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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.12.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,3.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.4.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)6.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.7.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件8.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量=(-4,3),=(6,m),且,則m=__________.14.已知,且,則__________.15.已知等差數(shù)列滿足,,則的值為________.16.如圖,、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是拋物線上上一點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,.(1)求拋物線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,若、、四點(diǎn)共圓,求直線的方程.19.(12分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點(diǎn),平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.20.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.21.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元?說(shuō)明你的理由.22.(10分)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,從流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖(如圖1):規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品,在的為優(yōu)等品,在的為特優(yōu)品,銷售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損元,優(yōu)等品每件盈利元,特優(yōu)品每件盈利元,以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.(1)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn);(2)該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年?duì)I銷費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷售量(單位:萬(wàn)件)的影響,對(duì)該企業(yè)近年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量,數(shù)據(jù)做了初步處理,得到的散點(diǎn)圖(如圖2)及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中,,,.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,可以作為年銷售量(萬(wàn)件)關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用(萬(wàn)元)的回歸方程.①求關(guān)于的回歸方程;②用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi),才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大?(收益銷售利潤(rùn)營(yíng)銷費(fèi)用,取)附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.2、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過(guò)的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過(guò)的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】
求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根,換元處理令t,對(duì)g(t)進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時(shí),g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個(gè)不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.6、D【解析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋蓡握{(diào)遞增,則(),解得(),當(dāng)時(shí),D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)間,A,B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).7、A【解析】
向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計(jì)算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?,所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計(jì)算過(guò)程要注意.9、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.10、D【解析】
將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過(guò)定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線問(wèn)題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,曲線的切線問(wèn)題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.11、A【解析】
試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點(diǎn):1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系12、D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8.【解析】
利用轉(zhuǎn)化得到加以計(jì)算,得到.【詳解】向量則.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.14、【解析】試題分析:因,故,所以,,應(yīng)填.考點(diǎn):三角變換及運(yùn)用.15、11【解析】
由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得,由即可求出公差,即可求解;【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,,又因?yàn)椋獾霉蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)三角形中位線證得,結(jié)合判斷出垂直平分,由此求得的值,結(jié)合求得的值.【詳解】∵,∴為中點(diǎn),,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】
(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中點(diǎn),∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ,則cosθ,∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為.(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(xiàn)(0,0,2),D(0,2,0),設(shè)P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),設(shè)平面APC的法向量(x,y,z),則,取x=1,得(1,﹣1,),平面ADP的法向量(1,0,0),∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,∴|cos|,解得,∴P(0,,),∴PF的長(zhǎng)度|PF|.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角,根據(jù)二面角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、(1)(2)【解析】
(1)由拋物線的定義可得,即可求出,從而得到拋物線方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,列出韋達(dá)定理,表示出中點(diǎn)的坐標(biāo),若、、、四點(diǎn)共圓,再結(jié)合,得,則即可求出參數(shù),從而得解;【詳解】解:(1)由拋物線定義,得,解得,所以拋物線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,則,.由,,得,所以.因?yàn)橹本€的斜率為,所以直線的斜率為,則直線的方程為.由解得.若、、、四點(diǎn)共圓,再結(jié)合,得,則,解得,所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用,直線與拋物線綜合問(wèn)題,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)根據(jù),分別是,的中點(diǎn),即可證明,從而可證平面;(2)先根據(jù)為正三角形,且D是的中點(diǎn),證出,再根據(jù)平面平面,得到平面,從而得到,結(jié)合,即可得證.【詳解】(1)∵,分別是,的中點(diǎn)∴∵平面,平面∴平面.(2)∵為正三角形,且D是的中點(diǎn)∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定,面面垂直的性質(zhì)等,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),中檔題.20、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù),,成等比數(shù)列,有,結(jié)合公差,,求得通項(xiàng),再解不等式.(2)根據(jù)(1),用裂項(xiàng)相消法求和,然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故滿足題意的最大自然數(shù)為.(2),∴...從而當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,所以,由,知不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算和裂項(xiàng)相消法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會(huì)超過(guò);詳見解析【解析】
(1)利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)
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