自控原理第四版第6章

第六章線性系統(tǒng)的校正方法第六章線性系統(tǒng)的校正方法6.1校正的基本概念

6.2線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律6.3常用校正裝置及其特性

6.4串聯(lián)校正

6.5反饋校正6.6復(fù)合校正

小結(jié)6.1校正的基本概念在研究系統(tǒng)校正裝置時,為了方便,將系統(tǒng)中除了校正裝置以外的部分,包括被控對象及控制器的基本組成部分一起,稱為“原有部分”(亦稱固有部分或不可變部分)。因此,控制系統(tǒng)的校正,就是按給定的原有部分和性能指標(biāo),設(shè)計校正裝置。校正中常用的性能指標(biāo)包括穩(wěn)態(tài)精度、相對穩(wěn)定裕量以及響應(yīng)速度等。(1)穩(wěn)態(tài)精度指標(biāo):包括靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp,靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka。(2)穩(wěn)定裕量指標(biāo):通常希望相角裕量γ=45°~60°,增益裕度Kg≥10dB,諧振峰值Mr＝1.1～1.4,超調(diào)量σ＜25%,阻尼比ζ＝0.4～0.7。

(3)響應(yīng)速度指標(biāo):包括上升時間tr,調(diào)整時間ts,剪切頻率ωc,帶寬BW,諧振頻率ωr。

對于二階系統(tǒng),ζ、γ、σ和Mr之間有嚴(yán)格的定量關(guān)系,如等等,只要考慮得當(dāng),這些關(guān)系亦可用來指導(dǎo)高階系統(tǒng)的設(shè)計。校正裝置接入系統(tǒng)的形式主要有兩種:一種是校正裝置與被校正對象相串聯(lián),如圖6-1(a)所示，這種校正方式稱為串聯(lián)校正；另一種是從被校正對象引出反饋信號,與被校正對象或其一部分構(gòu)成局部反饋回路,并在局部反饋回路內(nèi)設(shè)置校正裝置，這種校正方式稱為局部反饋校正或并聯(lián)校正,如圖6-1(b)所示。為提高性能,也常采用如圖6-1(c)所示的串聯(lián)反饋校正。圖6-1(d)所示的稱為前饋補(bǔ)償或前饋校正。在此,反饋控制與前饋控制并用,所以也稱為復(fù)合控制系統(tǒng)。圖6-1校正裝置在控制系統(tǒng)中的位置選擇何種校正裝置,主要取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特點、采用的元件、信號的性質(zhì)、經(jīng)濟(jì)條件及設(shè)計者的經(jīng)驗等。一般來說,串聯(lián)校正簡單,較易實現(xiàn)。目前多采用有源校正網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成串聯(lián)校正裝置。串聯(lián)校正裝置常設(shè)于系統(tǒng)前向通道的能量較低的部位,以減少功率損耗。反饋校正的信號是從高功率點傳向低功率點,故通常不需采用有源元件。采用反饋校正還可以改造被反饋包圍的環(huán)節(jié)的特性,抑制這些環(huán)節(jié)參數(shù)波動或非線性因素對系統(tǒng)性能的不良影響。復(fù)合控制則對于既要求穩(wěn)態(tài)誤差小,同時又要求暫態(tài)響應(yīng)平穩(wěn)快速的系統(tǒng)尤為適用。綜上所述,控制系統(tǒng)的校正不會像系統(tǒng)分析那樣只有單一答案,也就是說,能夠滿足性能指標(biāo)的校正方案不是唯一的。在進(jìn)行校正時還應(yīng)注意,性能指標(biāo)不是越高越好,因為性能指標(biāo)太高會提高成本。另外當(dāng)所要求的各項指標(biāo)發(fā)生矛盾時,需要折衷處理。6.2線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律圖6-2控制系統(tǒng)

1.比例(P)控制規(guī)律

具有比例控制規(guī)律的控制器,稱為比例(P)控制器，則圖6-2中的Gc(s)＝Kp,稱為比例控制器增益。比例控制器實質(zhì)上是一個具有可調(diào)增益的放大器。在信號變換過程中,比例控制器只改變信號的增益而不影響其相位。在串聯(lián)校正中,加大控制器增益Kp,可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益,減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,從而提高系統(tǒng)的控制精度,但會降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此,在系統(tǒng)校正設(shè)計中,很少單獨使用比例控制規(guī)律。

2.比例-微分(PD)控制規(guī)律具有比例-微分控制規(guī)律的控制器,稱為比例-微分(PD)控制器，則圖6-2中的Gc(s)＝Kp(1＋Tds),其中Kp為比例系數(shù),Td為微分時間常數(shù)。Kp和Td都是可調(diào)的參數(shù)。PD控制器中的微分控制規(guī)律,能反應(yīng)輸入信號的變化趨勢,產(chǎn)生有效的早期修正信號,以增加系統(tǒng)的阻尼程度,從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在串聯(lián)校正中,可使系統(tǒng)增加一個－1/Td的開環(huán)零點,使系統(tǒng)的相角裕量增加,因而有助于系統(tǒng)動態(tài)性能的改善。圖6-3比例-微分控制系統(tǒng)

例6-1設(shè)比例-微分控制系統(tǒng)如圖6-3所示,試分析PD控制器對系統(tǒng)性能的影響。

解無PD控制器時,系統(tǒng)的特征方程為Js2+1=0顯然,系統(tǒng)的阻尼比等于零,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),即實際上的不穩(wěn)定狀態(tài)。接入PD控制器后,系統(tǒng)的特征方程為Js2+KpTds+Kp=0其阻尼比 ,因此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。需要注意的是,因為微分控制作用只對動態(tài)過程起作用,而對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響,且對系統(tǒng)噪聲非常敏感,所以單一的微分控制器在任何情況下都不宜與被控對象串聯(lián)起來單獨使用。通常,微分控制器總是與比例控制器或比例-積分控制器結(jié)合起來,構(gòu)成組合的PD或PID控制器,應(yīng)用于實際的控制系統(tǒng)。

3.積分(I)控制規(guī)律具有積分控制規(guī)律的控制器,稱為積分(I)控制器。則圖6-2中的Gc(s)＝1/(Kis),其中Ki為可調(diào)比例系數(shù)。由于積分控制器的積分作用,當(dāng)輸入信號消失后,輸出信號有可能是一個不為零的常量。在串聯(lián)校正時,采用積分控制器可以提高系統(tǒng)的型別(Ⅰ型系統(tǒng),Ⅱ型系統(tǒng)等),有利于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的提高,但積分控制使系統(tǒng)增加了一個位于原點的開環(huán)極點,使信號產(chǎn)生90°的相角滯后,對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。因此,在控制系統(tǒng)的校正設(shè)計中,通常不宜采用單一的積分控制器。

4.比例-積分(PI)控制規(guī)律具有比例-積分控制規(guī)律的控制器,稱為比例-積分(PI)控制器。則圖6-2中的Gc(s)＝Kp［1＋1/(Tis)］,其中Kp為可調(diào)比例系數(shù),Ti為可調(diào)積分時間常數(shù)。在串聯(lián)校正中,PI控制器相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加一個位于原點的開環(huán)極點,同時也增加了一個位于s左半平面的開環(huán)零點。增加的極點可以提高系統(tǒng)的型別，以消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能;而增加的負(fù)實零點則用來減小系統(tǒng)的阻尼程度,緩和PI控制器極點對系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)過程產(chǎn)生的不利影響。只要積分時間常數(shù)Ti足夠大,PI控制器對系統(tǒng)穩(wěn)定性的不利影響可大為減弱。在實際控制系統(tǒng)中,PI控制器主要用來改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。

例6-2設(shè)比例-積分控制系統(tǒng)如圖6-4所示,試分析PI控制器對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的改善作用。圖6-4比例-積分控制系統(tǒng)解接入PI控制器后,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為可見,系統(tǒng)由原來的Ⅰ型系統(tǒng)提高到Ⅱ型系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入信號為單位斜坡函數(shù),則無PI控制器時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為1/K;接入PI控制器后,穩(wěn)態(tài)誤差為零。表明Ⅰ型系統(tǒng)采用PI控制器后,可以消除系統(tǒng)對斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差,控制準(zhǔn)確度大為改善。采用PI控制器后,系統(tǒng)的特征方程為其中,參數(shù)T,Ti,K,Kp都是正數(shù)。由勞斯判據(jù)可知,Ti·KKpTi＞TTi·KKp,即調(diào)整PI控制器的積分時間常數(shù)Ti,使之大于被控對象的時間常數(shù)T,可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5.比例-積分-微分(PID)控制規(guī)律具有比例-積分-微分控制規(guī)律的控制器,稱為比例-積分-微分(PID)控制器。則圖6-2中的Gc(s)=Kp［1+1/(Tis)+Tds］。

若4Td/Ti＜1,則式中,可見,當(dāng)利用PID控制器進(jìn)行串聯(lián)校正時,除可使系統(tǒng)的型別提高一級外,還將提供兩個負(fù)實零點。與PI控制器相比,PID控制器除了同樣具有提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能的優(yōu)點外,還多提供一個負(fù)實零點,從而在提高系統(tǒng)的動態(tài)性能方面,具有更大的優(yōu)越性。因此,在工業(yè)過程控制系統(tǒng)中,廣泛使用PID控制器。PID控制器各部分參數(shù)的選擇,將在現(xiàn)場調(diào)試時最后確定。6.3常用校正裝置及其特性6.3.1相位超前校正裝置

相位超前校正裝置可用如圖6-5所示的電網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn),圖6-5(a)是由無源阻容元件組成的。設(shè)此網(wǎng)絡(luò)輸入信號源的內(nèi)阻為零,輸出端的負(fù)載阻抗為無窮大,則此相位超前校正裝置的傳遞函數(shù)將是式中,α=(R1+R2)/R2＞1,T=R1R2C/(R1+R2)。圖6-5相位超前校正裝置對于圖6-5(b)的有源校正裝置,其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為(6.2)式中,K=Rf/R1,α=(R1+R2)/R2＞1,T=R2C。負(fù)號是因為采用了負(fù)反饋的運放,如果再串聯(lián)一只反相放大器即可消除負(fù)號。由式(6.1)和式(6.2)可知,在采用相位超前校正裝置時,系統(tǒng)的開環(huán)增益會有α(或1/K)倍的衰減,為此,用放大倍數(shù)α(或1/K)的附加放大器予以補(bǔ)償,經(jīng)補(bǔ)償后,其頻率特性為(6.3)其伯德圖如圖6-6所示，程序如下：bode(［101］,［11］)其幅頻特性具有正斜率段,相頻特性具有正相移。正相移表明,校正網(wǎng)絡(luò)在正弦信號作用下的正弦穩(wěn)態(tài)輸出信號,在相位上超前于輸入信號,所以稱為超前校正裝置或超前網(wǎng)絡(luò)。圖6-6相位超前校正裝置的伯德圖相位超前網(wǎng)絡(luò)的相角可用下式計算：(6.4)利用dφc/dω=0的條件,可以求出最大超前相角的頻率為(6.5)上式表明,ωm是頻率特性的兩個交接頻率的幾何中心。將式(6.5)代入式(6.4)可得到(6.6)由上式可得(6.7)另外,容易看出在ωm點有L(ωm)=(20lgα)/2=10lgα。在選擇α的數(shù)值時,需要考慮系統(tǒng)的高頻噪聲。超前校正裝置是一個高通濾波器,而噪聲的一個重要特點是其頻率要高于控制信號的頻率,α值過大對抑制系統(tǒng)噪聲不利。為了保持較高的系統(tǒng)信噪比,一般實際中選用的α不大于14,此時φm≈60°。

超前校正的主要作用是產(chǎn)生超前角,可以用它部分地補(bǔ)償被校正對象在截止頻率ωc附近的相角遲后,以提高系統(tǒng)的相角裕度,改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。上節(jié)所講的PD控制器也是一種超前校正裝置。6.3.2相位遲后校正裝置相位遲后校正裝置可用如圖6-7所示的電氣網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn),圖6-7(a)是由RC無源網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的。假設(shè)輸入信號源的內(nèi)阻為零,輸出負(fù)載阻抗為無窮大,則此相位遲后校正裝置的傳遞函數(shù)是(6.8)式中β=(R1+R2)/R2＞1,T=R2C。對于圖6-7(b)的有源校正裝置,其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為(6.9)式中，K=(R2+R3)/R1,β=(R2+R3)/R2＞1,T=R2R3/(R2+R3)C。圖6-7相位遲后校正裝置相位遲后校正裝置的頻率特性為(6.10)其伯德圖如圖6-8所示，程序如下：bode(［11］,［101］)由于傳遞函數(shù)分母的時間常數(shù)大于分子的時間常數(shù),所以其幅頻特性具有負(fù)斜率段,相頻特性出現(xiàn)負(fù)相移。負(fù)相移表明,校正網(wǎng)絡(luò)在正弦信號作用下的正弦穩(wěn)態(tài)輸出信號,在相位上遲后于輸入信號,所以稱為遲后校正裝置或遲后網(wǎng)絡(luò)。圖6-8相位遲后校正裝置的伯德圖與相位超前校正裝置類似,遲后網(wǎng)絡(luò)的相角可用下式計算：(6.11)最大遲后相角的頻率為(6.12)

ωm是頻率特性的兩個交接頻率的幾何中心。將式(6.12)代入式(6.11)可得或(6.13)圖6-8表明相位遲后校正網(wǎng)絡(luò)實際是一低通濾波器,它對低頻信號基本沒有衰減作用,但能削弱高頻噪聲,β值愈大,抑制噪聲的能力愈強(qiáng)。通常選擇β＝10較為適宜。采用相位遲后校正裝置改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能時,主要是利用其高頻幅值衰減特性,以降低系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率,提高系統(tǒng)的相角裕度。因此,力求避免使最大遲后相角發(fā)生在校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性的剪切頻率ωc附近,以免對暫態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生不良影響。一般可取(6.14)6.3.3相位遲后-超前校正裝置相位遲后-超前校正裝置可用如圖6-9所示的電網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn),圖6-9(a)是由RC無源網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的。假設(shè)輸入信號源的內(nèi)阻為零,輸出負(fù)載阻抗為無窮大,則其傳遞函數(shù)為

(6.15)若適當(dāng)選擇參量,使式(6.15)具有兩個不相等的負(fù)實數(shù)極點,即令T1=R1C1,T2=R2C2,βT1+T2/β=R1C1+R2C2+R1C2,β＞1,且使T1＞T2,則式(6.15)可改寫為(6.16)圖6-9相位遲后-超前校正裝置對于圖6-9(b)的有源校正裝置,其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為(6.17)令且使T1＞T2,則式(6.17)可改寫為(6.18)相位遲后-超前校正裝置的頻率特性為(6.19)其伯德圖如圖6-10所示，程序如下：bode(conv(［1001］,［101］),conv(［10001］,［11］))

在ω由0增至ω1的頻帶中,此網(wǎng)絡(luò)有遲后的相角特性;在ω由ω1增至∞的頻帶中,此網(wǎng)絡(luò)有超前的相角特性;在ω＝ω1處,相角為零。ω1可由下式求出:

(6.20)可見,遲后-超前校正裝置就是遲后裝置和超前裝置的組合。圖6-10相位遲后-超前校正裝置的伯德圖超前校正裝置可增加頻帶寬度,提高快速性,但損失增益,不利于穩(wěn)態(tài)精度;遲后校正裝置則可提高平穩(wěn)性及穩(wěn)態(tài)精度,但降低了快速性。若采用遲后-超前校正裝置,則可全面提高系統(tǒng)的控制性能。PID控制器是一種遲后-超前校正裝置。6.4串聯(lián)校正6.4.1串聯(lián)相位超前校正

超前校正的基本原理是利用超前校正網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性去增大系統(tǒng)的相角裕度,以改善系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)。因此在設(shè)計校正裝置時應(yīng)使最大的超前相位角盡可能出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc處。用頻率特性法設(shè)計串聯(lián)超前校正裝置的步驟大致如下:(1)根據(jù)給定的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo),確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K;(2)繪制在確定的K值下系統(tǒng)的伯德圖,并計算其相角裕度γ0;(3)根據(jù)給定的相角裕度γ,計算所需要的相角超前量φ0:因為考慮到校正裝置影響剪切頻率的位置而留出的裕量,上式中取ε=15°~20°；(4)令超前校正裝置的最大超前角φm=φ0,并按下式計算校正網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)α值:如φm大于60°,則應(yīng)考慮采用有源校正裝置或兩級超前網(wǎng)絡(luò)串聯(lián);(5)將校正網(wǎng)絡(luò)在ωm處的增益定為10lgα,同時確定未校正系統(tǒng)伯德曲線上增益為－10lgα處的頻率即為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc=ωm;

(6)確定超前校正裝置的交接頻率:(7)畫出校正后系統(tǒng)的伯德圖,驗算系統(tǒng)的相角穩(wěn)定裕度。如不符要求,可增大ε值,并從第(3)步起重新計算;(8)校驗其他性能指標(biāo),必要時重新設(shè)計參量,直到滿足全部性能指標(biāo)。例6-3設(shè)Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)原有部分的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求設(shè)計串聯(lián)校正裝置,使系統(tǒng)具有K＝12及γ0＝40°的性能指標(biāo)。

解當(dāng)K＝12時,未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖6-11中的曲線Go,可以計算出其剪切頻率ωc1。由于伯德曲線自ω=1s-1開始以－40dB/dec的斜率與零分貝線相交于ωc1,故存在下述關(guān)系:故 。于是未校正系統(tǒng)的相角裕度為圖6-11例6-3的伯德圖幅頻特性為使系統(tǒng)相角裕量滿足要求,引入串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)。在校正后系統(tǒng)剪切頻率處的超前相角應(yīng)為φ0=40°-16.12°+16.12°=φm

因此在校正后系統(tǒng)剪切頻率ωc2=ωm處校正網(wǎng)絡(luò)的增益應(yīng)為10lg4.60＝6.63dB。

根據(jù)前面計算ωc1的原理,可以計算出未校正系統(tǒng)增益為－6.63dB處的頻率即為校正后系統(tǒng)之剪切頻率ωc2,即校正網(wǎng)絡(luò)的兩個交接頻率分別為為補(bǔ)償超前校正網(wǎng)絡(luò)衰減的開環(huán)增益,放大倍數(shù)需要再提高α＝4.60倍。經(jīng)過超前校正,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其相角裕度為γ2=180°-90°+arctg5.07/2.66-arctg5.07-arctg5.07/10.87=48.47°＞40°符合給定相角裕度40°的要求。用MATLAB求得ωc2=4.67s-1,γ2=49.18°,其程序如下：sys=tf(conv(［12］,［1/2.661］),conv(conv(［10］,［11］),［1/10.871］));margin(sys)

綜上所述,串聯(lián)相位超前校正裝置使系統(tǒng)的相角裕度增大,從而降低了系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量。與此同時,增加了系統(tǒng)的帶寬,使系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快。6.4.2串聯(lián)相位遲后校正

串聯(lián)遲后校正裝置的作用,其一是提高系統(tǒng)低頻響應(yīng)的增益,減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,同時基本保持系統(tǒng)的暫態(tài)性能不變；其二是遲后校正裝置的低通濾波器特性,將使系統(tǒng)高頻響應(yīng)的增益衰減,降低系統(tǒng)的剪切頻率,提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定裕度,以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和某些暫態(tài)性能。用頻率設(shè)計串聯(lián)遲后校正裝置的步驟大致如下:(1)根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)性能要求去確定系統(tǒng)的開環(huán)增益;(2)繪制未校正系統(tǒng)在已確定的開環(huán)增益下的伯德圖,并求出其相角裕度γ0;(3)求出未校正系統(tǒng)伯德圖上相角裕度為γ2=γ+ε處的頻率ωc2,其中γ是要求的相角裕度,而ε=15°~20°則是為補(bǔ)償遲后校正裝置在ωc2處的相角遲后。ωc2即是校正后系統(tǒng)的剪切頻率;(4)令未校正系統(tǒng)的伯德圖在ωc2處的增益等于20lgβ,由此確定遲后網(wǎng)絡(luò)的β值;(5)按下列關(guān)系式確定遲后校正網(wǎng)絡(luò)的交接頻率:(6)畫出校正后系統(tǒng)的伯德圖,校驗其相角裕度;(7)必要時檢驗其他性能指標(biāo),若不能滿足要求,可重新選定T值。但T值不宜選取過大,只要滿足要求即可,以免校正網(wǎng)絡(luò)中電容太大,難以實現(xiàn)。例6-4設(shè)Ⅰ型系統(tǒng),原有部分的開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計串聯(lián)校正裝置,使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo):K≥5,γ≥40°,ωc≥0.5s-1。

解以K＝5代入未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中,并繪制伯德圖如圖6-12所示?？梢运愕梦葱Ｕ到y(tǒng)的剪切頻率ωc1。由于在ω=1s-1處,系統(tǒng)的開環(huán)增益為20lg5dB,而穿過剪切頻率ωc1的系統(tǒng)伯德曲線的斜率為－40dB/dec,

所以相應(yīng)的相角穩(wěn)定裕度為γ0=180°-90°-arctgωc1-arctg0.25ωc1=90°-arctg2.24-arctg0.56=-5.19°說明未校正系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。計算未校正系統(tǒng)相頻特性中對應(yīng)于相角裕度為γ2=γ+ε=40°+15°=55°時的頻率ωc2。由于γ2=180°-90°-arctgωc2-arctg0.25ωc2=55°或arctgωc2+arctg0.25ωc2=35°即解得此值符合系統(tǒng)剪切頻率ωc≥0.5s-1的要求,故可選為校正后系統(tǒng)的剪切頻率。圖6-12例6-4的伯德圖幅頻特性當(dāng)ω=ωc2=0.52s-1時,令未校正系統(tǒng)的開環(huán)增益等于20lgβ,從而求出串聯(lián)遲后校正裝置的系數(shù)β。由于未校正系統(tǒng)的增益在ω＝1s-1時為20lg5,故有故選β＝10。選定ω2=1/T=ωc2/4=0.13s-1,則于是,遲后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為故校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的相角穩(wěn)定裕度為γ=180°-90°+arctg7.7ωc2-arctg77ωc2-arctgωc2-arctg0.25ωc2=42.53°＞40°還可以計算遲后校正網(wǎng)絡(luò)在ωc2時的遲后相角從而說明,取ε=15°是正確的。用MATLAB求得ωc2=0.47s-1,γ2=44.36°，其程序如下：sys=tf(conv(［5］,［7.71］),conv(conv(conv(［10］,［11］),［771］),［0.251］));margin(sys)6.4.3串聯(lián)相位遲后-超前校正例6-5設(shè)系統(tǒng)原有部分的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求設(shè)計串聯(lián)校正裝置,使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo):Kv≥100s-1,γ＞40°,ωc=20s-1。

解首先按靜態(tài)指標(biāo)的要求令K＝Kv＝100代入原有部分的開環(huán)傳遞函數(shù)中,并繪制伯德圖如圖6-13所示。圖6-13例6-5的伯德圖幅頻特性可以算得未校正系統(tǒng)的剪切頻率ωc1。由于在ω=1s-1處,系統(tǒng)的開環(huán)增益為20lg100dB,而穿過剪切頻率ωc1

的系統(tǒng)伯德曲線的斜率為－40dB/dec,所以故 。在期望的剪切頻率ωc2=20s-1處,未校正系統(tǒng)的相角裕度為γ0=180°-90°-arctg0.1ωc2-arctg0.01ωc2=15°＜40°φ0=25°+15°=40°=φm

為了保證40°的相角裕度,必須增加至少25°的超前角,所以需要加超前校正。另外, ,即選ωc2=20s-1,就要將中頻段的開環(huán)增益降低8dB。但低頻段的增益是根據(jù)靜態(tài)指標(biāo)確定的,不能降低,因此可知還需要引進(jìn)遲后校正。我們先設(shè)計超前校正?？紤]到遲后校正會產(chǎn)生=15°~20°的相角遲后,所以因此根據(jù)式(6.5),超前網(wǎng)絡(luò)的交接頻率為考慮到對象本身在ω=9.3的附近,即ω＝10處有一個極點,我們使校正裝置的零點與它重合,即選ω2=1/(αT)=10s-1,于是ω2=1/T=46s-1。超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為前已求得,在ωc2=20s-1處,Lo=8dB。另外,超前網(wǎng)絡(luò)的Lc1＝10lgα＝6.63dB。為了將穿越頻率保持在ωc2=20s-1,還需要遲后校正來把中頻段增益減少Lo＋Lc1＝14dB。下面就轉(zhuǎn)而進(jìn)行遲后校正的設(shè)計。令20lgβ＝14dB,求得β＝5。選遲后網(wǎng)絡(luò)的交接頻率ω2=ωc2/5=4s-1,ω1=ω2/β=0.8s-1。遲后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為至此,我們得到遲后-超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的相角裕度為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為滿足要求。用MATLAB求得ωc2=18.6s-1,γ2=47.54°,其程序如下：sys=tf(conv(［100］,［0.251］),conv(conv(conv(［10］,［1.251］),［0.0221］),［0.011］));margin(sys)

在上述設(shè)計過程中,我們曾使校正裝置在ω＝10s-1處有一個零點,它正好與系統(tǒng)原有部分在ω＝10s-1處的極點抵消。當(dāng)然,由于對象的數(shù)學(xué)模型以及校正裝置的物理實現(xiàn)總包含一些誤差,因而各時間常數(shù)并不精確。所以實際上兩者并未抵消,只是彼此很接近,但是這種設(shè)計方法仍然是可取的。這樣的“零極相消”可以使校正后的開環(huán)模型簡單化,便于用經(jīng)驗公式估算其運動的主要特征。但是應(yīng)當(dāng)注意,不能用這種方法去抵消系統(tǒng)原有部分在右半復(fù)平面的極點。否則由于未能精確抵消就會使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。綜上所述,遲后-超前校正的設(shè)計可按以下步驟進(jìn)行:(1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求確定系統(tǒng)的開環(huán)增益,繪制未校正系統(tǒng)在已確定的開環(huán)增益下的伯德圖;(2)按要求確定ωc,求出系統(tǒng)原有部分在ωc處的相角,考慮遲后校正將會產(chǎn)生的相角遲后,得到超前校正的超前角;(3)求出超前校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù),求出ωc處系統(tǒng)原有部分和超前校正網(wǎng)絡(luò)的增益Lo和Lc。(4)令20lgβ＝Lo＋

Lc,求出β;(5)求出遲后校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù);(6)將遲后校正網(wǎng)絡(luò)與超前校正網(wǎng)絡(luò)組合在一起,就構(gòu)成遲后-超前校正。6.5反饋校正反饋校正的特點是采用局部反饋包圍系統(tǒng)前向通道中的一部分環(huán)節(jié)以實現(xiàn)校正,其系統(tǒng)方框圖如圖6-14所示。圖中被局部反饋包圍部分的傳遞函數(shù)是(6.21)圖6-14反饋校正系統(tǒng)6.5.1利用反饋校正改變局部結(jié)構(gòu)和參數(shù)1.比例反饋包圍積分環(huán)節(jié)則結(jié)果由原來的積分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)變成慣性環(huán)節(jié)。(6.22)2.比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)則結(jié)果仍為慣性環(huán)節(jié),但時間常數(shù)和比例系數(shù)都縮小很多。反饋系數(shù)Kh越大,時間常數(shù)越小。時間常數(shù)的減小,說明慣性減弱了,通常這是人們所希望的。比例系數(shù)減小雖然未必符合人們的希望,但只要在G1(s)中加入適當(dāng)?shù)姆糯笃骶涂梢匝a(bǔ)救,所以無關(guān)緊要。(6.23)3.微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)則(6.24)結(jié)果仍為慣性環(huán)節(jié),但時間常數(shù)增大了。反饋系數(shù)Kh越大,時間常數(shù)越大。因此,利用反饋校正可使原系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)拉開,從而改善系統(tǒng)的動態(tài)平穩(wěn)性。4.微分反饋包圍振蕩環(huán)節(jié)則(6.25)結(jié)果仍為振蕩環(huán)節(jié),但是阻尼系數(shù)卻顯著增大,從而有效地減弱小阻尼環(huán)節(jié)的不利影響。微分反饋是將被包圍的環(huán)節(jié)的輸出量速度信號反饋至輸入端,故常稱速度反饋。速度反饋在隨動系統(tǒng)中使用得極為廣泛,而且在具有較高快速性的同時,還具有良好的平穩(wěn)性。當(dāng)然實際上理想的微分環(huán)節(jié)是難以得到的,如測速發(fā)電機(jī)還具有電磁時間常數(shù),故速度反饋的傳遞函數(shù)可取為Khs/(Tis+1),只要Ti足夠小(10-2~10-4s),阻尼效應(yīng)仍是很明顯的。6.5.2利用反饋校正取代局部結(jié)構(gòu)

圖6-14中局部反饋回路G2c(s)的頻率特性為(6.26)在一定的頻率范圍內(nèi),如能選擇結(jié)構(gòu)參數(shù),使則(6.27)這表明整個反饋回路的傳遞函數(shù)等效為(6.28)和被包圍的G2(s)全然無關(guān),達(dá)到了以1/Gc(s)取代G2(s)的效果。反饋校正的這種作用有一些重要的優(yōu)點:首先,G2(s)是系統(tǒng)原有部分的傳遞函數(shù),它可能測定得不準(zhǔn)確,可能會受到運行條件的影響,甚至可能含有非線性因素等,直接對它設(shè)計控制器比較困難,而反饋校正Gc(s)完全是設(shè)計者選定的,可以做得比較準(zhǔn)確和穩(wěn)定。所以,用Gc(s)改造G2(s)可以使設(shè)計控制器的工作比較簡單;而把G2(s)改造成1/Gc(s),所得的控制系統(tǒng)也比較穩(wěn)定。也就是說,有反饋校正的系統(tǒng)對于受控對象參數(shù)的變化敏感度低。這是反饋校正的重要優(yōu)點。其次,反饋校正是從系統(tǒng)的前向通道的某一元件的輸出端引出反饋信號,構(gòu)成反饋回路的,這就是說,信號是從功率電平較高的點傳向功率電平較低的點。因而通常不必采用附加的放大器。因此,它所需的元件數(shù)目往往比串聯(lián)校正少,所用的校正裝置也比較簡單。還有,反饋校正在系統(tǒng)內(nèi)部形成了一個局部閉環(huán)回路,作用在這個回路上的各種擾動,受到局部閉環(huán)負(fù)反饋的影響,往往被削弱。也就是說,系統(tǒng)對擾動的敏感度低,這樣可以減輕測量元件的負(fù)擔(dān),提高測量的準(zhǔn)確性,這對于控制系統(tǒng)的性能也是有利的。6.6復(fù)合校正6.6.1反饋與給定輸入前饋復(fù)合校正圖6-15按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)在此,除了原有的反饋控制外,給定的參考輸入R(s)還通過前饋(補(bǔ)償)裝置Fr(s)對系統(tǒng)輸出C(s)進(jìn)行開環(huán)控制。對于線性系統(tǒng)可以應(yīng)用疊加原理,故有C(s)={［R(s)-C(s)］G1(s)+R(s)Fr(s)}G2(s)或(6.29)如選擇前饋裝置Fr(s)的傳遞函數(shù)為(6.30)則可使輸出響應(yīng)C(s)完全復(fù)現(xiàn)給定參考輸入,于是系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)誤差都是零。6.6.2反饋與擾動前饋復(fù)合校正圖6-16按擾動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)此處除了原有的反饋控制外,還引入了擾動N(s)的前饋(補(bǔ)償)控制。前饋控制裝置的傳遞函數(shù)是Fn(s)。分析擾動時,可認(rèn)為參考輸入R(s)＝0,則有或(6.31)如選擇前饋裝置Fn(s)的傳遞函數(shù)為(6.32)則可使輸出響應(yīng)C(s)完全不受擾動N(s)的影響。于是系統(tǒng)受擾動后的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)誤差都是零。采用前饋控制補(bǔ)償擾動信號對輸出的影響,首先要求擾動信號可量測,其次要求前饋補(bǔ)償裝置在物理上是可實現(xiàn)的,并力求簡單。一般來說,主要擾動引起的誤差,由前饋控制進(jìn)行全部或部分補(bǔ)償;次要擾動引起的誤差,由反饋控制予以抑制。這樣,在不提高開環(huán)增益的情況下,各種擾動引起的誤差均可得到補(bǔ)償,從而有利于同時兼顧提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求。但是以上結(jié)論僅在理想條件下成立,實際是做不到的。(1)以上所述結(jié)論,無論是輸出響應(yīng)完全復(fù)現(xiàn)輸入或是完全不受擾動影響,都是在傳遞函數(shù)零、極點對消能夠完全實現(xiàn)的基礎(chǔ)上得到的。由于控制器和對象都是慣性的裝置,故G1(s)