高職《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)》系列精品課件7

兩個(gè)重要極限Twoimportantlimits知識(shí)目標(biāo)

1、掌握兩個(gè)重要極限的公式

2、掌握兩個(gè)重要極限在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用能力目標(biāo)會(huì)利用兩個(gè)重要極限求指定函數(shù)和經(jīng)濟(jì)貿(mào)易方面實(shí)際問(wèn)題的極限兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)播放案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記作A6；如此循環(huán)下去，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來(lái)越接近,當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的面積就是圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】該極限問(wèn)題從結(jié)構(gòu)上看，應(yīng)為

從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度看，就是求極限解

正n邊形的面積為（或）從類(lèi)型上看，應(yīng)為兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)o兩個(gè)重要極限

x

1

0.5

0.1

0.01…0.8410.9590.9980.99998…=1(Twoimportantlimits)求解：兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)訓(xùn)練1:求下列函數(shù)的極限

=1=1=1=0兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)歸納：(2)當(dāng)u=f(x)時(shí)，兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)例2求解：解例3兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(1)求解訓(xùn)練2(2)求解兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)解(3)兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)練習(xí):兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)例4求解：兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)例5解兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)訓(xùn)練3解：解：例6兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)解

如前所述，可以通過(guò)求圓的內(nèi)接正n邊形的面積的極限計(jì)算圓的面積，而內(nèi)接正n邊形的面積為引例解決：求半徑為R的圓的面積兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)引例2【銀行信貸問(wèn)題】

某企業(yè)從銀行貸款20萬(wàn)美元，約定以連續(xù)復(fù)利方式計(jì)算利息，且年利率4%，若10年后一次性還本付息，試請(qǐng)你幫助該企業(yè)計(jì)算貸款到期時(shí)還款總額？?jī)蓚€(gè)重要極限(Twoimportantlimits)分析：現(xiàn)有一筆貸款A(yù)0=20萬(wàn)元（稱(chēng)本金），年利率r=4%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)息方式，銀行一年應(yīng)結(jié)算n次（），則每次的利率為r/n,則一年后本金和為10年后的本息和為隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，10年后本息和為=？?jī)蓚€(gè)重要極限(Twoimportantlimits)2、

x10102103104105106…2.592.712.722.722.722.71…

x-10-102-103-104-105-106…2.872.732.722.722.722.71…=e兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)

從上表可以看出，當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)變化的大致趨勢(shì)?？梢宰C明當(dāng)x→∞時(shí)，的極限確實(shí)存在，其值為e=2.71828182845…，即和π一樣，e也是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它們是數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)常數(shù)。1727年，歐拉（L.Euler,瑞士人，1707～1783，18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家）首先用字母e表示了這個(gè)無(wú)理數(shù)。這個(gè)無(wú)理數(shù)精確到20位小數(shù)的值為e=2.71828182845904523536…兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)訓(xùn)練4求下列函數(shù)的極限=e=e=e=e兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)歸納：（1）極限類(lèi)型為（2）必須是的形式，且底數(shù)中的和指數(shù)中的是“倒數(shù)關(guān)系”；（3）中間必須用“+”號(hào)連接=e兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)例7求解例8求解兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)訓(xùn)練5(1)求解解兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)【案例】

人民醫(yī)院1998年5月20日從美國(guó)進(jìn)口一臺(tái)彩色超聲波診斷儀，貸款20萬(wàn)美元，以復(fù)利計(jì)算，年利率4%，2007年5月20日到期，一次還本付息，試確定貸款到期時(shí)還款總額（按連續(xù)計(jì)息）解以年為單位復(fù)利基本計(jì)算公式為若把一年均分為t期計(jì)息，于是n年的本息和為則連續(xù)復(fù)利的復(fù)利公式為所以到期還款總額為兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(三)經(jīng)濟(jì)模型及應(yīng)用(1)復(fù)利與貼現(xiàn)問(wèn)題．

第個(gè)計(jì)息期末的本利和為

若每期結(jié)算次，則此時(shí)每期的利率可認(rèn)為是，容易推得第期末的本利和為

兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(1)復(fù)利與貼現(xiàn)問(wèn)題．

若每期的計(jì)算次數(shù)(即每時(shí)每刻結(jié)算)時(shí)，則第期末的本利和為

即

兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(三)經(jīng)濟(jì)模型及應(yīng)用(1)復(fù)利與貼現(xiàn)問(wèn)題．

【案例】

現(xiàn)將100元現(xiàn)金投入銀行，年利率為1.98%，試求10年末的本利和(不扣利息稅)．解：用離散型復(fù)利公式計(jì)算10年末的本利和為

(元)用連續(xù)型復(fù)利公式計(jì)算10年末的本利和為

(元)．兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(三)經(jīng)濟(jì)模型及應(yīng)用(1)復(fù)利與貼現(xiàn)問(wèn)題．

【案例】

設(shè)年投資收益率為9%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)投資多少元，10年末可達(dá)200萬(wàn)元？解：已知，，代入公式，得(萬(wàn)元)．兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(三)經(jīng)濟(jì)模型及應(yīng)用(2)融資問(wèn)題．【案例】

某企業(yè)或投資50萬(wàn)元，該企業(yè)將投資作為抵押品向銀行貸款，得到相當(dāng)于抵押品價(jià)值的0.75的貸款，該企業(yè)將此貸款再進(jìn)行投資，并將再投資作為抵押品又向銀行貸款，仍得到相當(dāng)于抵押品的0.75的貸款，企業(yè)又將此貸款再進(jìn)行投資，這樣貸款—投資—再貸款—再投資，如此反復(fù)進(jìn)行擴(kuò)大再生產(chǎn)．問(wèn)該企業(yè)共計(jì)可獲投資多少萬(wàn)元？?jī)蓚€(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(三)經(jīng)濟(jì)模型及應(yīng)用(2)融資問(wèn)題．解：萬(wàn)元，代入得

(萬(wàn)元)．兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)(三)經(jīng)濟(jì)模型及應(yīng)用兩個(gè)重要極限(Twoimportantlimits)實(shí)例訓(xùn)練【股票籌資成本問(wèn)題】：在股票市場(chǎng)上，經(jīng)常涉及股票籌資成本問(wèn)題，需要計(jì)算股利逐年增長(zhǎng)的普通股的籌資成本。設(shè)某普通股第一年股利為D，且每年以固定比率G增長(zhǎng)，普通股籌資額為P，籌資費(fèi)用率為F，則普通股成本K可計(jì)算如下：按前面所述的資金現(xiàn)值計(jì)算方法知該股票籌得資