統(tǒng)計(jì)物理概論

熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理授課教師楊宏春篇序研究熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及其對(duì)物質(zhì)宏觀性質(zhì)的影響研究物質(zhì)熱運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)形態(tài)之間的轉(zhuǎn)化規(guī)律1熱學(xué)的研究對(duì)象2熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的研究方法(1)統(tǒng)計(jì)物理研究方法從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，依據(jù)每個(gè)粒子所遵循的力學(xué)規(guī)律，用統(tǒng)計(jì)的方法研究宏觀物體的熱力學(xué)性質(zhì)優(yōu)點(diǎn)：深入熱現(xiàn)象本質(zhì)，能解釋決定宏觀性質(zhì)的微觀因素，物理圖像清晰缺點(diǎn)：對(duì)理想模型定量統(tǒng)計(jì)，常帶有近似色彩，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定誤差篇序(2)熱力學(xué)研究方法由觀察和實(shí)驗(yàn)總結(jié)出熱力學(xué)定律；用邏輯推理方法研究物體的熱學(xué)性質(zhì)優(yōu)點(diǎn)：給出結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合較好，可用來驗(yàn)證微觀理論的正確性缺點(diǎn)：常帶有經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，不能從本質(zhì)上闡述熱現(xiàn)象的物理實(shí)質(zhì)課堂討論與課后作業(yè)討論高中物理“熱學(xué)”部分中，哪些內(nèi)容是典型的統(tǒng)計(jì)物理研究方法，哪些內(nèi)容是典型的熱力學(xué)研究方法(2)查閱《物理學(xué)史》，結(jié)合熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的兩種研究方法，討論卡諾在建立熱力學(xué)體系中的貢獻(xiàn)及局限第七章統(tǒng)計(jì)物理初步章內(nèi)容結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)物理初步章內(nèi)容結(jié)構(gòu)(1)熱現(xiàn)象物理本質(zhì)7.1氣體動(dòng)理論的基本觀念(2)模型與參量7.2平衡態(tài)、描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型(3)統(tǒng)計(jì)方法案例7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀本質(zhì)7.4能均分定理(4)統(tǒng)計(jì)物理處理熱力學(xué)問題的普遍方法7.5麥克斯維速度與速率分布7.6玻爾茲曼分布7.1氣體分子動(dòng)理論7.1氣體動(dòng)理論的基本觀念(2)分子在不停地做無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)分子、原子微粒無規(guī)則運(yùn)動(dòng)遵守經(jīng)典力學(xué)或量子力學(xué)規(guī)律砷化鎵表面砷原子的排列(3)分子之間存在相互作用力(分子相互作用的四參數(shù)方程)為正參數(shù)數(shù)，因不同材料而不同(1)物質(zhì)是由大量分子組成原子、分子線度數(shù)量級(jí)10-10m物質(zhì)物態(tài)由分子間相互作用力和分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)兩因素決定7.1氣體分子動(dòng)理論課后作業(yè)查閱文獻(xiàn)，結(jié)合“熱質(zhì)說”觀點(diǎn)，討論“氣體分子動(dòng)理論”在統(tǒng)計(jì)

物理建立過程中的地位和作用(2)查閱由四參數(shù)方程研究液體物態(tài)的論文，并撰寫文獻(xiàn)閱讀報(bào)告7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型(1)基本概念熱力學(xué)系統(tǒng)

(系統(tǒng))：給定范圍內(nèi)，由大量微觀粒子所組成的宏觀客體系統(tǒng)的外界(外界)：能與所研究的熱力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生相互作用的其它物體平衡態(tài)：不受外界條件影響，系統(tǒng)所有可觀察宏觀物理量不隨時(shí)間變化7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型平衡態(tài)概念的討論

不受外界條件影響：不發(fā)生物質(zhì)與能量交換所有可觀察物理量不隨時(shí)間變化：通常不存在“流”平衡態(tài)是動(dòng)態(tài)平衡：存在漲落作業(yè)：查閱關(guān)于孤立系統(tǒng)熱力學(xué)漲落現(xiàn)象的文獻(xiàn)，并撰寫文獻(xiàn)閱讀報(bào)告討論熱力學(xué)穩(wěn)定態(tài)和平衡態(tài)之間的區(qū)別與聯(lián)系(2)描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型A描述熱力學(xué)系統(tǒng)的微觀參量速度參量動(dòng)量參量能量參量質(zhì)量參量B描述熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀參量宏觀參量：確定平衡態(tài)的宏觀性質(zhì)的參量幾何參量：如體積V力學(xué)參量：如氣體壓強(qiáng)p化學(xué)參量：如混合氣體各化學(xué)組分的質(zhì)量和摩爾數(shù)等電磁參量：如電場、磁場強(qiáng)度等簡單系統(tǒng)(或pV系統(tǒng))：不涉及化學(xué)反應(yīng)和電磁相互作用的系統(tǒng)C溫度參量與溫標(biāo)上述所有宏觀熱力學(xué)參量都不直接與熱現(xiàn)象相關(guān)溫度表征了平衡態(tài)的內(nèi)稟屬性——熱力學(xué)第零定律I引入溫度參量的原因II引入溫度參量的實(shí)驗(yàn)依據(jù)——熱力學(xué)第零定律7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型如果熱力學(xué)系統(tǒng)A、B與C同時(shí)處于平衡態(tài)，則A與B也處于平衡態(tài)III溫度參量的定量引入?yún)ⅲ骸稛釋W(xué)》李椿章立源錢尚武高等教育出版社P33(3)溫標(biāo)A溫標(biāo)：溫度的數(shù)值表示法B建立溫標(biāo)的三要素測溫物質(zhì)：被選擇用來測量其它系統(tǒng)溫度的物質(zhì)測溫屬性：利用測溫物質(zhì)某種隨溫度變化的屬性來標(biāo)度其它系統(tǒng)的溫度固定點(diǎn)：選擇測溫屬性的某特殊平衡態(tài)作測溫?cái)?shù)值的固定點(diǎn)7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型C溫標(biāo)的分類經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)，熱力學(xué)溫標(biāo)，國際溫標(biāo)作業(yè)：查閱資料，給出上述各類溫標(biāo)的定義，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)作簡要評(píng)述7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型(4)理想氣體模型定義1：忽略分子間相互作用力的氣體模型定義2：嚴(yán)格遵守理想氣體狀態(tài)方程的氣體理想氣體狀態(tài)方程A理想氣體模型的微觀假設(shè)

分子本身的線度與分子之間的平均距離相比可以忽略不計(jì)

除碰撞的瞬間外，分子之間及分子與器壁之間都無相互作用B平衡態(tài)下理想氣體的基本假設(shè)

分子之間以及分子與器壁之間的碰撞是完全彈性碰撞

容器任一位置處單位體積內(nèi)的分子數(shù)不比其它位置占優(yōu)勢分子沿任意方向的運(yùn)動(dòng)不比其它方向占優(yōu)勢7.2描述熱力學(xué)系統(tǒng)的參量與理想統(tǒng)計(jì)模型課后作業(yè)(1)在理想氣體模型中，如果要考慮分子自身尺寸，請(qǐng)修正狀態(tài)方程(2)在理想氣體模型中，如果要同時(shí)考慮分子尺寸和相互作用力，請(qǐng)修正狀態(tài)方程7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)(1)統(tǒng)計(jì)規(guī)律7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)A伽爾頓實(shí)驗(yàn)I實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象少量小球分別下落，分布在各格小球數(shù)量具有偶然性大量小球單個(gè)下落，分布在各格小球數(shù)量基本相同同時(shí)落下許多剛性小球時(shí)，分布在各格小球數(shù)量基本相同在一定條件下，大量偶然事件的集合，表現(xiàn)為相同的分布結(jié)果II實(shí)驗(yàn)結(jié)論在一定條件下，大量偶然事件的集合，表現(xiàn)為相同的分布結(jié)果的規(guī)律III統(tǒng)計(jì)規(guī)律7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)(2)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述A概率：大量偶然事件中，出現(xiàn)某一物理結(jié)果的可能性N為所有的偶然事件數(shù)，NA為出現(xiàn)物理結(jié)果A

的偶然事件數(shù)討論

只有對(duì)大量偶然物理事件統(tǒng)計(jì)時(shí)，才能使用幾率的概念

所有物理結(jié)果的幾率和等于1，即稱幾率滿足歸一化條件B物理量的統(tǒng)計(jì)平均值定義：每一可能事件的物理量值與其對(duì)應(yīng)幾率的乘積7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)(3)壓強(qiáng)的微觀實(shí)質(zhì)A壓強(qiáng)的微觀實(shí)質(zhì)由于大量分子與器壁碰撞而對(duì)器壁施以作用力的宏觀統(tǒng)計(jì)結(jié)果課堂討論：設(shè)熱力學(xué)系統(tǒng)中微觀粒子處于物理參量

的幾率分布函數(shù)為

f(x)，請(qǐng)給出物理參量的平均值計(jì)算公式取器壁的一個(gè)面積微元，設(shè)單位體積z方向速率為

viz

的氣體分子數(shù)為ni，氣體分子與器壁發(fā)生彈性碰撞的作用時(shí)間為t

B壓強(qiáng)公式7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)一個(gè)z

方向速率為

viz

氣體分子對(duì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)為t

時(shí)間范圍內(nèi)，所有速率為viz的分子對(duì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)它們對(duì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)為t

時(shí)間范圍內(nèi)能夠與器壁碰撞的分子數(shù)為z方向能與器壁碰撞的各種速率的分子對(duì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)為7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)考慮到平衡態(tài)下沿各方向氣體分子運(yùn)動(dòng)相同(平衡態(tài)下理想氣體模型)于是記分子的平均平動(dòng)能課堂討論——壓強(qiáng)的微觀實(shí)質(zhì)

壓強(qiáng)微觀實(shí)質(zhì)公式體現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)物理研究方法，以及研究結(jié)果特征

影響理想氣體壓強(qiáng)的參量：分子數(shù)密度、分子的平均平動(dòng)能由壓強(qiáng)的微觀實(shí)質(zhì)推導(dǎo)溫度的微觀實(shí)質(zhì)7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)(4)溫度的微觀實(shí)質(zhì)A改寫理想氣體狀態(tài)方程定義摩爾質(zhì)量理想氣體狀態(tài)方程可改寫為定義玻爾茲曼常數(shù)(JK-1)mol-1B溫度的微觀實(shí)質(zhì)7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)壓強(qiáng)的微觀實(shí)質(zhì)理想氣體狀態(tài)方程課堂討論1：溫度的微觀實(shí)質(zhì)及其數(shù)學(xué)公式推演方法課堂討論2：定量討論溫度與分子平均平均運(yùn)動(dòng)劇烈程度之間的關(guān)系A(chǔ)對(duì)單原子分子一方面另一方面7.3平衡態(tài)下理想氣體壓強(qiáng)、溫度的微觀實(shí)質(zhì)結(jié)論：單原子氣體分子在每一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方向上獲得1/2kT

的能量問題：對(duì)多原子分子，是否每一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方向都獲得1/2kT

的能量?考慮平衡態(tài)下理想氣體模型假設(shè)結(jié)論：多原子氣體分子在每一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方向上獲得1/2kT

的能量問題：熱力學(xué)系統(tǒng)能量應(yīng)該可以由氣體分子獨(dú)立運(yùn)動(dòng)維數(shù)確定？！A單原子分子7.4能量均分定理與理想氣體內(nèi)能(1)分子運(yùn)動(dòng)的自由度7.4能量均分定理與理想氣體內(nèi)能分子運(yùn)動(dòng)的自由度：確切描述分子運(yùn)動(dòng)所需要的最少獨(dú)立參量數(shù)確定單原子空間平動(dòng)位置需3

個(gè)自由度B雙原子分子雙原子分子質(zhì)心位置，3

個(gè)平動(dòng)自由度雙原子質(zhì)心連線轉(zhuǎn)軸的空間位置，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度雙原子沿質(zhì)心連線的振動(dòng)位置，1個(gè)振動(dòng)自由度C多原子分子7.4能量均分定理與理想氣體內(nèi)能質(zhì)心空間位置，3個(gè)平動(dòng)自由度多原子過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的空間轉(zhuǎn)動(dòng)位置，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度每個(gè)原子繞過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的空間轉(zhuǎn)動(dòng)位置，1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度多原子分子沿每個(gè)質(zhì)心連線的振動(dòng)位置，3n-6個(gè)振動(dòng)自由度(2)能量按自由度均分定理理想氣體的能量按自由度均分，每一自由度上獲取的能量為其中，t：平動(dòng)自由度，r：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s

振動(dòng)自由度一個(gè)振動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)一個(gè)振動(dòng)勢能與動(dòng)能，其能量為自由度數(shù)的2

倍(3)理想氣體的內(nèi)能7.4能量均分定理與理想氣體內(nèi)能A理想氣體的內(nèi)能理想氣體的動(dòng)能、振動(dòng)勢能、分子間相互作用勢能之和B理想氣體的內(nèi)能公式例7.4.1

1mol理想氣體的內(nèi)能單原子氣體分子剛性雙原子氣體非剛性雙原子氣體剛性多原子氣體7.4能量均分定理與理想氣體內(nèi)能例7.4.2：水蒸汽分解為同溫度的氫氣與氧氣，即求：此過程中內(nèi)能的增量(不記振動(dòng)自由度)解：H2O，O2，H2分子的自由度分別為6，5，51molH2O的內(nèi)能1molH2的內(nèi)能1molO2的內(nèi)能內(nèi)能增量7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律(1)葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)A實(shí)驗(yàn)方案與實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)O：鉍蒸汽源，蒸汽壓100pa，溫度可測C：有固定轉(zhuǎn)軸的滾筒，半徑r=9.4cm，=500

轉(zhuǎn)/分，真空度10-3pa

課堂討論

為何采用鉍蒸汽源？固定轉(zhuǎn)軸的滾筒半徑與轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)應(yīng)考慮哪些因素？真空度設(shè)計(jì)應(yīng)主要考慮哪些因素？鉍蒸汽在G板沉積厚度如何測量？整個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案可能帶來哪些系統(tǒng)誤差？7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律B實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)C不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鉍蒸汽沉積在p

處C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過s3的鉍蒸汽到達(dá)位置與r、v、有關(guān)等寬窄帶微元厚度比表示相應(yīng)速率區(qū)間的分子數(shù)比設(shè)滾筒的直徑為

d，則p

的位置滿足C實(shí)驗(yàn)結(jié)論給定條件下，微元速率區(qū)間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比值確定7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律(2)麥克斯維速率分布規(guī)律設(shè)氣體總分子數(shù)為

N，處在速率v~v+dv的分子數(shù)為N，則f(v)物理意義：v~v+dv區(qū)間的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比值或幾率A麥克斯維速率分布函數(shù)幾率分布函數(shù)的歸一化條件7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律任意物理量

的平均值B溫度對(duì)分布函數(shù)的影響具有很大或很小速率的分子數(shù)很少溫度升高，系統(tǒng)的平均平動(dòng)能增大假設(shè)葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)(如圖)中氣體分子帶電，且其速度分布滿足麥克斯維分布，反向偏壓V1，正向偏壓V2，定量討論G

中電流隨帶電氣體分子溫度的變化規(guī)律，并將研究結(jié)果與弗蘭克—赫茲實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果(查閱文獻(xiàn))比較課后作業(yè)7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律(3)三種速率計(jì)算A最可幾速率B平均速率7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律C方均根速率例7.5.1：用氣體總分子數(shù)N，速率v和速率分布函數(shù)f(v)

表示以下各量A速率大于v0的分子數(shù)B速率大于v0的那些分子的平均速率C多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于v0的幾率例7.5.2

設(shè)2(x)

代表幾率函數(shù)，請(qǐng)給出幾率歸一后的(x)表達(dá)式7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律解BC

某分子處在某速率區(qū)間的幾率，等于該區(qū)間分子數(shù)與總分子數(shù)的比值A(chǔ)解設(shè)由幾率歸一條件，歸一化后(x)表達(dá)式(x)為例7.5.3

采用坐標(biāo)空間變換方法，由麥克斯維速率分布得到速度分布公式7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律解：在如圖所示速度空間中采用笛卡爾坐標(biāo)，“體積”微元采用球坐標(biāo)，“體積”微元分子速度關(guān)于，對(duì)稱麥克斯維速率分布麥克斯維速度分布函數(shù)為7.5麥克斯維氣體速率分布規(guī)律例7.5.4

存在重力場下的麥克斯維分布公式解