單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)A

第一章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

單自由度系統(tǒng) 最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)系統(tǒng) 線性系統(tǒng)：動(dòng)力學(xué)方程為常系數(shù)線性微分方程非線性系統(tǒng):動(dòng)力學(xué)方程為非線性微分方程自由振動(dòng) 自由振動(dòng)是指系統(tǒng)受初始擾動(dòng)后，僅靠系統(tǒng)自身恢復(fù)力維持的振動(dòng)。無(wú)阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)或ch1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)—討論的內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解 解的一般形式自由振動(dòng)的頻率 影響自由振動(dòng)參數(shù)的因素單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)初始條件的響應(yīng)求解無(wú)阻尼單度系統(tǒng)自由振動(dòng)問(wèn)題的能量法

無(wú)阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能T與勢(shì)能V之和保持不變。 動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能達(dá)到最大值。將動(dòng)能取最大值時(shí)的勢(shì)能取作零，則有

簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法三角函數(shù)表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量投影法

復(fù)數(shù)表示法三角函數(shù)表示法物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其位移可表示為諧波函數(shù)

或周期：振動(dòng)一次所需的時(shí)間T,單位：秒（s

）角頻率（圓頻率）ω:振動(dòng)矢量每秒轉(zhuǎn)過(guò)的角度（弧度），單位:弧度／秒（rad/s）

頻率：每秒振動(dòng)的次數(shù)f，單位：赫茲（Hz）（s-1）三角函數(shù)表示法（續(xù)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度

作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性系統(tǒng)，其位移、速度、加速度均為同頻率簡(jiǎn)諧函數(shù)；

相位角：速度超前位移π/2

；加速度超前位移π，超前速度π/2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素：頻率、振幅、初始相位

旋轉(zhuǎn)矢量表示法—旋轉(zhuǎn)矢量投影法

長(zhǎng)度為A的矢量以勻角速度ω在平面上繞定點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影均可表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

頻率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0時(shí)矢量與坐標(biāo)軸的夾角。

1．兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。2．直觀表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移．速度．及加速度之間的相對(duì)關(guān)系。

OxyAφω旋轉(zhuǎn)矢量表示法—旋轉(zhuǎn)矢量投影法

1．兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。2．直觀表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移．速度．及加速度之間的相對(duì)關(guān)系。OxyAφωωAωA2復(fù)數(shù)表示法

長(zhǎng)度為A的矢量以勻角速度ω在復(fù)平面上繞定點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影與矢量端點(diǎn)處復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng)。復(fù)數(shù)z的實(shí)部及虛部均可表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

特點(diǎn)：利用復(fù)數(shù)（求導(dǎo)）運(yùn)算的特點(diǎn)可方便地表示速度和加速度。

無(wú)阻尼自由振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解無(wú)阻尼自由振動(dòng)是以平衡位置為中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

振動(dòng)角頻率ω0是系統(tǒng)的固有特性，與初始條件無(wú)關(guān)固有頻率及固有周期說(shuō)明什么？固有頻率ω0稱(chēng)作無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有（角）頻率，單位為

rad/s固有頻率及固有周期固有頻率和周期與初始條件無(wú)關(guān)，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的等時(shí)性。

質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長(zhǎng)；反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，則固有頻率愈高，周期愈短。

單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)初始條件對(duì)初始條件的響應(yīng)能量法保守系統(tǒng) 無(wú)阻尼系統(tǒng)在自由振動(dòng)中任一時(shí)刻的機(jī)械能保持常值—機(jī)械能守恒計(jì)算單自由度保守系統(tǒng)固有頻率的能量法

保守系統(tǒng)振動(dòng)中動(dòng)能與勢(shì)能之和為常數(shù)動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能達(dá)到最大值，將動(dòng)能取最大值（平衡位置）時(shí)的勢(shì)能取作零，則有

能量法（續(xù)1）無(wú)阻尼單度系統(tǒng)系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)最大動(dòng)能系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)最大勢(shì)能能量守恒→能量法（續(xù)2）瑞利法—計(jì)算固有頻率的近似計(jì)算方法（計(jì)算系統(tǒng)的最低固有頻率）先對(duì)具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動(dòng)形式

（假設(shè)振型：通常按靜變形曲線假設(shè)）根據(jù)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)諧規(guī)律計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)形式利用得到系統(tǒng)的（最低階）固有頻率ω0能量法（等效參數(shù)法）所有單自由度黏性阻尼系統(tǒng)都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)選取x為廣義坐標(biāo)線性系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為線性系統(tǒng)的勢(shì)能可表示為任意兩個(gè)位置x1和x2間由粘性阻尼力所作的功可表示為系統(tǒng)的固有頻率能量法練習(xí)題扭轉(zhuǎn)振動(dòng)用角位移作為獨(dú)立座標(biāo)來(lái)表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)的角振動(dòng)問(wèn)題

轉(zhuǎn)動(dòng)方程式

式中J是轉(zhuǎn)動(dòng)物體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，M為施加于轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的力矩，它的方向與角位移一致時(shí)為正

扭振運(yùn)動(dòng)方程及其振動(dòng)解課堂練習(xí)習(xí)題1.8不計(jì)質(zhì)量的等截面懸臂梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，抗彎剛度為EI，自由端有集中質(zhì)量m1和m2。梁靜止時(shí)突然釋放質(zhì)量m1。試求m2的自由振動(dòng)。課堂練習(xí)單度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)練習(xí)題單度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)練習(xí)題參考解答作業(yè)題單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的解為滿足初始條件或自由振動(dòng)的振幅初相角

單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)設(shè)在初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移和速度分別為

代入得〓單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)

由一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體和彈簧組成。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，無(wú)擾動(dòng)時(shí)彈簧不變形，質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài)。以平衡位置O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸x，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)因初始擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，彈簧產(chǎn)生與位移x成正比，方向與位移相反的恢復(fù)力F=-kx作用于質(zhì)點(diǎn)，比例系數(shù)k稱(chēng)作彈簧的剛度系數(shù)，單位為N/m。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程(廣義)坐標(biāo)選取x坐標(biāo)原點(diǎn)：靜平衡位置

根據(jù)牛頓定律列寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)方程

引入?yún)?shù)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)形式〓單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)微分方程令代入上面方程

本征方程（特征方程）

相應(yīng)的本征值

線性無(wú)關(guān)特解

方程的通解為

單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解（續(xù)）歐拉公式單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的通解為

其中C1、C2（或A、θ）為待定常數(shù)，由初始條件決定。

〓或等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例1.1-2以質(zhì)量塊m的水平位移為坐標(biāo)，試計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量。假定彈簧的變形與離固定點(diǎn)的距離ξ成正比，彈簧端點(diǎn)的位移為x。微元長(zhǎng)度dξ的質(zhì)量彈簧距端點(diǎn)ξ截面的變形（位移）彈簧距端點(diǎn)ξ截面的速度解設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρl，微元長(zhǎng)度dξ的動(dòng)能等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微元長(zhǎng)度dξ的動(dòng)能將微元長(zhǎng)度dξ的動(dòng)能在整個(gè)彈簧范圍內(nèi)積分，計(jì)算彈簧的動(dòng)能T1為彈簧質(zhì)量令彈簧質(zhì)量的1/3為彈簧的等效質(zhì)量，則考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)總動(dòng)能為

彈簧的勢(shì)能與彈簧質(zhì)量無(wú)關(guān)仍利用能量守恒公式導(dǎo)出考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)固有頻率為等效參數(shù)法法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例1.1-3以梁端橫向位移為坐標(biāo)，試計(jì)算懸臂梁的等效質(zhì)量

解設(shè)懸臂梁的長(zhǎng)度為l

，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρl

，抗彎剛度為EI其中E和I分別為梁的彈性模量和截面二次矩。自由端集中質(zhì)量m相對(duì)平衡位置的位移為x。利用材料力學(xué)知識(shí)，當(dāng)自由端有靜撓度x時(shí)，距固定端距離為ξ的截面處的靜撓度為將梁的靜撓度曲線作為近似振型，計(jì)算梁的動(dòng)能T1為梁的質(zhì)量梁質(zhì)量的33/140為梁的等效質(zhì)量。系統(tǒng)的固有頻率為剛度系數(shù)為懸臂梁端點(diǎn)的抗彎剛度等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例1.1-4試計(jì)算串聯(lián)和并聯(lián)彈簧的等效剛度。

解討論彈簧剛度為k1，k2

的串聯(lián)彈簧。設(shè)A點(diǎn)的位移x，兩彈簧的伸長(zhǎng)分別為x1和x2，則有

根據(jù)B點(diǎn)的靜力平衡條件列出可以解出彈性勢(shì)能為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)對(duì)于并聯(lián)彈簧，兩彈簧的伸長(zhǎng)均等于A點(diǎn)的位移x

并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為如果A點(diǎn)處固定物體m，則動(dòng)能為

不計(jì)彈簧的質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)圖示系統(tǒng)為一內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)簡(jiǎn)圖。已知搖桿AB對(duì)支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，氣閥BC的質(zhì)量為Mv，閥簧質(zhì)量為Ms，計(jì)算時(shí)可近似地將ms/3集中于B點(diǎn)，挺桿AD的質(zhì)量為mt，求此系統(tǒng)簡(jiǎn)化到閥門(mén)C點(diǎn)的等效質(zhì)量。等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)等效質(zhì)量廣義坐標(biāo)：閥門(mén)C點(diǎn)的垂直位移xc系統(tǒng)動(dòng)能：將系統(tǒng)動(dòng)能表示為廣義坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的二次函數(shù)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)等效質(zhì)量廣義坐標(biāo)：閥門(mén)C點(diǎn)的垂直位移xc系統(tǒng)動(dòng)能：此系統(tǒng)簡(jiǎn)化到閥門(mén)C點(diǎn)的等效質(zhì)量如果閥簧剛度系數(shù)為k此系統(tǒng)簡(jiǎn)化到閥門(mén)C點(diǎn)的等效剛度為k此系統(tǒng)的固有頻率扭轉(zhuǎn)振動(dòng)討論需要用角位移作為獨(dú)立座標(biāo)來(lái)表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)的角振動(dòng)問(wèn)題。在這種情況下，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到轉(zhuǎn)動(dòng)方程式

式中J是轉(zhuǎn)動(dòng)物體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是角加速度，M為施加于轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的力矩，它的方向與角位移一致時(shí)為正。

以扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和復(fù)擺兩種情況為例扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

如圖所示的一根垂直軸，下端固定著一個(gè)水平圓盤(pán)，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。軸的扭轉(zhuǎn)剛度為K。其含義是使軸轉(zhuǎn)動(dòng)一單位轉(zhuǎn)角所需施加的力矩，單位是N·m/rad。對(duì)于一根長(zhǎng)度為，直徑為d的圓軸，根據(jù)材料力學(xué)，它的扭轉(zhuǎn)剛度為

G為材料的剪切彈性模量。軸本身質(zhì)量忽略不計(jì)。

當(dāng)系統(tǒng)受到某種干擾，如在圓盤(pán)平面上加一力偶，然后突然除去，系統(tǒng)便作扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)。如果沒(méi)有阻尼，振動(dòng)將永遠(yuǎn)繼續(xù)下去。設(shè)為圓盤(pán)上任一半徑從它的靜平衡位置量起的角位移，按圖示方向?yàn)檎?。振?dòng)時(shí)圓盤(pán)上受到一個(gè)由圓軸作用的、與方向相反的彈性恢復(fù)力矩

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)得系統(tǒng)扭振的微分方程或式中與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程相比較具有完全相似的微分方程式，可以直接寫(xiě)出其通解

式中A與同樣是兩個(gè)待定常數(shù)，決定于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的初始條件：

一個(gè)單自由度系統(tǒng)的扭振也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。它的固有頻率為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)復(fù)擺

一個(gè)剛體由于本身重力作用而繞某一軸作微擺動(dòng)，稱(chēng)為復(fù)擺（或稱(chēng)物理擺）。轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱(chēng)為擺的懸掛軸（或稱(chēng)懸點(diǎn)）。設(shè)剛體質(zhì)量為m，對(duì)懸點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，重心C至懸點(diǎn)O距離為a。

以表示擺在任意瞬時(shí)偏離垂直平衡位置的角位移，此時(shí)重心C作圓弧運(yùn)動(dòng)，重力的切向分