原理振動工程研究所由繁入簡方程分類單自由度系統(tǒng)振動方程自由振動方程——無外激勵偏離靜平衡初始條件無阻尼自由振動方程略去阻尼突出自由振動的特點振動工程研究所1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動方程初始條件(定解條件)注意

特點二階常系數(shù)齊次方程振動工程研究所解的形式與試探解微分方程解=通解（+特解）（1）試探解的提出與代入（2）用初始條件定系數(shù)數(shù)學理論實際經(jīng)驗振動工程研究所因為,故得到有特征方程（以s為變量的代數(shù)方程）特征解（根）為其中為固有圓頻率.或固有頻率

（固有周期？）振動工程研究所自由運動方程的通解可取為:或其中或為積分常數(shù)。由初始條件定。無阻尼系統(tǒng)的自由振動是簡諧振動

振動工程研究所無阻尼自由振動的時間域響應(時間歷程)可表達為或（易記憶）振動工程研究所兩個并聯(lián)彈簧剛度增加,兩個串聯(lián)彈簧剛度削弱,剛度元件的串并聯(lián)振動工程研究所例:

升降機鋼絲繩中最大張力

mk振動工程研究所解：初始條件

方程固有頻率振幅

由振動而引起的鋼絲繩中最大動張力為

鋼絲繩中總張力的最大值是

振動工程研究所1.3等效單自由度系統(tǒng)物理系統(tǒng)多樣數(shù)學模型唯一(等效性)工程實際簡化例子

汽車乘員抗顛簸性研究

翼尖掛彈環(huán)境研究

摩天輪剎車性能研究

振動工程研究所擺振動系統(tǒng)中不存在彈性元件，恢復力由擺錘重力提供。(勢能提供者為重力，地球是儲能元件)動力矩方程或力矩平衡方程振動的幅度很小時

振動工程研究所小角度簡化方程為系統(tǒng)振動的固有頻率

周期與擺線長關系

振動工程研究所系統(tǒng)振動的Duffin方程

周期誤差與角度關系

大角度簡化方法振動工程研究所剛體擺質量為m，質心C距鉸中心O距離為l

繞固定鉸使用動量矩定理

考慮小角度條件固有頻率及固有周期

振動工程研究所與材料力學聯(lián)系單自由度扭振假定盤和軸都為均質體，不考慮軸的質量。設扭矩作用在盤面，此時圓盤產(chǎn)生一角位移，其中定義軸的扭轉剛度為

振動工程研究所扭轉振動方程

扭轉振動固有頻率

系統(tǒng)對初始擾動的自由振動響應振動工程研究所梁橫向振動

例：簡支梁的橫向振動，假設系統(tǒng)的質量全部集中在梁的中部，取梁的中部撓度作為系統(tǒng)的位移，靜態(tài)撓度：等效剛度振動工程研究所系統(tǒng)自由振動方程為

振動固有頻率

懸臂梁、固支梁情況類似，關鍵在于確定自由度與給出等效剛度振動工程研究所*用能量法確定固有頻率

根據(jù)機械能守恒條件可得

固有振動是簡諧振動，其位移和速度分別為

（一種簡單方法，也可發(fā)展用于近似求多自由度系統(tǒng)固有特性）振動工程研究所右端稱作Rayleigh商，計算系統(tǒng)固有頻率的方法其中參考動能：參考動能求法：將最大動能中的速度項換成位移項既成參考動能。振動工程研究所半徑為r、質量為m的圓柱體在半徑為R的內圓柱面上繞最低點作純滾動，試求其微振動的固有頻率。例

圓柱體的微振動解：設圓柱體作純滾動，圓柱體的動能是

重力勢能為

由Rayleigh商得系統(tǒng)固有頻率為

關鍵是確定便于建模的獨立自由度，簡化三角函數(shù)振動工程研究所*彈性元件的分布質量及其簡化（1）假設速度分布（2）計算分布質量動能（3）根據(jù)動能相等計算等效集中質量例：一端固定彈簧，以自由端為分析自由度彈簧上距固定端x處點的位移：微段彈簧質量：動能：振動工程研究所等效質量：振動工程研究所無阻尼單自由度系統(tǒng)求解目的求固有特性（固有頻率，周期）（主要目的）研究極小阻尼下響應振動工程研究所1.4粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動

求解初值問題：

它的解具有如下形式非平凡解特征方程含阻尼元件：線性阻尼無外激勵平凡解振動工程研究所解出一對特征根阻尼比定義固有頻率阻尼比不同，解形式不同。振動工程研究所（1）過阻尼情況，特征根是一對互異實根

引入初始條件積分常數(shù)振動工程研究所指數(shù)衰減振動工程研究所（2）臨界阻尼情況，特征根是一對相等的實根引入初始條件積分常數(shù)振動工程研究所振動工程研究所（3）欠阻尼情況（）,

這時特征根是一對共軛復根通解是:

（最主要）振動工程研究所自然頻率（阻尼振動頻率）引入初始條件積分常數(shù)參數(shù)與量綱振動工程研究所通解形式初始位移引起的振動初始速度引起的振動解的迭加性振動工程研究所粘性阻尼振動系統(tǒng)的自由振動解的另一形式由初始條件決定包絡線振動工程研究所欠阻尼系統(tǒng)振動特性（1）自由振動振幅按指數(shù)規(guī)律衰減（2）非周期振動：振幅不同但有等時性。周期概念——自然周期（阻尼固有周期）概念振動工程研究所（3）阻尼比的影響關系：（4）振幅對數(shù)衰減率：經(jīng)過一個自然周期的振幅之比的自然對數(shù)。（5）由振幅對數(shù)衰減率求阻尼比（逆問題）工程性振動工程研究所阻尼比與解的關系簡諧振動過阻尼衰減振動工程研究所小結數(shù)學模型建立特征解（動特性）……固有……自然初始條件下響應（沖擊響應）（初始變形）振動工程研究所1.5簡諧力激勵下的受迫振動

1.5.0無阻尼系統(tǒng)的受迫振動

或力激勵位移激勵振動工程研究所(1)當時特解形式為解的特性討論（試探解）強迫振動的響應（非齊次方程解）由兩部分組成通解（自由振動）特解（強迫振動）振動工程研究所積分常數(shù)由初始條件決定。(2)當時,方程(1.5.1)的特解具有如下形式代入方程振動工程研究所運動方程的解變?yōu)榉e分常數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)位移響應中最后一部分隨時間增加趨于無窮，這是激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率相等時的共振現(xiàn)象。

（……超諧共振，亞諧共振）振動工程研究所1.5.1簡諧力激勵下受迫振動的解

運動方程阻尼自由振動通解強迫振動特解（注意相位變化）振動工程研究所阻尼系統(tǒng)強迫振動方程的解為

（1）三角方程常利用待定系數(shù)法求解（2）運用技巧較多振動工程研究所其中積分常數(shù)可由初始條件確定，它們是

積分常數(shù)與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關；也與激振頻率有關。振動工程研究所響應由兩部分組成：a.第一部分類似于粘性阻尼系統(tǒng)的自由振動，其幅值隨時間增長而衰減。初始條件響應部分。

振動工程研究所b.第二部分響應如圖1.5.1中細實線所示。它是簡諧力引起的簡諧振動，其幅值是常數(shù)，不因阻尼而衰減，故稱為穩(wěn)態(tài)響應部分。

系統(tǒng)的完整受迫振動由上述兩部分疊加而成。

在時間歷程上，系統(tǒng)的受迫振動響應分為兩個階段：

由給定的初始條件出發(fā)，系統(tǒng)振動由自由衰減振動響應和強迫振動響應相疊加，呈現(xiàn)較為復雜的波形。隨著時間增長，自由衰減振動響應趨于零，而強迫振動響應成為主要成分。這個階段稱為過渡過程。過渡過程只經(jīng)歷一個不長的時間，阻尼越大，過渡過程持續(xù)的時間越短。經(jīng)過一段時間后，系統(tǒng)的振動響應將以強迫振動響應為主，這一階段稱作穩(wěn)態(tài)過程。只要有激振力作用，穩(wěn)態(tài)振動將一直持續(xù)下去。振動工程研究所1.5.2阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動響應

無量綱化激勵頻率,（便于觀察比較和使用）過渡過程很短暫，在實踐中主要關心系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動。

振幅放大系數(shù)（相對振幅）振動工程研究所位移幅頻特性曲線位移相頻特性曲線振動工程研究所穩(wěn)態(tài)響應速度函數(shù)描述速度振幅速度相位差速度振幅放大系數(shù)人為定義概念并選擇ωn振動工程研究所穩(wěn)態(tài)響應加速度函數(shù)描述加速度振幅加速度相位差加速度振幅放大系數(shù)人為定義概念并選擇ωn振動工程研究所速度幅頻特性曲線

加速度幅頻特性曲線

振動工程研究所穩(wěn)態(tài)響應頻率特性低頻段（1）（2）（3）彈性占優(yōu)振動工程研究所穩(wěn)態(tài)響應頻率特性（續(xù)）高頻段（1）（2）（3）慣性占優(yōu)振動工程研究所穩(wěn)態(tài)響應頻率特性（共振）位移共振速度共振加速度共振共振頻率阻尼特性占優(yōu)阻尼力等于激勵相位共振振動工程研究所系統(tǒng)品質因數(shù)（共振放大系數(shù)表示阻尼的又一參量）定義：共振區(qū)放大系數(shù)大于峰值處半功率點半功率帶寬振動工程研究所共振的過渡過程

共振區(qū)及其半功率帶

STOP振動工程研究所例：旋轉部件偏心質量引起的振動

振動工程研究所化為簡諧強迫振動形式穩(wěn)態(tài)位移的幅值和相位分別為

穩(wěn)態(tài)位移幅值化為無量綱形式

其位移幅頻特性曲線與常幅值簡諧力激勵系統(tǒng)的加速度幅頻特性曲線相同

對應的轉速稱為臨界轉速

分母不是靜變形振動工程研究所例：單盤轉子的弓形回旋圖1.5.8作同步弓形回旋的單盤轉子

選擇自由度：C點在ODC平面內正交運動的自由度振動工程研究所兩個互相獨立的運動方程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為

軸的動撓度（即形心D的運動）軌跡是一個與時間無關的圓

注意振動工程研究所

動撓度與偏心距的比值可表示為如下無量綱形式

它也等于常幅值簡諧力激勵系統(tǒng)的加速度放大系數(shù)

轉子的共振動撓度為：若阻尼比較小，即使轉子平衡得很好（e很?。瑒訐隙萺也會相當大。這個轉速稱為單盤轉子的臨界轉速剛性轉子柔性轉子振動工程研究所1.6基礎簡諧激勵下的受迫振動

1.6.1振動方程

振動工程研究所變量替換相對運動方程（以質量塊與基礎距離改變?yōu)樽杂啥龋┙^對運動方程（以質量塊位移為自由度）振動工程研究所采用正弦函數(shù)描述基礎簡諧運動，絕對運動方程可寫為穩(wěn)態(tài)響應（特解）具有以下形式1.6.2穩(wěn)態(tài)振動分析絕對運動為激勵初相位（與響應幅值無關）振動工程研究所絕對運動傳遞率定義為：解參數(shù)為：另一種形式：振動工程研究所絕對運動傳遞率的頻率特性

幅頻相頻振動工程研究所（1）在低頻段（）系統(tǒng)的絕對運動接近于基礎運動，它們之間基本上沒有相對運動。（2）在共振頻段（）附近，有峰值；說明基礎運動經(jīng)過彈簧和阻尼器后被放大傳遞到質量塊。絕對運動傳遞特性（3）幅頻特性曲線都在時通過。（4）在高頻段（），；說明基礎運動被彈簧和阻尼器隔離振動工程研究所相對運動解參數(shù)無量綱化相對運動傳遞率振動工程研究所1.7振動的隔離

隔離振動（簡稱隔振）就是研究物體之間振動的傳遞關系，減小相互間所傳遞的振動量。

第一類:隔力：通過彈性支撐來隔離振源傳到基礎的力（發(fā)動機減振安裝）

第二類:隔幅：通過彈性支撐減小基礎傳到設備的振動幅值（儀表環(huán)境改善）

振動工程研究所1.7.1第一類隔振隔振器傳到剛性地基的彈性力和阻尼力

將經(jīng)過隔振器傳到基礎的力幅與激勵幅值之比定義為力傳遞率

二者相位差，其合力的幅值為

當時，，這時有隔力效果。振動工程研究所1.7.2第二類隔振基礎作簡諧運動時，系統(tǒng)的絕對運動傳遞率已由下式給出。

顯然，只有當時，,隔振器才有效果。

隔振器的剛度系數(shù)k應滿足

阻尼越小傳遞率越低，隔振效果越好。但為了減少系統(tǒng)通過共振區(qū)時的振幅，必須為隔振器配置適當?shù)淖枘帷?/p>

由于阻尼一般很小，或在高頻段可近似為

振動工程研究所例1.7.1

某直升機在旋翼額定轉速360rpm時機身強烈振動，為使直升機上某電子設備的隔振效果達到，試求隔振器彈簧的在設備自重下的靜變形。解：記隔振器彈簧在設備自重作用下的靜變形為，由虎克定律變化放大系數(shù)簡化式為可見，低頻隔振器的彈簧必須很柔軟。柔軟彈簧帶來的問題一是隔振系統(tǒng)要有足夠大的靜變形空間，二是側向穩(wěn)定性差。因此，隔離低頻振動是工程實踐中的難題。

綜合上兩式得到靜力學方法測動特性，動力學方法測靜力特性振動工程研究所幾種常用減振方法改變特性變剛度，質量隔振：降低剛度，增加質量變阻尼減振：加阻尼改變系統(tǒng)構成吸振器，阻尼器，附加結構振動工程研究所1.8等效線性粘性阻尼

1.8.1阻尼的等效

一般阻尼動力學系統(tǒng)上式右端第一項為阻尼力。若系統(tǒng)作簡諧振動則阻尼力在一個振動周期內消耗的能量：阻尼力在微位移區(qū)間du上所做的功為：亦與位移有關周期內阻尼作用等效振動工程研究所將上述阻尼力等效為粘性阻尼等效粘性阻尼在一個周期內所做的負功令等效粘性阻尼在一個周期內所做的負功與真實阻尼的相等：得等效粘性阻尼比若等效粘性阻尼比較大，應檢查簡化條件！振動工程研究所損耗因子定義：系統(tǒng)阻尼在每個振動周期中所耗能量與系統(tǒng)最大彈性勢能之比，再除以

。等效粘性阻尼系數(shù)和損耗因子之間的關系為

對比振動工程研究所1.8.2幾種阻尼的等效實例

低粘度流體阻尼Coulomb干摩擦阻尼

振動工程研究所

結構阻尼

（遲滯阻尼）

是一常數(shù)，稱為遲滯阻尼系數(shù)

損耗因子為：

等效粘性阻尼系數(shù)結構阻尼系統(tǒng)微分方程復描述損耗因子非頻變振動工程研究所剛度表達式：粘性阻尼亦可等效為結構阻尼損耗因子頻變復剛度的準確（頻域）表達方式：粘彈性材料的復模量頻域表達式：振動工程研究所復剛度描述下的簡諧振動穩(wěn)態(tài)解動力學方程代入試探解得穩(wěn)態(tài)解位移放大系數(shù)振動工程研究所方程：無阻尼－－有阻尼激勵：單頻－－多頻－－無限頻率自由度：單－－多－－無限研究進展圖振動工程研究所1.9周期激勵下的振動分析

將周期激勵作Fourier展開，得到一系列簡諧激勵的線性組合，分別求解簡諧激勵下系統(tǒng)的響應，然后根據(jù)線性疊加原理進行疊加，得到整個響應。

解決問題的思路

問題及方程振動工程研究所周期函數(shù)滿足一定條件后可展開為Fourier級數(shù)1.9.1周期（激勵）函數(shù)的付氏級數(shù)展開

振動工程研究所各諧分量的系數(shù)為該分量的譜周期振動：離散譜振動工程研究所復數(shù)表示利用得到歐拉公式雙邊頻譜振動工程研究所幾個概念與思考振動是在實數(shù)域內的，為什么可用復數(shù)表達？基頻r階諧波頻譜圖：幅頻、相頻階數(shù)是否總有無限多項為什么單邊頻譜幅值是雙邊的二倍振動工程研究所諧波逼近對矩形波的諧波逼近?諧波分量幅值與階次成反比（思考意義）振動工程研究所長（無限）周期的譜分析（周期無限的諧波分析）諧波分析-譜分析F級數(shù)-F變換周期變大-圓頻率變小譜線連續(xù)振動工程研究所變量代數(shù)變換代入振動工程研究所計算機計算方法軟件：VC，VB函數(shù)；MATLAB；MATHCAD；MAPLE名稱：FFTDFT

結果：(幅值，相位）

(實部，虛部）六十年代發(fā)現(xiàn)之后對信息、電子、通訊作用巨大振動工程研究所由于線性系統(tǒng)解的線性迭加性，解應為各頻率分量激勵對應解的和

穩(wěn)態(tài)解：1.9.2周期激勵受迫振動響應振動工程研究所或振動工程研究所周期力作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應的特性：

a.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應是周期振動，其周期等于激振力的周期b.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應由激振力的各次諧波分量分別作用下的穩(wěn)態(tài)響應疊加而成。c.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應中，頻率最靠近固有頻率的諧波最大，在響應中占主要成分；頻率遠離固有頻率的諧波很小，在響應中占次要成分。換言之，系統(tǒng)相當于一個濾波器，放大了靠近固有頻率的激勵諧波分量，而抑制了遠離固有頻率的激勵諧波分量的響應。振動工程研究所瞬態(tài)響應解法1、求通解形式2、求穩(wěn)態(tài)特解和式3、通解＋特解4、代入初始條件，得通解系數(shù)。振動工程研究所1.10一般（瞬態(tài)）激勵下的振動分析

其中是一個任意函數(shù)。求解思路：先把一般激勵分解為一系列簡單激勵的線性組合，然后求出各簡單激勵下系統(tǒng)的響應，再運用線性系統(tǒng)響應的可疊加性獲得一般激勵引起的響應。

問題及方程振動工程研究所1.10.1Fourier變換法

對一般激勵進行分解的一種直觀方法是將其分解為無限多簡諧激勵之和

F氏變換(無窮大周期F級數(shù)展開)式中激勵頻域分布周期激勵擴展振動工程研究所頻域響應解(位移)頻響函數(shù)重要概念單位簡諧力引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移，又稱作動柔度

(1)是系統(tǒng)輸出與輸入的Fourier變換之比，與激勵幅值大小無關，與系統(tǒng)初始條件無關。(2)完整地包含了系統(tǒng)的動特性信息。測試理論公式振動工程研究所頻響函數(shù)與放大系數(shù)關系頻響函數(shù)對應的時域意義單位脈沖響應與頻響函數(shù)互為F氏變換時域解的兩種解法振動工程研究所1.10.2Laplace變換法

L氏變換定義RZZR一般不作直接計算式振動工程研究所動力學方程與L氏域解（與初始條件有關）零初始條件振動工程研究所Laplace逆變換得傳遞函數(shù)定義定義系統(tǒng)位移（輸出量）的Laplace變換與激振力（輸入量）的Laplac