第四章萬(wàn)有引力第四節(jié)

第四節(jié)萬(wàn)有引力

所有的行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第一定律(軌道定律)補(bǔ)充：開普勒定律

從太陽(yáng)到行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積.第二定律(面積定律)則說(shuō)明：行星離太陽(yáng)近時(shí)速度快，離太陽(yáng)遠(yuǎn)時(shí)速度慢。V1R1=V2R2

行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個(gè)常量.第三定律：（周期定律）注意：比值k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量，與行星無(wú)關(guān)，是只與太陽(yáng)（中心天體）的質(zhì)量有關(guān)的恒量。C太陽(yáng)半長(zhǎng)軸rAB行星一、萬(wàn)有引力定律知識(shí)梳理1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的_____成正比，與它們之間距離r的______成反比．2．表達(dá)式：F＝

，其中G＝___________N·m2/kg2，叫引力常量．要點(diǎn)整合·基礎(chǔ)落實(shí)乘積二次方6.67×10－11著名的“月-地”檢驗(yàn)3．適用條件：公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用．但對(duì)于不能看做質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用是適用的，此時(shí)r是

的距離；另外，對(duì)于一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體和球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用萬(wàn)有引力定律也適用，其中r為

的距離．兩球心間球心到質(zhì)點(diǎn)答案ABD（1）實(shí)驗(yàn)原理：科學(xué)方法——放大法卡文迪許卡文迪許實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)代科技測(cè)得的G值為6.67×10-11

Nm2/kg2補(bǔ)充：引力常量的測(cè)量——扭秤實(shí)驗(yàn)（２）卡文迪許測(cè)得

G值為6.745×10-11

Nm2/kg2（３）卡文迪許扭稱實(shí)驗(yàn)的意義①證明了萬(wàn)有引力的存在，使萬(wàn)有引力定律進(jìn)入了真正實(shí)用的時(shí)代；②開創(chuàng)了微小量測(cè)量的先河，使科學(xué)放大思想得到推廣。注意：若忽略地球的自轉(zhuǎn)，則有：卡文迪許被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”！補(bǔ)充：重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系萬(wàn)有引力（指向地心）分解F向=mω2r（指向所在緯度圓心）G=mg(豎直向下）1.2.緯度增加，F(xiàn)向=mω2r減小，G增加，g也增加。特別地：兩極點(diǎn)：F向=0，赤道上：O1OFF向mgφω不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力。------黃金代換式3.黃金代換式4.重力加速度的計(jì)算方法:g=GMR2補(bǔ)充：人造衛(wèi)星人造衛(wèi)星的軌道（1）地心是橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)或是圓軌道的圓心；（2）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星a向=g軌，故衛(wèi)星處于完全失重。3．人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律

若無(wú)特別說(shuō)明，都認(rèn)為衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：F向＝F萬(wàn)，由此可知：------r越大，T越大------r越大，v越小------r越大，ω越小------r越大，a向越小注意：在同一中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的所有衛(wèi)星的v、ω、T、a向各量都只與軌道半徑r有關(guān)．（1）發(fā)射速度（v發(fā)）：4.人造衛(wèi)星的兩個(gè)速度（2）運(yùn)行速度（即線速度）：衛(wèi)星在軌道上繞行時(shí)所具有的速度，即：V運(yùn)=可見：軌道越高，運(yùn)行速度越小。mM解：對(duì)于靠近地面的衛(wèi)星，可以認(rèn)為此時(shí)的r近似等于地球半徑R，則由萬(wàn)有引力定律和向心力公式有：

這就是人造地球衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的最小發(fā)射速度，也是最大的運(yùn)行速度，也叫做第一宇宙速度。問題：繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星的速度是多少呢？二、宇宙速度1.第一宇宙速度：（v1）推導(dǎo)：已知天體表面重力加速為g，自身半徑為R，對(duì)m由F向=F萬(wàn)=mg

可得：第一宇宙速度的另外一種推導(dǎo)方法：對(duì)地球，R=6400km,g=9.8m/s2mM2.第二宇宙速度v2：（也叫脫離速度）3.第三宇宙速度v3：（也叫逃逸速度）v2=11.2km/sv3=16.7km/s三、近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星（詳見《能》P42）1．近地衛(wèi)星所謂近地衛(wèi)星指的是衛(wèi)星的軌道半徑等于地球的半徑，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是萬(wàn)有引力．它的運(yùn)動(dòng)速度為第一宇宙速度，它是衛(wèi)星的最大運(yùn)行速度．2．同步衛(wèi)星同步衛(wèi)星指在赤道平面內(nèi)，以和地球自轉(zhuǎn)角速度相同的角速度繞地球運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星．同步衛(wèi)星又叫通訊衛(wèi)星，同步衛(wèi)星有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致．(2)同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，T＝24h.(3)同步衛(wèi)星的運(yùn)行角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度．(4)同步衛(wèi)星的軌道一定與赤道平面共面．如圖所示，假設(shè)衛(wèi)星在軌道B跟著地球的自轉(zhuǎn)同步做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)λ囊引的一個(gè)分力F1提供，由于另一個(gè)分力F2的作用將使衛(wèi)星軌道靠向赤道，故只有在赤道上空，同步衛(wèi)星才可能在穩(wěn)定的軌道上運(yùn)行，所以所有同步衛(wèi)星只能在赤道正上方，且在一定高度處．（5）同步衛(wèi)星的高度固定不變（6）同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度大小不變。(1)所有同步衛(wèi)星的周期T、軌道半徑r、環(huán)繞速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同．(2)所有國(guó)家發(fā)射的同步衛(wèi)星的軌道都與赤道為同心圓，它們都在同一軌道上運(yùn)動(dòng)且都相對(duì)靜止．注意：二、衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律及宇宙速度知識(shí)梳理1．地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)(1)軌道平面一定：軌道平面和

平面重合．(2)周期一定：與地球

周期相同，即T＝24h＝86400s.(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同．赤道自轉(zhuǎn)一致2．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)

由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于

，其運(yùn)行線速度約為___km/s.(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過(guò)

．南北兩極地球的半徑7.9地球的球心3．三種宇宙速度比較宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度___這是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最小發(fā)射速度第二宇宙速度___這是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度___這是物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度7.911.216.7自主檢測(cè)2．(2014·天津理綜)研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)．假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來(lái)人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比A．距地面的高度變大B．向心加速度變大C．線速度變大

D．角速度變大A考點(diǎn)突破·規(guī)律總結(jié)[例1]

(2013·大綱全國(guó))

“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為A．8.1×1010kg

B．7.4×1013kgC．5.4×1019kgD．7.4×1022kgD1．(2015·合肥模擬)1798年，英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許測(cè)出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質(zhì)量的人．若已知引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時(shí)間T2(地球公轉(zhuǎn)的周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離L2，可估算出◎變式訓(xùn)練A比較內(nèi)容赤道表面的物體近地衛(wèi)星同步衛(wèi)星向心力來(lái)源萬(wàn)有引力的分力萬(wàn)有引力向心力方向指向地心重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系重力略小于萬(wàn)有引力重力等于萬(wàn)有引力4.四個(gè)關(guān)系“四個(gè)關(guān)系”是指人造衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度、周期與軌道半徑的關(guān)系．[例2]

(2014·涼山診斷)“嫦娥二號(hào)”環(huán)月飛行的高度為100km，所探測(cè)到的有關(guān)月球的數(shù)據(jù)將比環(huán)月飛行高度為200km的“嫦娥一號(hào)”更加詳實(shí)．若兩顆衛(wèi)星環(huán)月的運(yùn)行均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道如圖所示．則A．“嫦娥二號(hào)”環(huán)月運(yùn)行的周期比“嫦娥一號(hào)”大B．“嫦娥二號(hào)”環(huán)月運(yùn)行的線速度比“嫦娥一號(hào)”小C．“嫦娥二號(hào)”環(huán)月運(yùn)行的向心加速度比“嫦娥一號(hào)”大D．“嫦娥二號(hào)”環(huán)月運(yùn)行的向心力與“嫦娥一號(hào)”相等CC[例4]

(2014·安徽聯(lián)考)北京時(shí)間2012年10月25日23時(shí)33分，中國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)丙”運(yùn)載火箭，成功將第16顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射升空并送人預(yù)定轉(zhuǎn)移軌道．第16顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星是一顆地球靜止軌道衛(wèi)星，它將與先期發(fā)射的15顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星組網(wǎng)運(yùn)行，形成區(qū)域服務(wù)能力．根據(jù)計(jì)劃，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)將于2013年初向亞太大部分地區(qū)提供服務(wù)．下列關(guān)于這顆衛(wèi)星的說(shuō)法正確的是A．該衛(wèi)星正常運(yùn)行時(shí)一定處于赤道正上方，角速度小于地球自轉(zhuǎn)角速度B．該衛(wèi)星正常運(yùn)行時(shí)軌道也可以經(jīng)過(guò)地球兩極C．該衛(wèi)星的速度小于第一宇宙速度D．如果知道該衛(wèi)星的周期與軌道半徑可以計(jì)算出其質(zhì)量C2．(2014·廣東理綜)如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球相對(duì)飛行器的張角為θ，下列說(shuō)法正確的是A．軌道半徑越大，周期越長(zhǎng)B．軌道半徑越大，速度越大C．若測(cè)得周期和張角，可得到星球的平均密度D．若測(cè)得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度◎變式訓(xùn)練AC2．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間內(nèi)啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進(jìn)入預(yù)定的軌道．如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，可以分多過(guò)程完成：(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ；(2)使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v1，變軌時(shí)在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2，使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ；(3)衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3，此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．[例5]

北京航天飛行控制中心對(duì)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星實(shí)施多次變軌控制并獲得成功．首次變軌是在衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)實(shí)施的，緊隨其后進(jìn)行的3次變軌均在近地點(diǎn)實(shí)施．“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星的首次變軌之所以選擇在遠(yuǎn)地點(diǎn)實(shí)施，是為了抬高衛(wèi)星近地點(diǎn)的軌道高度．同樣的道理，要抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)的高度就需要在近地點(diǎn)實(shí)施變軌．圖為“嫦娥二號(hào)”某次在近地點(diǎn)A由軌道1變軌為軌道2的示意圖，下列說(shuō)法中正確的是A．“嫦娥二號(hào)”在軌道1的A點(diǎn)處應(yīng)點(diǎn)火加速B．“嫦娥二號(hào)”在軌道1

A點(diǎn)處的速度比在軌道2的點(diǎn)A處的速度大C．“嫦娥二號(hào)”在軌道1

A點(diǎn)處的加速度比在軌道2的A點(diǎn)處的加速度大D．“嫦娥二號(hào)”在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能大A3．2013年12月14日21時(shí)11分“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器成功落月，中國(guó)成為世界上第三個(gè)有能力獨(dú)立自主實(shí)施月球軟著陸的國(guó)家．假設(shè)月球半徑為R.月球表面的重力加速度為g0.飛船沿距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)，點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)．下列判斷正確的是◎變式訓(xùn)練B思維提升·滿分培優(yōu)構(gòu)建物理模型7．雙星系統(tǒng)模型(1)雙星系統(tǒng)模型的特點(diǎn)①兩星都繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故兩星的角速度、周期相等．②兩星之間的萬(wàn)有引力提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以它們的向心力大小相等；③兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，即r1＋r2＝L.(2)雙星系統(tǒng)模型的三大規(guī)律①雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同．②速度及軌道半徑均與質(zhì)量成反比．③雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無(wú)關(guān)．[例6]

(2014·唐山模擬)宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬(wàn)有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)．在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)．設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．若AO＞OB，則A．星球A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量B．星球A的線速度一定大于B的線速度C．雙星間距離一定，雙星的質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大D．雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大BD4．(2013·山東理綜)雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為◎變式訓(xùn)練B1．長(zhǎng)期以來(lái)“卡戎星(Charon)”被認(rèn)為是冥王星唯一的衛(wèi)星，它的公轉(zhuǎn)軌道半徑r1＝19600km，公轉(zhuǎn)周期T1＝

6.39天.2006年3月，天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)兩顆冥王星的小衛(wèi)星，其中一顆的公轉(zhuǎn)軌道半徑r2＝48000km，則它的公轉(zhuǎn)周期T2最接近于A