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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是()A. B. C. D.2.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.3.1777年,法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時,在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.4.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.5.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.26.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.7.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.8.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)9.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},則?R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)10.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為,點.已知動點在雙曲線的右支上,且點不共線.若的周長的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知數(shù)列的首項,且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,滿足,其中,,則的值為_______________.14.已知為等比數(shù)列,是它的前項和.若,且與的等差中項為,則__________.15.已知拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點為,直線與交于,兩點,若,則實數(shù)__________.16.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時,fx+a19.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點,求兩交點間的距離.20.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點,且與軸相交于點.(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.21.(12分)第十四屆全國冬季運動會召開期間,某校舉行了“冰上運動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0022.(10分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時,.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關(guān)系,再由三點共線,又得到一個關(guān)于的關(guān)系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識,結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計概率,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱;在,上單調(diào)遞增,且在時使得;又,,所以選項成立;,比離對稱軸遠,可得,選項成立;,,可知比離對稱軸遠,選項成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、C【解析】
推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.6、B【解析】
由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.7、B【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,如圖:
直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,
∴幾何體的體積,故選B.點睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.8、D【解析】
當(dāng)時,,∴f(x)不關(guān)于直線對稱;當(dāng)時,,∴f(x)關(guān)于點對稱;f(x)得周期,當(dāng)時,,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項.9、D【解析】
求函數(shù)的值域得集合,求定義域得集合,根據(jù)交集和補集的定義寫出運算結(jié)果.【詳解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴?R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題,涉及到的知識點有函數(shù)的定義域,函數(shù)的值域,集合的運算,屬于基礎(chǔ)題目.10、A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.11、A【解析】
設(shè)直線為,用表示出,,求出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設(shè)直線為,則,,而滿足,那么設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以故選:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.12、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時,,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;B:當(dāng)時,,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;C:當(dāng)時,因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當(dāng)不是等差數(shù)列時,一定有,故本說法正確;D:當(dāng)時,若時,顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,判斷出,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),列出等式,求出和的值即可.【詳解】解:由,其中,,可得,則,令,,可得.①又令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得,所以.②根據(jù)①②得出,.所以.故答案為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,由于與的等差中項為,則,則,,,,,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由于直線過拋物線的焦點,因此過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得,從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦,再求得正切即為直線斜率.注意對稱性,問題應(yīng)該有兩解.【詳解】直線過拋物線的焦點,,過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義知,.因為,所以.因為,所以,從而.設(shè)直線的傾斜角為,不妨設(shè),如圖,則,,同理,則,解得,,由對稱性還有滿足題意.,綜上,.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的焦點弦問題,掌握拋物線的定義,把拋物線上點到焦點距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵.16、【解析】
先把復(fù)數(shù)進行化簡,然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解,利用復(fù)數(shù)的運算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見詳解;(2).【解析】
(1)取中點為,通過證明//,進而證明線面平行;(2)取中點為,以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系,求得兩個平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點,連結(jié),,如下圖所示:在中,因為為的中點,,且,又為的中點,,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點,連結(jié),,則,平面,以為原點,分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則,,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量,則,則,令.則,同理得平面的一個法向量為,則,故平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,屬綜合中檔題.18、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】
(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論,即可得出單調(diào)性.
(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時,0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時,a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時,x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時,f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在綜上:當(dāng)a≤0時,f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1e時,f(x)在(-∞,lna),自a=1e時,f(x)在當(dāng)a>1e時,f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因為xex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時,0≤-1當(dāng)x>-1時,a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因為h'(x)=e即hx=e又因為h0=0,所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上,a的取值范圍為-∞,1.解法二:(1)同解法一;(2)令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時,g'(x)≥0,則g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1當(dāng)0<a≤1時,令h(x)=e因為h'(x)=2ex+x又因為h-1=-a<0,所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘極小值↗g==-e當(dāng)a>1時,g(0)=-a+1<0,不滿足題意.綜上,a的取值范圍為-∞,1.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.19、(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,進而可判斷出曲線的形狀,在曲線的方程兩邊同時乘以得,由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,由此可判斷出曲線的形狀;(2)由直線過圓的圓心,可得出為圓的一條直徑,進而可得出.【詳解】(1),則曲線的普通方程為,曲線表示一條直線;由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.所以,曲線是圓心為,半徑為的圓;(2)由(1)知,點在直線上,直線過圓的圓心.因此,是圓的直徑,.【點睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線截圓所得弦長的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)或;(2)見解析【解析】
(1)由已知條件利用點斜式設(shè)出直線的方程,則可表示出點的坐標(biāo),再由的關(guān)系表示出點的坐標(biāo),而點在橢圓上,將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率;(2)設(shè)出兩點的坐標(biāo),則點的坐標(biāo)可以表示出,然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程,消元后得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,再結(jié)合直線的方程,化簡可得結(jié)果.【詳解】(1)由條件可知直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為,則,由,有,所以,由在橢圓上,則,解得,此時在橢圓內(nèi)部,所以滿足直線與橢圓相交,故所求直線方程為或.(也可聯(lián)立直線與橢
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