數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章抽樣分布2.7節(jié)充分量

2.712{樣本X中的信息={T(X)中所含樣本的信息+{在知道T(X)后樣本X含有的剩余信息因此T(X)為充分統(tǒng)計(jì)量的要求歸結(jié)要求后一項(xiàng)信息為用統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言描述為，即要P(XA|Tt)3樣本X的條件分布與參數(shù)無(wú)關(guān)，則稱Ｔ(Ｘ)充分統(tǒng)計(jì)量必存順序(次序)統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)4nT(X)

為充分統(tǒng)計(jì)n件概率與參數(shù)無(wú)關(guān).nxit0P(X1x1,X2 ,Xnxn|T5P(X1x1,X2 ,Xnxn|Tt0P(X1x1,X2 ,Xnxn,Tt0)P(X1x1,X2 ,Xnt0-

t0 nt t0

nt t06因此P(X1x1,X2

,Xnxn|T(x)t0)n

xinnt0

xinnn因此TXXi是充分統(tǒng)計(jì)量i 例2.7.2設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是從正態(tài)總體n中抽取的樣nT(X)

Xini

為充分統(tǒng)計(jì)時(shí)X的概率分布與參數(shù)無(wú)關(guān).但是計(jì)算復(fù)其中A是正交陣,8nn1 1 1nn nA

a2naann因

nn1Xi nnnnn,Y X,j,

k

9ii ii由定理2.2.3的證明過(guò)程可

Y2X2Y,Y

,Y1~N( Yi~N(0,1),i2,,，XX(X1,X2, ,Xn性Y1Y1,Y2, Y1,Y2 n/

1

y21(y 2f(y1,y2

22

n)

f(y exp1(y f(y,

,y|y)=f(y1,y2,yn ,yn

fY(1

1

i2i

y2TXX

例2.7.3設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是從指數(shù)分布Exp(中抽取的樣nT(X)

為充分統(tǒng)計(jì)證明：X1的概率密度f(wàn)(x,) xn則X=(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合nf(x,)ne

ii作變

Y1Yn1Xn1XnX1XXnnnTX)Xi 對(duì)原樣本 的充分性等價(jià) 因此只要證明給定Yn=ynTt)(Y1,Y2,…,Yn)的條件密度和無(wú)關(guān)即可 , ,t)=n

,n1n由 T(X)Xi~G(n,nn因此TXXinfT(t)

n

[t

n

[ n給定Tt(Y1,Y2,…,Yn)的條件密nf(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)f(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)n n yi0,yit,i

n [t

[tf(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)n n

[tnTX)Xin例2.7.4設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是從正態(tài)總TXX1不是充分統(tǒng)計(jì)證明：在T(XX1X1,X2,…,Xn的條件密度f(wàn)(x,x ,x|T(x)x)f

,xn,T(x)

f(x ,x)

(x)2

TXX1充分性的判別準(zhǔn)則—— ，TTX)TTX)fx,) 推論2.7.1設(shè)TTX)為S(T) 例2.7.5設(shè)X=(X1,…,Xn)是從正態(tài)總體N(,2中抽取的樣本，

)2T(X)(Xi,Xi)2

為充分統(tǒng)計(jì) XX1X2,

n/

2 exp

)n/

1

2 exp

xi

2xin

其中 根據(jù)因子分解定 T(X)(X,X2為充分統(tǒng)計(jì)量

由

X,

X2

(X,S2

(X,S2例2.7.6設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是從總體nT(X)XiXX1

為充分統(tǒng)計(jì)nf(x,)=P(X1 nnn

其中根據(jù)因子分解定為充分統(tǒng)計(jì)量

T(X)Xinn例2.7.7設(shè)X=(X1,…,Xn)是從均勻分布U(0,中抽取的樣本T(X)X(n) ,

為充分統(tǒng)計(jì)X(X1,X2 f(x,其中

根據(jù)因子分解定理，知TXX(n)為充分統(tǒng)計(jì)量例2.7.8設(shè)X=(X1,…,Xn)是從均勻分U(12,12中抽取的樣本，利用因子分解定理驗(yàn)X不是充分統(tǒng)計(jì)量,Xn,XnX(n),XnX(1)T(X)(X(1),X(n) f(x,

-1/2<x

x(

(n)

其中

根據(jù)因子分解定T(X)(X(1),X(n)為充分統(tǒng)計(jì)量 根據(jù)因子分解定T(X)(X(1),X(n)為充分統(tǒng)計(jì)量若 為充分統(tǒng)計(jì)量則它必能由因子分解定理表示出來(lái)根據(jù)上述證明說(shuō)不能表示

f(x,g(x,的形式 因此，X不是充分統(tǒng)計(jì)量例設(shè)X(X1 ,Xn)是從指數(shù)族中抽取的樣kf(x,)C()exp{Qi()Ti(x)}h(ki則T(X)(T1(X),T2(X ,Tk(X))為充分統(tǒng)計(jì)量證明:樣本X的聯(lián)合密度為kf(x,)C()exp{Qi()ti(x)}h(kig(t(x),)h(kf(x,)C()exp{Qi()ti