數(shù)值分析04數(shù)值積分與數(shù)值微分

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分§1引言一、數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)?有解析表達式；?

的原函數(shù)

為初等函數(shù)．

實際問題1.

的原函數(shù)

不能用初等函數(shù)表示例如函數(shù):考慮一個實際問題:建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.從到英寸間的弧長L.這個問題就是要求由函數(shù)給定的曲線,

由微積分學我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分。What’stheOriginalfunction?!It’ssocomplexthatwecannotgetit.2.

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限形式,但表達式相當復(fù)雜,計算極不方便.例如函數(shù):并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:3.

沒有解析表達式，只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需要積分的數(shù)值方法來幫忙啦。二、數(shù)值積分的基本思想1、定積分的幾何意義2、數(shù)值積分的理論依據(jù)依據(jù)積分中值定理,對于連續(xù)函數(shù)

,在內(nèi)存在一點,使得稱

為區(qū)間的平均高度.3、求積公式的構(gòu)造若簡單選取區(qū)間端點或中點的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點求積公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：若取兩點，并令，則可得梯形公式（兩點求積公式）則可得Simpson公式(三點求積公式)若取三點，并令一般地，取區(qū)間內(nèi)個點處的高度通過加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度這類求積方法稱為機械求積:

或?qū)懗?數(shù)值積分公式求積系數(shù)

求積節(jié)點記稱為數(shù)值求積公式稱為求積公式余項(誤差).三、求積公式的代數(shù)精度1、問題的提出構(gòu)造或確定一個求積公式，要討論解決的問題有:(i)

確定求積系數(shù)

和求積節(jié)點

(iii)

求積公式的誤差估計和收斂性分析.(ii)

判定求積公式精度的衡量標準；稱求積公式具有m次代數(shù)精度,如果它滿足如下兩個條件:2、定義(i)對所有次數(shù)≤m次的多項式,有(ii)存在m+1次多項式,使得上述定義中的條件(i),(ii)等價于:§2插值型求積公式一、定義在積分區(qū)間上，取個節(jié)點作

的次代數(shù)插值多項式（拉格朗日插值公式）:則有其中，為插值余項。于是有：取Ak由節(jié)點決定，與

無關(guān)。稱為插值型求積公式二、截斷誤差與代數(shù)精度1、截斷誤差2、代數(shù)精度推論

求積系數(shù)滿足:

形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）定理§3Newton-Cotes公式一、Cotes系數(shù)取節(jié)點為等距分布：由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式,此時求積系數(shù)：令Cotes系數(shù)二、Newton-Cotes公式1、定義：記則求積公式變?yōu)榉Q上式為n階閉型Newton-Cotes求積公式。注意:由式確定的Cotes系數(shù)只與和有關(guān),與

和積分區(qū)間無關(guān)，且滿足:2、截斷誤差Newton-Cotes公式的誤差為:與x有關(guān)3、代數(shù)精度作為插值型求積公式，具有次代數(shù)精度，階Newton-Cotes公式至少而實際的代數(shù)精度是否可以進一步提高呢？定理當階數(shù)為偶數(shù)時,Newton-Cotes公式至少具有次代數(shù)精度。證明:只需驗證當為偶數(shù)時,Newton-Cotes公式對的余項為零。由于

,所以

即得引進變換,因為為偶數(shù),故為整數(shù),于是有據(jù)此可斷定

,因為上述被積函數(shù)是個奇函數(shù).4、數(shù)值穩(wěn)定性現(xiàn)在討論舍入誤差對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響.設(shè)用公式近似計算積分時,其中計算函數(shù)值

有誤差則在的計算中,由引起的誤差為沒有誤差,中間計算過程中的舍入誤差也不考慮,計算，而如果都是正數(shù),并設(shè)則有故

是有界的,即由

引起的誤差受到控制,的倍,不超過保證了數(shù)值計算的穩(wěn)定性。將出現(xiàn)負數(shù),而當

時,將隨增大,因而不能保證數(shù)值穩(wěn)定性.故高階公式不宜采用,有實用價值的僅僅是幾種低階的求積公式.三、幾種常用的低階求積公式n=1:梯形公式/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代數(shù)精度=1n=2:Simpson公式代數(shù)精度=3n=4:

Cotes公式

代數(shù)精度=5,這里四、復(fù)化求積公式高次插值有Runge現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來解決高階Newton-Cotes公式會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。而低階Newton-Cotes公式有時又不能滿足精度要求，怎么辦？可將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用低階求積公式計算，然后求和。復(fù)化梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/

復(fù)化梯形公式積分法復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn

復(fù)化Simpson公式積分法復(fù)化Cotes公式：=

Cn收斂速度與誤差估計：定義：若一個積分公式的誤差滿足，且

，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例:利用數(shù)據(jù)表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計算積分解：這個問題有明顯的答案取n=8用復(fù)化梯形公式=3.138988494取n=4

用辛卜生公式=3.141592502運算量基本相同復(fù)化梯形公式的誤差估計給定精度，如何取

?例如：要求，如何判斷n=？1、誤差先驗估計式記則?上例中若要求，則即：取n=409通常采取將區(qū)間不斷對分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

時，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到區(qū)間再次對分時可用來判斷迭代是否停止。2、誤差后驗估計式復(fù)化Simpson公式的誤差估計1、誤差先驗估計式2、誤差后驗估計式復(fù)化Cotes公式的誤差估計1、誤差先驗估計式2、誤差后驗估計式四、龍貝格積分例:計算已知對于=106

須將區(qū)間對分9次，得到T512=3.14159202考察由來計算I

效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg求積公式Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T理查德森外推法利用低階公式產(chǎn)生高精度的結(jié)果。由Taylor展開得到：i

與h

無關(guān)現(xiàn)將

對分，得：設(shè)對于某一，有公式

近似計算某一未知值。如何將公式精度由提高到

？...432112)()(23322020---=---hhIhTThaa即：計算步驟：1．取，計算2．對k=1,2,…

計算下列各步3．對n=0,1,2,…,k=n–1,n–2,…4．收斂控制若或則輸出積分值，否則轉(zhuǎn)3。

Newton-Cotes公式采用等距節(jié)點作為求積節(jié)點代數(shù)精度至多可達到。（為偶數(shù)）那么，在節(jié)點個數(shù)一定的情況下，是否可以在上自由選擇節(jié)點的位置，使求積公式的精度提得更高？例：求形如的兩點求積公式。

（1）用梯形公式（即以x0=-1，x1=1為節(jié)點的插值型求積公式）立即可得。只具有一次代數(shù)精確度?。?）若對求積公式中的四個待定系數(shù)A0,A1,x0,x1適當選取，使求積公式對f(x)=1，x，x2，x3都準確成立，則需滿足如下方程組：五、高斯型積分構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點以及系數(shù)都作為待定系數(shù)。令代入可求解，得到的公式具有

次代數(shù)精度。節(jié)點稱為Gauss點此公式稱為Gauss型求積公式例：求的2點Gauss公式。解：設(shè)，應(yīng)有3

次代數(shù)精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是線性方程組，不易求解。定理：

x0…xn

為Gauss點

與任意次數(shù)不大于n

的多項式P(x)（帶權(quán)）正交。證明：“”

x0…xn

為Gauss點,則公式至少有2n+1次代數(shù)精度。對任意次數(shù)不大于n

的多項式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應(yīng)精確成立：=00求Gauss點

求w(x)不大于的多項式

精確成立，即證明：“”要證明為Gauss點，即要證公式對任意次數(shù)設(shè)0正交多項式族{0,1,…,n,…}有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于n

的多項式P(x)必與n+1

正交。若取w(x)為其中的n+1，則n+1的根就是Gauss點。53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：Step1：構(gòu)造正交多項式2設(shè)cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep2：求2=0

的2個根，即為Gauss點x0，x1Step3：代入