物理熱學(xué)第二章(熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律)

1第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律2§2-1統(tǒng)計(jì)規(guī)律與分布函數(shù)的概念§2-2Maxwell分布律§2-3Maxwell-Boltzmann分布律§2-4能量均分定理與熱容§2-5微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一般討論(簡(jiǎn)介)第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律3引言研究目標(biāo)：熱力學(xué)平衡狀態(tài)下微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律一定條件下，諸如速度、速率、運(yùn)動(dòng)能量等微觀狀態(tài)都有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)物理研究方法：大量微觀粒子+無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)—熱力學(xué)系統(tǒng)研究對(duì)象：第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律4統(tǒng)計(jì)規(guī)律:大量個(gè)別、偶然事件集體、必然規(guī)律統(tǒng)計(jì)物理:大量粒子系統(tǒng)的物理規(guī)律，熱現(xiàn)象為主§2-1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律與分布函數(shù)的概念一.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概念內(nèi)容:從粒子微觀量用統(tǒng)計(jì)平均方法導(dǎo)出系統(tǒng)宏觀量.特點(diǎn): 單個(gè)粒子遵從牛頓力學(xué)整體行為服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律(不能用牛頓力學(xué)解決)第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律5氣體分子熱運(yùn)動(dòng)模型的圖象:相當(dāng)稀疏,標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下:線度~10-10m;距離~10-7m(dV=dxdydz

宏觀小、微觀大)碰撞頻繁,~1010次/s,碰撞時(shí)間~10-13s兩次碰撞間經(jīng)歷的路程~10-7m,速率~500m/s碰撞遵循力學(xué)規(guī)律除分子與分子、分子與器壁相互碰撞的瞬間外，氣體分子間相互作用的分子力是極其微小的。

整體行為服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律6求物理量M

的統(tǒng)計(jì)平均值狀態(tài)A出現(xiàn)的概率歸一化條件Ni

是M的測(cè)量值為Mi的次數(shù)，實(shí)驗(yàn)總次數(shù)為N如第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律7平衡態(tài)下氣體分子速度分量的統(tǒng)計(jì)平均值為氣體處于平衡狀態(tài)時(shí)，氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，故有第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律8由于氣體處于平衡狀態(tài)時(shí)，氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，故有

平衡態(tài)下氣體分子速度分量平方的統(tǒng)計(jì)平均值為第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律9二.伽耳頓板實(shí)驗(yàn)若無(wú)小釘：必然事件若有小釘：偶然事件一個(gè)小球落在哪里有偶然性實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同(1)統(tǒng)計(jì)規(guī)律是大量偶然事件的總體所遵從的規(guī)律。(2)統(tǒng)計(jì)規(guī)律和漲落現(xiàn)象是分不開(kāi)的。結(jié)論第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律10三.隨機(jī)變量與分布函數(shù)

伽爾頓板：小槽編號(hào)i，小球總數(shù)N,i內(nèi)小球?N、占面積?Ai=?xihi,則,C為單位面/體積內(nèi)小球小球落入i小槽內(nèi)的概率為：由此例抽象出表示某事件是否發(fā)生的一些量的數(shù)值：1.隨機(jī)變量——隨機(jī)變量第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律11

如伽爾頓板：小槽編號(hào)i，只能取自然數(shù)，則——離散隨機(jī)變量小槽編號(hào)i可連續(xù)變化的坐標(biāo)x——連續(xù)隨機(jī)變量第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律122.概率分布設(shè)離散隨機(jī)變量{xi}中xi出現(xiàn)的概率為P(xi)，則離散隨機(jī)變量的概率分布：歸一化條件:離散隨機(jī)變量的平均值：連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布{Pi}：當(dāng)?xi→dx時(shí)，?P→dP第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律133.概率分布函數(shù)X的概率分布函數(shù)：概率分布函數(shù)也具有歸一性：所以，隨機(jī)變量x的平均值:對(duì)任意物理量G=G(x),其平均值:——隨機(jī)變量x-x+dx內(nèi)的數(shù)值的概率（概率密度）第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律14例微觀粒子的速度分布函數(shù):微觀粒子的能量分布函數(shù)：表示組成系統(tǒng)的微觀粒子中能量處在ε附近單位區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比例.表示組成系統(tǒng)的微觀粒子中速度處在附近單位區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比例.（概率密度）（概率密度）第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律15有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解例求(1)由歸一化條件得O第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律16(2)因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率，所以因此，v>v0

的分子數(shù)為(2N/3)同理v<v0

的分子數(shù)為(N/3)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律17例

假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為N，其速率分布函數(shù)為fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均為正常數(shù)，且為已知0v畫(huà)出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)c求速率在區(qū)間的粒子數(shù)~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v拋物線方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v218概率分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件fv80dv1本題v0vfv000vvc0vvdv要求0v361c1得c60v3均為正常數(shù)，且為已知例

假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為N，其速率分布函數(shù)為fvvc0v0v0v0v0vvc0v,0v畫(huà)出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)c求速率在區(qū)間的粒子數(shù)~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v拋物線方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2N~0速率在300v區(qū)間的粒子數(shù)N0300vfvdvN0300vv0vvdv60v3N6201NN得19§2-1.Maxwell速度分布律一、速度空間與速度分布律的概念位形空間：以位置分量為坐標(biāo)架建立的空間速度空間：以速度分量為坐標(biāo)架建立的空間經(jīng)典物理中，微粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用坐標(biāo)和動(dòng)量描述

附近微小變化形成體積元

附近微小變化形成體積元直角坐標(biāo)下，直角坐標(biāo)下，第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律20速度空間:速率空間:+dyxzO體積元體積元第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律21N個(gè)粒子系統(tǒng)中有dN(vx,vy,vz)個(gè)粒子處在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

區(qū)間中，這種粒子占總粒子數(shù)的概率：——粒子的速度分布函數(shù)N個(gè)粒子系統(tǒng)中dN(vx,vy,vz)個(gè)粒子處在vx~vx+dvx,vy~

vy+dvy,vz~vz+dvz

區(qū)間單位速度空間的概率?！怕拭芏人俣雀浇Ｗ拥母怕拭芏燃戳Ｗ拥乃俣确植己瘮?shù)。第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律22無(wú)外界影響時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)完全無(wú)規(guī)vx,vy,vz為獨(dú)立隨機(jī)事件，可分別考察.如：根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法規(guī)則，有又所以同理可得，在三維空間第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律23二.Maxwell速度分布律和速率分布律其中T為熱力學(xué)溫度,m為每個(gè)粒子的質(zhì)量。稱為Boltzmann常量.熱動(dòng)平衡時(shí)，熱力學(xué)系統(tǒng)的粒子按速度分布的分布律Maxwell（1859）用統(tǒng)計(jì)物理方法推導(dǎo)得出：1.Maxwell速度分布律的表述yxzO第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律24定義為附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比,有

對(duì)自由粒子,M-分布給出:分子數(shù)體積元區(qū)間第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律252.Maxwell速率分布律物理意義:速率在附近、單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率;或:分子速率處在附近單位速率間隔內(nèi)的概率顯然應(yīng)有

歸一化條件+d第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律263.Maxwell速率分布律的性質(zhì)與特征(1)麥克斯韋速率分布曲線Of(v)對(duì)于相同,比率與的關(guān)系呈兩頭小,中間大。僅是的函數(shù).曲線下面的總面積，等于分布在整個(gè)速率范圍內(nèi)所有各個(gè)速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和(歸一化條件)第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律27①m

一定,T越大,這時(shí)曲線向右移動(dòng)②T一定,

m

越大,這時(shí)曲線向左移動(dòng)v

p越大,

v

p越小,T1f(v)vOT2(>T1)m1f(v)vOm2(>m1)由于曲線下的面積不變,由此可見(jiàn)(2)

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律281.實(shí)驗(yàn)裝置2.測(cè)量原理(1)能通過(guò)細(xì)槽到達(dá)檢測(cè)器D

的分子所滿足的條件(2)通過(guò)改變角速度ω的大小，選擇速率v

三.Maxwell速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證密勒－庫(kù)士實(shí)驗(yàn)：與實(shí)驗(yàn)曲線相符第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律29(3)通過(guò)細(xì)槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間(4)沉積在檢測(cè)器上相應(yīng)的金屬層厚度必定正比相應(yīng)速率下的分子數(shù)Of(v)第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律30四.分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值1.最概然速率—與的最大值對(duì)應(yīng)的速率2.(算術(shù))平均速率在整個(gè)速率區(qū)間平均：3.方均根速率

就相同的速率間隔而言,分子的速率處在所在間隔里的概率最大，也稱最可幾速率第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律31mm'f()O1

2f()O思考:在M-速率分布下有:即:f()O第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律32一般三種速率用途各不相同討論分子的碰撞次數(shù)用說(shuō)明討論分子的平均平動(dòng)動(dòng)能用討論速率分布一般用第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律33由M－分布律及壓強(qiáng)公式可以導(dǎo)出理想氣體狀態(tài)方程:第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律34氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例求(2)氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率O(1)試在圖上畫(huà)出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，(2)第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律35根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值。根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解例第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律36根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中,有例證第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律37分子碰壁數(shù)的計(jì)算單位時(shí)間作用于單位面積的分子數(shù)mxdA對(duì)速度在的分子作如圖斜柱體，dt內(nèi)，作用于dA的該組分子數(shù)dt內(nèi)，作用于dA的所有分子數(shù)積分38分子碰壁數(shù)實(shí)用：鍍膜，瀉流,分離同位素（自學(xué)）39§2-3Maxwell-Boltzmann分布律無(wú)外力場(chǎng)時(shí)，氣體內(nèi)n、p、T處處均勻；有外力場(chǎng)時(shí)，氣體內(nèi)n、p不再均勻分布；氣體內(nèi)不同處分子的勢(shì)能不同。一.重力場(chǎng)中粒子按高度的分布非均勻的穩(wěn)定分布hh+dh平衡態(tài)下氣體的溫度處處相同，氣體的壓強(qiáng)為第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律40比較兩式得：——等溫氣壓公式是h=0

處氣體的壓強(qiáng)其中：Ohn積分得：在重力場(chǎng)中，粒子數(shù)密度隨高度增大而減小，m越大，n

減小越迅速；T越高，n

減小越緩慢。第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律41實(shí)驗(yàn)測(cè)得常溫下距海平面不太高處，每升高10m，大氣壓約降低133.3Pa。試用恒溫氣壓公式驗(yàn)證此結(jié)果(海平面上大氣壓按1.013×105Pa計(jì)，溫度取273K)。解例等溫氣壓公式將上式兩邊微分，有第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律42二.Boltzmann分布律平衡態(tài)下溫度為T(mén)的氣體中，位于空間某一小區(qū)間x~x+dx，y~y+dy

，

z~z+dz中的分子數(shù)為它適用于任何形式的保守力場(chǎng)式中εp是位于(x,y,z)處分子的勢(shì)能在勢(shì)場(chǎng)中的分子總是優(yōu)先占據(jù)勢(shì)能較低的狀態(tài)——Boltzmann分布律適用于任何勢(shì)場(chǎng)中任何物質(zhì)的分子及其它微觀粒子第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律43在麥克斯韋速度分布率中，有一因子三.Maxwell-Boltzmann分布律分子在空間的位置分布由勢(shì)能決定：即分子按速度的分布由動(dòng)能決定：第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律44故：平衡態(tài)下溫度為T(mén)的氣體中,速度在區(qū)間vx~vx+dvx

,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

,且位置在區(qū)間x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz內(nèi)的分子數(shù)為——Maxwell-Boltzmann分布律其中是分子的總能量，C是與無(wú)關(guān)的比例因子。第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律45M-B分布律:在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下,任何保守系統(tǒng)在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該狀態(tài)區(qū)間的粒子能量

有關(guān),且與Boltzmann因子成正比.定義分布函數(shù):——Maxwell-Boltzmann分布函數(shù)Maxwell-Boltzmann分布律給出了分子數(shù)按能量的分布規(guī)律，因此，又稱玻耳茲曼能量分布律。46根據(jù)玻耳茲曼分布律,在重力場(chǎng)中,存在于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz

區(qū)間內(nèi),具有各種速度的分子數(shù)為取z

軸垂直向上，地面處z=0，可得在大氣中取一無(wú)限高的直立圓柱體，截面積為A,設(shè)柱體中分子數(shù)為N.設(shè)大氣的溫度為T(mén),空氣分子的質(zhì)量m.求此空氣柱的玻耳茲曼分布律中的n0.解例解得第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律47拉薩海拔約為3600m

，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當(dāng)海平面上的氣壓為1.013×105Pa時(shí)，由等溫氣壓公式得設(shè)人每次吸入空氣的容積為V0,在拉薩應(yīng)呼吸x

次(1)拉薩的大氣壓強(qiáng)；(2)若某人在海平面上每分鐘呼吸17次，他在拉薩呼吸多少次才能吸入同樣的質(zhì)量的空氣。=29×10-3kg/mol解例求則有第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律48§2-4能量均分定理與熱容

一.分子自由度單原子分子可視作質(zhì)點(diǎn)，具有3個(gè)平動(dòng)自由度。剛性雙原子分子可視作由剛性桿連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，具有3個(gè)平動(dòng)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。剛性多原子分子可視作剛體，具有3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。分子結(jié)構(gòu)

分子模型自由度數(shù)目單原子雙原子多原子356質(zhì)點(diǎn)剛體由剛性桿連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)49說(shuō)明⑴分子的自由度不僅取決于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，還取決于溫度。(2)實(shí)際上，雙原子、多原子分子并不完全是剛性的，還有振動(dòng)自由度。但在常溫下將其分子作為剛性處理，能給出與實(shí)驗(yàn)大致相符的結(jié)果，因此可以不考慮分子內(nèi)部的振動(dòng)，認(rèn)為分子都是剛性的。*非剛性雙原子分子具有3個(gè)平動(dòng)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，1個(gè)振動(dòng)自由度。50“常溫”下氣體分子一般采用剛性模型:

單原子分子

i=3; 雙原子分子

i=5非直線多原子分子

i=6“高溫”下振動(dòng)模式及能量不可忽略單原子分子

i=3; 雙原子分子

i=6非直線三原子分子

i=9一般多原子分子i=3N第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律51二.能量均分定理理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為由于氣體分子運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)則性，各自由度沒(méi)有哪一個(gè)是特殊的，因此，可以認(rèn)為氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是平均分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上的。52在溫度為T(mén)

的平衡狀態(tài)下，分子的每個(gè)自由度的平均動(dòng)能均為。推廣：——能量按自由度均分定理說(shuō)明能量按自由度均分定理是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)規(guī)律。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可用玻耳茲曼分布證明。是頻繁碰撞的結(jié)果有局限性：低溫下需要用量子理論！53每個(gè)氣體分子的平均勢(shì)能為每個(gè)氣體分子的平均熱運(yùn)動(dòng)總能量為

若某種氣體分子具有t個(gè)平動(dòng)自由度和r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s個(gè)振動(dòng)自由度，每個(gè)氣體分子平均總動(dòng)能為令i=t+r+2s54氣體分子的平均總動(dòng)能等于氣體分子的平均總能量。即為對(duì)于剛性分子剛性雙原子分子:單原子分子:剛性多原子分子：55三.理想氣體的內(nèi)能內(nèi)能:系統(tǒng)內(nèi)部所有粒子間各種能量的總和.不包括:系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能及系統(tǒng)與外場(chǎng)相互作用的勢(shì)能。內(nèi)能U=粒子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能+粒子間相互作用勢(shì)能對(duì)理想氣體，只包括分子的平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，振動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)勢(shì)能：若不涉及化學(xué)反應(yīng)與核反應(yīng)，則熱力學(xué)系統(tǒng)中理想氣體的內(nèi)能:第二章熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布律56

焦耳定律:理想氣體的內(nèi)能僅僅是溫度的函數(shù)i=t+r+2s每個(gè)氣體分子的平均總能量為1mol理想氣體的內(nèi)能為mol理想氣體的內(nèi)能為57四.理想氣體的摩爾熱容熱量Q：因溫度不同，系統(tǒng)與外界經(jīng)邊界交換的能量（與機(jī)械功不同，無(wú)宏觀位移！）。比熱容c：?jiǎn)挝毁|(zhì)量的物體在溫度升高(或降低)1K時(shí)所吸收(或放出)的熱量，與過(guò)程有關(guān)。熱容C：物體質(zhì)量與比熱容的