田凌清華大學(xué)機(jī)械制圖6投影變換

投影變換6內(nèi)容6.1換面法6.2旋轉(zhuǎn)法26.1換面法O1OVHABa'abb'

投影變換的原理極其易懂。但要因題而異、靈活運(yùn)用，其方法是變化多端的。

P1

a1b1

研究如何改變空間幾何元素與投影面的相對位置，借助所得到的新投影進(jìn)行簡便地圖解作圖。使空間幾何元素與投影面處于有利解題的位置，簡化作圖。

例如，求一般位置直線的實(shí)長，可用直角三角形法，也可用投影變換完成(換面法或旋轉(zhuǎn)法)。P1∥ABP1Ha1b1=ABXX16.1.1投影變換的目的34O1OVHABa'abb'

P1

a1b1XX16.1.2換面法的概念換面法—空間幾何元素的位置保持不變，用一新的投影面替換原有的某一投影面，使得幾何元素對新的投影面處于有利解題的位置。6.1.3選擇新投影面的原則有利于解題

如：新投影面∥(or⊥)幾何元素

(應(yīng)熟練掌握特殊位置幾何元素的特性)新投影面須垂直某一原投影面新投影面新投影軸新投影展平方法：新投影面P1繞O1X1軸向外旋轉(zhuǎn)90°

再隨H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°被替換投影56.1.4點(diǎn)的換面一次換面.aa'

XaxO

HX1P1a1.aX1

新、舊投影的關(guān)系：

aa1

⊥O1X1軸

a1aX1=a'ax(新投影與新軸的距離等于被替代的投影與原軸的距離同時(shí)向兩軸的外側(cè)度量)二次換面

a1a2⊥O2X2軸

a2aX2=aaX1P1P2X2

.a2aX2VHP1HP2P1O1O2

6一般位置直線變換成投影面平行線a'O

空間：P1∥直線投影：O1X1軸∥直線的某投影新投影：反映直線的實(shí)長及某傾角a

X

bb'VHX1HP1a1b1L6.1.5四個(gè)基本問題

一般位置直線→平行線一般位置直線→垂直線一般位置平面→垂直面一般位置平面→平行面O1結(jié)論：一般位置直線變換成投影面平行線—變換一次即可7X2

P2P1a2≡b2空間：P1∥直線，且P1⊥H投影：O1X1軸∥直線的某投影新投影：反映直線的實(shí)長及某傾角實(shí)際大小一般位置直線變換成投影面垂直線對于投影面平行線：空間：P2⊥直線，且P2⊥P1投影：O2X2軸⊥直線的某投影新投影：積聚為一點(diǎn)O2a'O

a

X

bb'VHX1HP1a1b1LO1結(jié)論：一般位置直線變換成投影面垂直線—變換兩次，即：一般位置直線→投影面平行線→投影面垂直線8一般位置平面變換成投影面垂直面XOa'c'b'abc1'1VHX1HP1a1,11b1c1空間：P1⊥面，且P1⊥H投影：O1X1軸⊥面上投影面平行線反映實(shí)長的投影新投影：投影面平行線積聚為點(diǎn)，面積聚為線(垂直面)

且反映平面的某傾角實(shí)際大小O1結(jié)論：一般位置平面變換成投影面垂直面—變換一次即可面的投影變換，應(yīng)以面上的某一條線為主。當(dāng)該線⊥某投影面時(shí)，則此面在該投影面上的投影積聚為一直線。為簡化作圖，此線應(yīng)為面上一投影面平行線。9一般位置平面變換成投影面平行面X

Oa'c'b'abc1'1VHX1HP1a1,11b1c1空間：P1⊥面(且P1⊥H)投影：X1軸⊥面上投影面平行線反映實(shí)長的投影新投影：投影面平行線積聚為點(diǎn)，面積聚為線(垂直面)X2

P1P2b2a2c2△實(shí)形空間：P2∥面(即P2⊥P1)投影：O2X2軸∥積聚為線的投影新投影：反映圖形的實(shí)際形狀、及夾角實(shí)際大小(平行面)O1O2結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面—旋轉(zhuǎn)兩次10例：求已知直線與平面的夾角θ的實(shí)際大小。m’n’nm步驟1：求MN與△ABC的交點(diǎn)K(求交)過M作MD⊥△ABC求MD與△ABC的交點(diǎn)L(求交)求∠MKL(△MKL)的實(shí)形即θa'c'b’abc1’122’d’de’e步驟2：過M作MD⊥△ABC求∠NMD(△MND)的實(shí)形

θ與∠NMD互為余角步驟3：換面法?如何換?換幾次?11例：求已知直線與平面的

夾角θ的實(shí)際大小。m’n’nma'c'b’abc1’1b1O1

OX1HP1

a1,11c1

m1

n1XVH步驟1：求MN與△ABC的交點(diǎn)K(求交)過M作MD⊥△ABC求MD與△ABC的交點(diǎn)L(求交)求∠MKL(△MKL)的實(shí)形即θ步驟2：過M作MD⊥△ABC求∠NMD(△MND)的實(shí)形

θ與∠NMD互為余角步驟3：換面法?換幾次?

如何換?

新投影面應(yīng)垂直于平面、且平行于直線！此時(shí)線面夾角反映實(shí)際大小。12.例：求兩異面直線的距離。a'c'b'abcdd'OVHHX1P1a1b1c1d1P1P2

X2c2,d2a2b2l2k2k1l1l2k2

為距離實(shí)長。l1的位置？KL為何種位置線？分析：只需將其中的一條直線變換為投影面垂直線即可。繼續(xù)，返回到原投影！XKL為P2的平行線！k1l1//O2X2軸。O1

O2

13例：試檢查空間點(diǎn)A繞O-O軸(正平線)旋轉(zhuǎn)時(shí)會不會與平面BCDE相碰撞（作圖說明）。VHXOX1P1

VO1o1≡o1

g’gf’fl1

k1

a1f1

g1

此題2解分析：點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)軌跡為垂直于o’o’的圓該圓的正面投影積聚為與o’o’垂直的直線該圓的水平投影為橢圓，無法直接畫出步驟：作軌跡圓與已知平面的交線FG(過a’

作o’o’的垂線)

換面，將O-O軸積聚為一點(diǎn)(其余見圖自明，不贅述)

若點(diǎn)A與平面相碰，其正面投影必在該面上且與o’o’垂直的直線上（即軌跡圓與已知平面的交線）換面法的概念選擇新投影面的原則換面法的四個(gè)基本問題要點(diǎn)小結(jié)14156.2.1旋轉(zhuǎn)法的概念旋轉(zhuǎn)法—投影面保持不動(dòng)，而使空間幾何元素繞某一軸線旋轉(zhuǎn)，使得幾何元素對投影面處于有利解題的位置。6.2.2旋轉(zhuǎn)的五要素旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)平面旋轉(zhuǎn)對象LSORA旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)平面⊥旋轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)中心

旋轉(zhuǎn)半徑

旋轉(zhuǎn)平面

旋轉(zhuǎn)對象6.2旋轉(zhuǎn)法16旋轉(zhuǎn)軸垂直于某一投影面—繞垂直軸旋轉(zhuǎn)(簡稱旋轉(zhuǎn)法)旋轉(zhuǎn)軸相對于投影面的位置：旋轉(zhuǎn)軸平行于某一投影面—繞水平軸旋轉(zhuǎn)176.2.3繞垂直軸旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A繞垂直于H面的軸L旋轉(zhuǎn)：Va'Aa1'

A1aa1θLl'O

o'aa1θla'a1'

l'o'θ點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)結(jié)論：

水平投影:點(diǎn)繞o轉(zhuǎn)一θ角到點(diǎn)a1

正面投影：點(diǎn)a’沿水平線移至點(diǎn)a1’≡ol當(dāng)一點(diǎn)繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡：在該投影面上的投影為一圓在另一投影面上的投影為一條垂直于旋轉(zhuǎn)軸的直線

≡o18a1la1'

l'直線的旋轉(zhuǎn)θθb1'

aa'b'bb1θ直線AB繞垂直于H面的軸L旋轉(zhuǎn)一θ角：

結(jié)論：

水平投影:點(diǎn)a、b繞l轉(zhuǎn)相同的角度θ到點(diǎn)a1、b1

正面投影：點(diǎn)a’、b’分別沿水平線移至點(diǎn)a1’、b1’當(dāng)一直線繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)：其在該投影上的投影長度不變其對該投影面的夾角保持不變△abl≌△a1b1l注意“三同“:·

同軸·同方向·同角度19a1la1'

l'平面圖形的旋轉(zhuǎn)θθb1'

b1θ△ABC繞垂直于H面的軸L旋轉(zhuǎn)一θ角：

結(jié)論：

水平投影:點(diǎn)a、b、c繞l轉(zhuǎn)相同的角度θ到點(diǎn)a1、b1、c1

正面投影：點(diǎn)a’、b’、c’分別沿水平線移至點(diǎn)a1’、b1’、c1’當(dāng)一直線繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)：其在該投影面上的投影形狀、大小保持不變其對該投影面的夾角保持不變△abc≌△a1b1c1θ

c1'

aa'b'bc'

cc120一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線例：將一般位置直線AB旋轉(zhuǎn)成正平線。6.2.4四個(gè)基本問題

一般位置直線→平行線一般位置直線→垂直線一般位置平面→垂直面一般位置平面→平行面a1la1'

l'≡b1'

≡b1aa'b'bα選擇旋轉(zhuǎn)軸L垂直于H面—以改變直線AB與V面的相對位置選擇旋轉(zhuǎn)軸L通過端點(diǎn)B—簡化作圖過程結(jié)論：一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線—旋轉(zhuǎn)一次即可a1’b1’等于直線段AB的實(shí)長!

α

等于直線與H面夾角的真實(shí)大小a1b1平行于OX軸La1b1=LabA1B1為正平線21a1l1a1'

l1'≡b1'

≡b1aa'b'b一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線b2'

≡a2'

≡a2≡b2l2l2'La2’b2’=La1’b1’a2≡b2A2B2為鉛垂線例：將一般位置直線AB旋轉(zhuǎn)成鉛垂線。選擇旋轉(zhuǎn)軸L1過點(diǎn)B並垂直于H面—將AB旋轉(zhuǎn)成正平線A1B1結(jié)論：一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線—旋轉(zhuǎn)兩次，即：一般位置直線→投影面平行線→投影面垂直線選擇旋轉(zhuǎn)軸L2過點(diǎn)A1並垂直于V面—將正平線A1B1旋轉(zhuǎn)成鉛垂線A2B2a2’b2’⊥OX22a1ll'b1k1'

aa'b'bc'

ck'ka1'

b1'

≡c1'

≡c1θ

≡k1一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面k1’c1’⊥OX軸a1b1c1

為一直線△k’b’c’≌△k1’b1’c1’△k’b’c’≌△k1’b1’c1’例：將一般位置平面ABC旋轉(zhuǎn)成鉛垂面。選擇旋轉(zhuǎn)軸L垂直于V面—以改變直線AB與H面的相對位置作面上正平線CK、並選擇旋轉(zhuǎn)軸L通過頂點(diǎn)C—簡化作圖過程結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面—旋轉(zhuǎn)一次即可A1B1C1

為鉛垂面23一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面a1ll'b1k1'

aa'b'bc'

ck'ka1'

b1'

≡c1'

≡c1θ

≡k1a2≡b2≡b2'

≡c2'

c2a2'

La2b2

=La1b1△a2’b2’c2’為△ABC的實(shí)形！l2’l2a2b2平行于OX軸例：將一般位置平面ABC旋轉(zhuǎn)成正平面。作面上正平線CK、選擇旋轉(zhuǎn)軸L1通過頂點(diǎn)C、並垂直于V面—將CK旋轉(zhuǎn)成鉛垂線、從而將ABC旋轉(zhuǎn)成鉛垂面A1B1C1選擇旋轉(zhuǎn)軸L2通過頂點(diǎn)B1、並垂直于H面—將鉛垂面A1B1C1旋轉(zhuǎn)成正平面A2B2C2結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面—旋轉(zhuǎn)兩次，即：一般位置平面→投影面垂直面→投影面平行面A2B2C2為正平面246.2.5不指明軸旋轉(zhuǎn)法a1b1k1'

aa'b'bc'

ck'ka1'

b1'

c1'

c1≡k1a