2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《相似三角形綜合解答題》專題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《相似三角形綜合解答題》專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接DE，過頂點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G．（1）求證：BG＝DE；（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求的值；（3）在（2）的條件下，求的值．2．如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），CE⊥BD，垂足為E，交邊AB于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時(shí)，求DE，EC的值；（2）設(shè)CD＝x，AF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）當(dāng)△EFD與△EFB相似時(shí)，求線段CD的長．3．如圖△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，射線AD平行于BC，點(diǎn)P、Q分別是射線AD與邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且保持AP＝BQ，過點(diǎn)P作AC平行線分別交AB、BC于點(diǎn)E、F（1）設(shè)AP＝x，AE＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，求AP的長；（3）聯(lián)結(jié)FQ，問：是否可能使△APQ與△BQF相似？若能．請(qǐng)求出此時(shí)AP的長；若不能，請(qǐng)說明理由．4．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，點(diǎn)D在射線BC上，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑畫弧交邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交邊AC于點(diǎn)F，射線ED交射線AC于點(diǎn)G．（1）求證：△EFG∽△AEG；（2）設(shè)FG＝x，△EFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)DF，當(dāng)△EFD是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出FG的長度．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝15cm，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t＝4時(shí)，求線段PQ的長度（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ是等腰三角形？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積等于16cm2？（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ∽△ACB．6．如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）（1）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B＝∠C＝∠APD時(shí)，求證：△ABP∽△PCD．（2）拓展：如圖③，在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝8，CE＝6，則DE的長為．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點(diǎn)D是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出AD的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）①求證：＝；②設(shè)AD＝x，矩形BDEF的面積為，求x的值（可利用①的結(jié)論）8．在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD．（1）如圖1，請(qǐng)連接AC，BD，求證：AC垂直平分BD；（2）如圖2，若∠BCD＝60°，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝60°，AE，AF分別與BD交于G，H，求證：△AGH∽△AFE；（3）如圖3，在（2）的條件下，若EF⊥CD，直接寫出的值．9．某班“手拉手”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)互助小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí)，遇到以下問題，請(qǐng)你逐一加以解答：（1）如圖1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，則EFGH；（填“＞”“＝”或“＜”）（2）如圖2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，求證：＝；（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝3，CD＝5，AD＝7.5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值．10．已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s；若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜3），解答下列問題：（1）如圖①，連接PC，當(dāng)t為何值時(shí)△APC∽△ACB，并說明理由；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P在線段QC的垂直平分線上，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請(qǐng)說明理由．11．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F，過C點(diǎn)作CG∥AD，交BA的延長線于G，過A作BC的平行線交CG于H點(diǎn)．（1）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCH是菱形；（2）求證：△ABC∽△FCD；（2）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面積．12．（1）問題解決如圖（1），AD是等邊三角形△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交邊AB于點(diǎn)M，交射線AC于點(diǎn)N，試證明：△AMN∽△DMA；（2）問題變式如圖（2），AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，交邊AB于點(diǎn)M，交射線AC于點(diǎn)N，設(shè)AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC（x，y≠0）．求證：x+y＝2xy；（3）問題拓展如圖（3），AD是△ABC的中線，當(dāng)G是AD上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)G不與A重合），過點(diǎn)G的直線交邊AB于M′，交射線AC于點(diǎn)N′，設(shè)AG＝nAD，AM′＝x′AB，AN′＝y(tǒng)′AC（x′，y′≠0），試探究x′、y′之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．13．已知AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α．（1）如圖1，α＝60°，探究線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2，α＝120°，探究線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，結(jié)合上面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系為．（直接寫出答案）．14．在平行四邊形ABCD中，AD＝8，DC＝6，∠FED的頂點(diǎn)在BC上，EF交直線AB于F點(diǎn)．（1）如圖1，若∠FED＝∠B＝90°，BE＝5，求BF的長；（2）如圖2，在AB上取點(diǎn)G，使BG＝BE，連接EG，若∠B＝∠FED＝60°，求證：；（3）如圖3，若∠ABC＝90°，點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C'，CC′交BD于點(diǎn)M，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，連接OC'交AD于點(diǎn)G，求AG的長．15．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝CF，連接AE、BF交于點(diǎn)P．（1）如圖①，判斷AE和BF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；（2）如圖②，連接AF，點(diǎn)M是AF中點(diǎn)，若BE＝2，CE＝3，求線段PM的長度；（3）如圖③，作CQ⊥BF于點(diǎn)Q，若△QAB∽△QEC，求證：點(diǎn)E是BC中點(diǎn)．16．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，易知△ACF∽△BCE，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為；（2）【拓展研究】在（1）的條件下，將正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接BE、CE、AF、請(qǐng)猜想線段BE和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）【結(jié)論運(yùn)用】在（1）（2）的條件下，若△ABC的面積為2時(shí)，當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B、E、F點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段AF的長．17．閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，AB＝AD，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∠BEC＝∠BAD＝2∠DEC，探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考，交流了自己的想法：小柏：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠ACB＝∠ABE”；小源：“通過觀察和度量，AE和BE存在一定的數(shù)量關(guān)系”；小亮：“通過構(gòu)造三角形全等，再經(jīng)過進(jìn)一步推理，就可以得到線段AB與BC的數(shù)量關(guān)系”；…老師：“保留原題條件，如圖2，AC上存在點(diǎn)F，使DF＝CF＝kAE，連接DF并延長交BC于點(diǎn)G，就可以求的值”．（1）求證：∠ACB＝∠ABE；（2）探究線段AB與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若DF＝CF＝kAE，求的值（用含k的代數(shù)表示）．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AC、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，聯(lián)結(jié)MN交邊AB于點(diǎn)F，交邊AC于點(diǎn)E．（1）如圖1，連接BN，當(dāng)點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求∠MBN的大小及的值；（2）聯(lián)結(jié)FP，設(shè)CP＝x，S△MPF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域：（3）聯(lián)結(jié)AM，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEF與△ABM是否一定相似？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)求出當(dāng)△AEF與△ABM相似時(shí)CP的長．19．閱讀下列材料，并按要求解答．[模型介紹]如圖①，C是線段AB上一點(diǎn)，E、F在AB同側(cè)，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一個(gè)“K”，我們稱圖①為“K”型圖．[性質(zhì)探究]性質(zhì)1：如圖①，△ACE∽△BFC；[模型應(yīng)用]應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．（1）請(qǐng)你完成性質(zhì)1的證明過程；（2）請(qǐng)解答模型應(yīng)用提出的問題．20．定義：如圖1，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠ABP＝∠PCB（或∠PBC＝∠ACP），則稱點(diǎn)P為等腰△ABC的底角準(zhǔn)卡點(diǎn)．（1）如圖2，△ABC中，若∠BAC＝90°，AB＝AC，連接AP，∠BPA＝90°．（Ⅰ）若P是底角準(zhǔn)卡點(diǎn)．求證：△BPC∽△CPA；（Ⅱ）若AP：BP＝1：2，求證：點(diǎn)P是底角準(zhǔn)卡點(diǎn)．（2）如圖3，點(diǎn)P是等腰△ABC底角準(zhǔn)卡點(diǎn)，AB＝AC．過點(diǎn)A作AD∥BC交BP延長線于點(diǎn)D，連接CD，M是BC的中點(diǎn)，連接PM．求證：∠BPM＝∠ADC．

參考答案1．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DF，∴∠BFD＝90°＝∠BCD，∴∠CBG＝∠CDE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG＝DE；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴點(diǎn)G是CD中點(diǎn)，∴AB＝CD＝2CG，∵AB∥CD，∴△CHG∽△AHB，∴＝，∴；（3）設(shè)CG＝DG＝a，則BC＝2a，BG＝a，∵∠BCG＝∠DFG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴△BCG∽△DFG，∴，∴，GF＝a，由（2）知，HG＝BG＝a，∴＝．2．解：（1）如圖1，∵AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，∴DC＝AC＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∴BD＝＝，∵BD⊥CF，∴S△BCD＝CD?BC＝BD?CE，2×3＝CE，CE＝，由勾股定理得：DE＝＝＝；（2）如圖2，過F作FN⊥AC于N，由勾股定理得：AB＝5，∵FN∥BC，∴△ANF∽△ACB，∴＝，∴，∴FN＝，同理AN＝，∵∠NCF＝∠CBD，∠FNC＝∠DCB＝90°，∴△FNC∽△DCB，∴，∴＝，∴y＝（0＜x＜4）；（3）∵∠DEF＝∠BEF＝90°∴△EFD與△EFB相似，要分兩種情況：①當(dāng)△DEF∽△BEF時(shí)，如圖3，∴∠FDE＝∠FBE，∴BF＝DF，∴DE＝BE＝CE，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∴DC＝BC＝3，②當(dāng)△DEF∽△FEB時(shí)，如圖4，∴∠FDE＝∠BFE，∠DFE＝∠FBE，∵∠FDE+∠DFE＝90°，∴∠DFB＝90°，∴∠DFA＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AFD∽△ACB，∴，∴，5y＝16﹣4x①，由（2）知：y＝②，由①②得：，2x2+9x﹣18＝0，（2x﹣3）（x+6）＝0，x1＝，x2＝﹣6（舍），∴CD＝，綜上所述，當(dāng)△EFD與△EFB相似時(shí)，線段CD的長是或3．3．解：（1）∵AC∥PF，AP∥CF，∴四邊形ACFP是平行四邊形，∴AP＝CF＝x，BF＝6﹣x，∵AE＝y(tǒng)，AB＝5，∴BE＝5﹣y，∵AP∥BF，∴＝，∴＝，∴y＝x．（2）作AH⊥BC于H．∵AC＝AB，AH⊥CB，∴CH＝BH＝3，∴AH＝＝4，∴cos∠B＝，①當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，∵AP∥BC，∴∠PAQ＝∠B，∴cos∠PAQ＝cos∠B＝＝，∴＝，解得x＝．②當(dāng)∠AQP＝90°，易知cos∠PAQ＝＝，∴＝，解得x＝，綜上所述，當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，AP的長為或．（3）連接FQ．∵AP∥BC，∴∠PAQ＝∠FBQ，∴當(dāng)＝，△APQ與△BQF相似∴＝，方程無解，此種情形不存在．當(dāng)＝，△APQ與△BQF相似∴＝，解得x＝，∴當(dāng)PA＝時(shí)，△APQ與△BQF相似．4．（1）證明：∵ED＝BD，∴∠B＝∠2，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°．∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠A＝∠1，∵∠EGF＝∠AGE，∴△EFG∽△AEG；（2）解：作EH⊥AF于點(diǎn)H，如圖1，在Rt△ABC中，AB＝＝2，∵△EFG∽△AEG，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴Rt△AEF∽R(shí)t△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴＝＝＝，∴EG＝2x，AG＝4x，∴AF＝AG﹣FG＝3x，∴EF＝x，AE＝x，∵EH∥BC，∴＝＝，即＝＝，∴EH＝x，AH＝x，∴y＝FG?EH＝?x?x＝x2（0＜x≤），（3）解：CG＝AG﹣AC＝4x﹣4，GH＝AG﹣AH＝4x﹣x＝x，當(dāng)ED＝EF＝x時(shí)，如圖1，則BD＝DE＝x，∴DC＝2﹣x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；當(dāng)DE＝DF時(shí)，如圖2，作DM⊥EF于M，則EM＝EF＝x，∵∠DEM＝∠A，∴△DEM∽△BAC，∴＝，即＝，解得DE＝x，∴BD＝DE＝x，∴CD＝2﹣x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；當(dāng)FE＝FD時(shí)，如圖3，作FN⊥EG于N，則EN＝DN，∵∠NEF＝∠A，∴△NEF∽△CAB，∴＝，即＝，解得EN＝x，∴DE＝2EN＝x，∴BD＝DE＝x，∴CD＝2﹣x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；綜上所述，F(xiàn)G的長為或或．5．解：（1）當(dāng)t＝4時(shí)，由運(yùn)動(dòng)知，AP＝4cm，PC＝AC﹣AP＝6cm、CQ＝2×4＝8cm，∴PQ＝＝10cm；（2）由運(yùn)動(dòng)知，AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，∵△PCQ是等腰三角形，∴PC＝CQ，∴10﹣t＝2t，∴t＝；（3）由運(yùn)動(dòng)知，AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，∴S△PQC＝PC×CQ＝t（10﹣t）＝16，∴t1＝2，t2＝8，當(dāng)t＝8時(shí)，CQ＝2t＝16＞15，∴舍去，∴當(dāng)t＝2時(shí)，△PQC的面積等于16cm2；（4）由運(yùn)動(dòng)知，AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，∵△PCQ∽△ACB，∴，∵AC＝10，BC＝15，∴，∴t＝．6．解：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△DCP．（1）探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD，（2）拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，∴，∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，∴BP＝CP＝4∵CE＝6，∴，∴BD＝，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，即AC⊥BC且AC＝BC＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣＝，AE＝AC﹣CE＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝．故答案是：．7．解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案為：（2，2）．（2）存在．理由如下：如圖1，連接BE，取BE的中點(diǎn)K，連接DK、KC．∵∠BDE＝∠BCE＝90°，∴KD＝KB＝KE＝KC，∴B、D、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠DCE，∠EDC＝∠EBC，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°．①如圖1中，當(dāng)E在線段CO上時(shí)，△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED＝EC，∴∠DBE＝∠DCE＝∠EDC＝∠EBC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴當(dāng)AD＝2時(shí)，△DEC是等腰三角形．②如圖2中，當(dāng)E在OC的延長線上時(shí)，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2．（3）①證明：由（2）可知，當(dāng)E在線段CO上或在OC的延長線上時(shí)，B、D、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠DCO＝30°，∴tan∠DBE＝，∴＝．②如圖2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x（0＜x＜4），∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝?，∴矩形BDEF的面積為[]2＝（x2﹣6x+12），∴當(dāng)矩形BDEF的面積為時(shí)，有（x2﹣6x+12）＝，解得x1＝2，x2＝4（不合題意），∴x的值為2．8．（1）證明：如圖1中，連接BD、AC．∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴AC是線段BD的垂直平分線，即AC垂直平分線段BD．（2）如圖2中，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ADM．連接AC交BD于O．∵B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠DAM＝60°，∴∠FAE＝∠FAM，∵∠ADM＝∠ABE＝90°＝∠ADF，∴F、D、M共線，∵FA＝FA，AE＝AM，∴△FAE≌△FAM，∴∠AFE＝∠AFM，∵∠CAD＝∠CAB＝60°＝∠EAF，∴∠GAO＝∠DAF，∵∠AGO+∠GAO＝90°，∠AFD+∠FAD＝90°，∴∠AGO＝∠ADF，∴∠AGH＝∠AFE，∵∠GAH＝∠FAE，∴△AGH∽△AFE．（3）解：如圖3中，連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．∵EF⊥CD，∴∠EFD＝90°，由（2）可知∠AFD＝∠AFE＝∠AGO＝45°，∵∠ADF＝90°，∴AD＝DF，設(shè)HM＝AM＝a，則DH＝2a，DM＝a，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，AD＝（1+）a，∴CD＝BD＝AD＝（3+）a，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，AD＝（1+）a，∴AO＝OG＝AD＝a，OD＝OA＝a，∴OH＝OD﹣DH＝a﹣2a＝a，∴GH＝OG+OH＝a，∴＝＝．9．解：（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AP∥GH，交BC于P，過點(diǎn)B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AD∥BC．AB＝BC，∠ABP＝∠C＝90°∴四邊形AGHP、四邊形BEFQ都是平行四邊形，∴AP＝GH，EF＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠PBT+∠ABT＝90°，∠ABT+∠BAT＝90°，∴∠CBQ＝∠BAT，在△ABP和△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∴EF＝GH，故答案為＝．（2）過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴＝，∴＝；（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，則四邊形ABSR是平行四邊形．∵∠ABC＝90°，∴?ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的結(jié)論可得＝，設(shè)SC＝x，則AR＝BS＝3+x，∵∠ADC＝∠R＝∠S＝90°，∴∠ADR+∠RAD＝90°，∠ADR+∠SDC＝90°，∴∠RAD＝∠CDS，∴△ARD∽△DSC，∴＝＝＝＝，∴DR＝x，DS＝（x+3），在Rt△ARD中，AD2＝AR2+DR2，∴7.52＝（x+3）2+（x）2，整理得13x2+24x﹣189＝0，解得x＝3或﹣，∴AR＝6，AB＝RS＝，∴＝＝．10．解：（1）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，∴AB＝6，由運(yùn)動(dòng)知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t＝；（2）存在，理由：如圖②，由運(yùn)動(dòng)知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，CQ＝3﹣t，∵點(diǎn)P是CQ的垂直平分線上，∴QM＝CM＝CQ＝（3﹣t）＝（3﹣t），∴AM＝AQ+QM＝t+（3﹣t）＝（t+3）過點(diǎn)P作PM⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴PM∥BC，∴，∴∴t＝1（3）不存在，理由：由運(yùn)動(dòng)知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，假設(shè)線段BC上是存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，∴PQ∥BG，PQ＝BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t＝，PQ＝，∴BP＝2t＝3，∴PQ≠BP，∴平行四邊形PQGB不可能是菱形．即：線段BC上不存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形．11．（1）證明：∵CG∥AD，AH∥CD，∴四邊形ADCH是平行四邊形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∴四邊形ADCH是菱形；（2）解：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，∴BE＝CE，∴∠B＝∠FCD，∴△ABC∽△FCD；（3）解：過A作AM⊥CD，垂足為M．∵AD＝AC，∴DM＝CM，∴BD：BM＝2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AM，∴△BDE∽△BMA，∴ED：AM＝BD：BM＝2：3，∵DE＝3，∴AM＝4.5，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝（）2＝．∵S△ABC＝×BC×AM＝×8×4.5＝18，∴S△FCD＝S△ABC＝．12．證明：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，AD是等邊三角形△ABC的中線，∴∠MAD＝30°，∠ACD＝60°，∵將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，∴∠CDN＝30°，DCN＝120°，∴∠ANM＝30°，∵∠AMD＝∠NMA，∴△AMN∽△DMA；（2）如圖2，作CF∥AB交MN于點(diǎn)F，∴△CFN∽△AMN，∴＝，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵CF∥AB，∴∠DBM＝∠DCF，∠DMB＝∠DFC，在△CFD和△BMD中，，∴△CFD≌△BMD（AAS），∴BM＝CF．∴＝＝，∴＝，即＝，∴x+y＝2xy；（3）x′、y′之間的數(shù)量關(guān)系為：nx′+ny′＝2x′y′．理由如下：如圖3，過點(diǎn)D作M′N′的平行線，交直線AB于點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N，則＝＝，設(shè)AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC，∴＝n＝，即x＝，y＝，由（2）知x+y＝2xy；∴+＝．即nx′+ny′＝2x′y′．13．（1）CE＝AD，理由為：證明：連接BC，BE，如圖1所示，∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α＝60°，∴△ABC與△BDE都為等邊三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，DB＝BE，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD與△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD；（2）CE＝AD，理由為：連接BC、BE，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，如圖2所示，∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α＝120°，∴△ABC與△DBE為相似的等腰三角形，即∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，且＝，∴△ABD∽△CBE，∴＝，在Rt△ABF中，由∠ABF＝30°，得到∠BAF＝60°，∴＝＝2sin60°＝，∴＝，即CE＝AD；（3）CE＝2ADsin．理由為：連接BC、BE，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，如圖3所示，∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α，∴△ABC與△DBE為相似的等腰三角形，即∠ABC＝∠DBE＝＝90°﹣，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，且＝，∴△ABD∽△CBE，∴＝，在Rt△ABF中，由∠ABF＝＝90°﹣，得到∠BAF＝，∴＝＝2sin，∴＝2sin，即CE＝2ADsin．故答案為：CE＝2ADsin．14．（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝8，∵BE＝5，∴EC＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，∵∠DEF＝90°，∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠BEF＝∠EDC，∴△EBF∽△DCE，∴＝，∴＝，∴BF＝．（2）證明：如圖2，在AB上取點(diǎn)G，使BG＝BE，連接EG，則△BEG為等邊三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝60°，∴∠EGF＝180°﹣∠BGE＝120°．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠B＝60°，∴∠C＝120°＝∠EGF，∴∠CED+∠CDE＝60°．∵∠DEF＝60°，∠BEG＝60°，∴∠GEF+∠CED＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠CDE＝∠GEF，∴△CDE∽△GEF，∴＝，∵BE＝GE，∴＝．（3）解：如圖3中，由題意得，BD為線段CC'的垂直平分線，設(shè)CC'與BD交點(diǎn)為M，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，∴BD＝＝10，OC＝AC＝BD＝5，CM＝＝，∴OM＝＝，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為CC'的中點(diǎn)，∴AC′＝2OM＝，且AC'∥BD，∴△AGC'∽△DGO，∴＝＝＝，∴AG＝?AD＝．15．解：（1）AE＝BF，AE⊥BF，證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABP+∠CBF＝90°∴∠BAE+∠ABP＝90°∴∠APB＝90°，∴AE⊥BF；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC＝AD，由（1）知，AE＝BF，∵BE＝2，CE＝3，BE＝CF，∴DF＝DC﹣CF＝BC﹣BE＝CE＝3，AD＝BC＝BE+CE＝2+3＝5，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF＝＝＝，在Rt△APF中，∠APF＝90°，點(diǎn)M是AF中點(diǎn)，∴；（3）∵CQ⊥BF，∴∠BQC＝∠BCF＝90°，又∠CBQ＝∠FBC，∴△CBQ∽△FBC，∴，∵AB＝BC，BE＝CF，∴，∵△QAB∽△QEC，∴，∴，∴，∴BE＝CE，∴點(diǎn)E是BC中點(diǎn)．16．解：（1）BE＝AF，理由是：在Rt△ABC中，AB＝AC，根據(jù)勾股定理得，BC＝AB，又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AB＝AD，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF＝EF＝AD，∴AB＝AF，即BE＝AF，故答案為：BE＝AF；（2）BE＝AF．證明：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴＝＝，∴BE＝AF；（3）∵S△ABC＝＝2，∴AB＝2，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)，如圖2，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根據(jù)勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝﹣1，②當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時(shí)，如圖3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴＝＝，∴BE＝AF，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根據(jù)勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF+EF＝，∴BE＝AF，∴AF＝+1．即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，線段AF的長為﹣1或．17．（1）證明：∵∠BEC＝∠BAD，∠BAD＝∠BAE+∠DAE，∠BEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠DAE＝∠ABE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABE；（2）解：BC＝2AB，理由如下：證明：在BE上取點(diǎn)H，使BH＝AE，∵AB＝AD，∠HBA＝∠EAD，BH＝AE，∴△ABH≌△DAE（SAS），∴∠AHB＝∠AED，∵∠AHB+∠AHE＝180°，∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AHE＝∠DEC，∵∠BEC＝2∠DEC，∴∠BEC＝2∠AHE，∵∠BEC＝∠AEH+∠AHE，∴∠AEH＝∠AHE，∴AE＝EH，∴AE＝EH＝BH，∴BE＝2AE，∵∠ABE＝∠ACB，∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝＝，∴BC＝2AB；（3）解：如圖2，連接BD交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AK⊥BD于點(diǎn)K，∵AD＝AB，∴DK＝BD，∠AKD＝90°，∵AD＝AB＝BC，∴＝＝，∵AD∥BC，∴∠ADK＝∠CBD，∴△ADK∽△CBD，∴∠BDC＝∠DKA＝90°，∵DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵∠BDC＝90°，∴∠FDC+∠QDF＝90°，∠DQF+∠FCD＝90°，∴∠QDF＝∠DQF，∴DF＝FQ，設(shè)AE＝a，則DF＝CF＝QF＝ka，∵AD∥BC，∴△DAQ∽△BCQ，∴＝＝，∴AQ＝CQ＝CF＝QF＝ka，∴AC＝3ka，∵△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB＝＝a，同理：△AFD∽△CFG，∴＝＝2，∴FG＝DF＝ka，∴＝．18．解：（1）如圖（1），連接BN，∵點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)，∴CP＝BP＝BC＝1，∵點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于AC對(duì)稱，∴CM＝CP＝1∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于AB對(duì)稱，∴BP＝BN＝1，∠ABN＝∠ABC＝45°，∴∠MBN＝90°，BM＝CM+BC＝3∴＝；（2）如圖（2），過點(diǎn)F作FG⊥BC，設(shè)PG＝m，∴BG＝BP﹣PG＝2﹣x﹣m，MG＝MP+PG＝2x+m，在Rt△BFG中，∠FBG＝45°，∴FG＝BG＝2﹣x﹣m，在Rt△FMG中，tanM＝＝，在Rt△MNB中，tanM＝＝，∴，∴m＝，∴FG＝2﹣x﹣∴y＝S△MPF＝MP?FG＝×2x×[2﹣x﹣]＝（0＜x＜2）；（3）△AEF∽△BAM，理由：如圖（3），連接AM，AP，AN，BN，∵點(diǎn)P關(guān)于直線AC、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，∴AM＝AP＝AN．∠MAC＝∠PAC，∠PAB＝∠NAB，∵∠BAC＝∠PAC+∠PAB＝45°，∴∠MAN＝∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB＝2（∠PAC+∠PAB）＝90°，∴∠AMN＝45°＝∠ABC，∵∠AFE＝∠ABC+∠BMF，∠AMB＝∠AMN+∠BMF，∴∠AFE＝∠AMB，∵∠EAF＝∠ABM＝45°，∴△AEF∽△BAM．19．（1）證明：如圖①中，∵∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠F+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠F，∴△ACE∽△BFC；（2）解