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文檔簡介

線性代數(shù)

南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院

信息與計算科學(xué)系程浩

線性代數(shù)是研究在日常生活里、在工程技術(shù)的許多領(lǐng)域以及在各項科學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)的代數(shù)問題的一門學(xué)科。介紹

這些代數(shù)問題包括:矩陣的運算,線性方程組的求解理論與方法,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型,線性空間與線性變換等。1什么全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽?2數(shù)學(xué)建模競賽在我校的情況?3該怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽?

線性代數(shù)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一個強有力的工具。例如,在計算機圖形處理中,通常將圓錐曲線寫成下列矩陣形式簡記為

如果將該圓錐曲線作(繞原點的)旋轉(zhuǎn)變換(坐標(biāo)系不變),設(shè)變換矩陣則變換后的圓錐曲線其方程即為

用矩陣方法來表示圓錐曲線的旋轉(zhuǎn)變換,不僅表達簡明,而且更便于計算機程序?qū)崿F(xiàn)。線性代數(shù)這一門學(xué)科各章內(nèi)容之間有較強的漸進關(guān)系;概念具有多樣性;有些理論比較抽象;解決問題的方法富于變化;對本課程的這些特點,在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以注意。章節(jié)內(nèi)容

第一章.行列式

第二章.矩陣

第三章.向量組

第四章.線性方程組

第五章.矩陣的對角化

第六章.二次型*第七章.線性空間與線性變換第一章行列式

§1.1n階行列式的定義

§1.2n階行列式的性質(zhì)§1.4克萊姆(Cramer)法則

§1.3n階行列式的計算n階行列式的定義、性質(zhì)與計算

行列式是線性代數(shù)中的一個基本工具。在初等數(shù)學(xué)里已經(jīng)介紹二階、三階行列式,現(xiàn)在為了研究n元線性方程組需要進一步討論n階行列式。討論二階、三階行列式進一步介紹n階行列式解決一類n元線性方程組求解問題本章邏輯順序性質(zhì)與計算為重點第一節(jié)n階行列式

一.二階、三階行列式

研究二元線性方程組:

利用消元法,得兩式相減消去2x

從二元線性方程組解的形式可以發(fā)現(xiàn),如果引入記號(叫做二階行列式):

同理則其解可簡潔地表示為:

其中解線性方程組由于方程組的系數(shù)行列式

又所以方程組的解為

解例1.類似地,如果在求解三元方程組

的過程中引入下列三階行列式的記號

其實,這個三階行列式的展開式的值也可以用下面的所謂主、副對角線法則得到:

+-并規(guī)定其值為:

時,用消元法同樣可得這個方程組的解其中

Dj(j=1,2,3)是用常數(shù)項b1,b2,b3替換系數(shù)行列式

D中的第j列所得的三階行列式。

而且當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式

例2.解

D==計算行列式

但應(yīng)當(dāng)指出的是:主、副對角線法則不易于向一般n階行列式推廣。+-事實上,三階行列式的計算,除了主、副對角線法則還可以按照依第一行展開的方法得到行列式的值。即的代數(shù)余子式:A11=其中A11,A12,A13

分別是第一行元素A12=A13=同理和+-+-+-+-+而且不難看到,這與用主、副對角線法則得到的結(jié)果是一致的。例如,對例2中的行列式,有

A11=-1A12=10A13=-7從而行列式的值=1×(-1)+0×10+1×(-7)=-8與對角線法結(jié)果相同。1)可以用低階行列式的值去定義高階行列式的值;

即,從而從二、三階行列式出發(fā)去定義一般的n階行列式。

2)這樣的定義方式應(yīng)該具有某種內(nèi)在的一致性。即,這樣定義的各階行列式應(yīng)該有統(tǒng)一的性質(zhì)。這一展開的規(guī)律啟示我們:

二.n階行列式

由n×n個數(shù)(i,j=1,2,…,n)組成的具有n行n列的式子并且規(guī)定其值為:1)當(dāng)n=1時,D=定義1.叫做n階行列式(Determinant),2)當(dāng)n2時,D=其中

為行列式D的元素

的為行列式D的元素

并稱

余子式,

代數(shù)余子式。

可知:n階行列式的定義展式中,一定包含有n!個項,并且每一項都是來自于不同行、不同列的n個元素的乘積。(容易證明)從二、三階行列式例3.計算n階上三角行列式由行列式定義,按第一行展開時,第一行的以此類推,得

皆等于零,所以

的余子式

元素

?特別地,對主對角行列式,有

對上三角行列式與主對角行列式值的結(jié)論,我們以后常會用到。例4.計算n階(副對角、下三角)行列式

解由n階行列式的定義,可以得到

是n-1階行列式,其中的余子式

它與n階行列式

同樣的形式,行列式的定義,有=等于

這個n行列式

的值并不總值得注意的是:反復(fù)利用(n階)?。?!例5.計算4階數(shù)字行列式

==如果再將上述行列式按第四行元素展開,又得到

這個結(jié)果與按定義展開是一樣的。

實際上,行列式不但可以按第一行元素展開,而且也可以按第一行以后的任一行或者任一列去展開,其結(jié)果都是相同的。即有下面的定理:n階行列式D等于它的任一行(列)的元素與它們所對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,和定理證明略去。

定理

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