高考試題的探究鱉臑幾何體的試題賞析與探究文章修改稿

岳

峻

阮艷艷

安徽省太和縣太和中學(xué)

2366002015

年湖北高考數(shù)學(xué)之后，廣大考生感言：陽馬、鱉臑，想說愛你不容易；中學(xué)教師考后反思：陽馬、鱉臑，不說愛你又沒道理；試題評價專家說：湖北高考數(shù)學(xué)試題注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)文化.陽馬、鱉臑是什么呢？1 試題再現(xiàn)

文科試題《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉

PE

C臑.

在如圖

所示的陽馬

中，側(cè)棱

底面

,且

,點

E是

的中點，

連接DE,

,

BE．(I)證明：DE

平面

.

試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，(II)記陽馬

的體積為

，四面體

EBCD

的體積為

，求

的 值．

理科試題《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖

，在陽馬P

中，側(cè)棱底

圖2面

，且

，過棱

的中點E，作EF

交

于點F

，連接DE,

DF

,

,

BE.(I)證明：平面DEF．試判斷四面體DBEF

是否為鱉臑，若是，(II)若面DEF

與面

所成二面角的大小為

π，求

的值． 2 鱉臑的史料2.1 史料陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑三而以名云。中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實據(jù)半，故云六2.2 闡釋圖3再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個.以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬.余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.3 試題賞析

圖43.1 生僻字問題P

所具備的特點能夠完全理字不會對考生解題帶來困擾．鱉臑，并沒鬧！3.2 教材溯源北京師范大學(xué)出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修》的“第一章

立體幾何初步”的“第六節(jié)

垂直關(guān)系”的例題（第

A

B頁）：

圖5如圖

中，

為所在平面外一點，平面

。問：四面體中有幾個直角三角形？題（第

頁）：

中得出幾組互相垂直的平面？讓同學(xué)們更進一步認(rèn)識這一特殊幾何體。

進一步認(rèn)識這一特殊幾何體。

B圖6教材緊接著在隨后的例題

中就給出了以鱉臑為載體的幾何命題的證明問題（第

頁）：如圖

，為⊙所在平面為

，

于

，C為⊙上異于，的一點。求證：平面

平面PBC。直中的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用。3.3 設(shè)計理念普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，而

2015

年湖北卷就很恰當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化價值上的考查。命題者生的閱讀能力、審題能力和應(yīng)用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯命題組的博學(xué)與智慧．尤其是理科第19

題、文科第20

題，創(chuàng)新于數(shù)學(xué)史料的加工，以陽馬和鱉臑為載體進行命題，來源于教材又囿于教材，彰顯數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)味道正，文化氣息濃，讓“枯燥”的高考試卷多了幾分生氣和靈性，給人耳目一新的感覺．4 鱉臑幾何體的性質(zhì)的探究4.1 鱉臑幾何體中的垂直關(guān)系

如圖

，鱉臑幾何體P

中，平面

，

A

B

，

AM

于M

，

PC于N

．（）證明：

平面；（）證明：

平面AMN

；（）證明：

AMN

；（）證明：

MN．證明

（平面

，

平面

，又

，I

,所以

平面；（）因為

平面，

平面，所以

，又

PC，PCI

C，所以

平面PBC，則

，又AM

，所以

平面AMN

；（）因為

平面AMN

，所以

AMN

．（）因為

平面，所以平面PBC

平面，又

PC，所以

平面PBC，則

MN，又

平面AMN

，所以

MN，評注 圖形中異面直線

與的距離等于線段

的長度；異面直線與的距離等于線段MN的長度；4.2 鱉臑幾何體中的空間角如圖

為與斜線的夾角，

為與斜線在底面的射影的夾角，

為與底面所成的角

，為二面角C

的平面角，

為直線

與平面

所成的角，

為直線

PC與底面

所成的角，

為直線

A

B圖8

.PC與平面

所成的角，則

.（）

；（2）

；（）

；（4）

；（5）

.證明 （）

；

（2）

； （）

；

（4）

；

（5）過

C

作

于

，連接

，則

平面

，

，

評注 圖形中二面角

P

的平面角的大小等于，二面角C

的平面角的大小等于

，二面角C的平面角的大小等于

；直線

與平面

所成的角為

，直線

與平面

PBC

所成的角為

與平面

所成的角為

與平面所成的角為

，直線與平面PBC所成的角為

. 5 鱉臑幾何體模型的應(yīng)用5.1 2015

湖北真題評析例1 （同

文科試題）解析 （I）因為底面

，所以

PE

， C由底面

為長方形，有

，

而I

，所以BC

平面

.

而DE平面

，所以

DE.又因為

，點E是

的中點，所以DE

PC.而PCI

C，所以DE

平面.由

平面，DE

平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是,BCE,DEC

,DEB.（II）因為底面

，

是陽馬

的高，又點E是PC的中點，則點E到底面

的距離為的

，由于

，所以

．

P

F

E例2 （同

理科試題）解析 （I）同例

證明DE

平面.而DE

平面DEF，所以平面DEF

平面

C

.而平面DEF平面

EF

，

EF，所以平面DEF

.由DE

平面，

平面DEF

，可知四面體

BDEF

的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF

是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.（II）因為平面DEF

，底面

，則平面DEF

與平面

，所成二面角的平面角即為與所成的角不妨設(shè)

，則

，在中,

，故

．5.2 鱉臑在手，橫掃立體幾何試題鱉臑幾何體不僅覆蓋了立體幾何中點、線、面的各種位置關(guān)系，以及各種空間角的計算，又突出了“垂直”這個橫貫立體幾何知識的系的十分重要的基本圖形，也是研究棱錐、棱臺的基本模型。例

已知

在

內(nèi)，

P，PE

于

E，

PF

于F

，PE

PF，

，求證：在的平分線上（即

）．

解 析 因 為

E

BPE

,PF

,

，由三垂線定理

A

F

逆定理知：

,

，

因為PE

PF

,

，所以≌PAF，則

，又因為

，所以

，故

．評注 這個角兩邊夾角相等，那么斜線在平 E

面上的射影是這個角的平分線所在直線．本題圖形中的三棱錐P就是鱉臑幾何體，顯然，這個三棱錐中蘊含著棱錐、棱臺的所有要素。例

（

新課標(biāo)

I）如圖，四邊形為菱形，

為

與

交點，BE

平面

.(1)證明：平面平面BED；若

o，

EC，三棱錐E的體積為

，求該三棱錐的側(cè)面積.解析 (1)因為四邊形為菱形，所以

，又BE

平面

，所以幾何體E

是鱉臑，由鱉臑幾何體的垂直關(guān)系性質(zhì)可知

平面BEG,又

平面，所以平面平面BED.

因為

o，

EC，

CE，所以

，因為三棱錐

E的體積為

，所以鱉臑幾何體

E

的體積為

.設(shè)

,則

,

,

CE

，BE

，所以E

的體積為

BE

，所以△的面積為，△

的面積與△ECD的面積均為 .故三棱錐

E

的側(cè)面積為

.

E

F

CC

例

（

新課標(biāo)Ⅱ）如圖

，長方體

C

中，

，

，

，點E，F(xiàn)

分別在

, 上，E

F

，過點E，F(xiàn)

的平面

與此長方體的面相交，交線圍 成一個正方形．(I)在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法(II)求直線

與平面

所成角的正弦值.

E

FQ

M

解析 (I)交線圍成的正方形EHGF如圖

(II)如圖

，作

于M

,則

E

，

；因為四邊形EHGF

為正方形,所以

EF

，于是

，所以

.作

EH于，連接

，則三棱錐QEF就是鱉臑幾何體，其中就是

與平面EHGF

所成角，設(shè)

QFE

,

,AFE

,

由

鱉

臑

幾

何

體

的

性

質(zhì)

，

則

，又

，則

，

故

與平面

EHGF

所成角的正弦值為

FE

.例

（

山東）如圖

，在三棱臺

DEF中，DE，

，分別為，

的中點．求證：

//平面FGH；若CF

平面，

，CF

DE，

，求平面FGH與平面所成的角（銳角）的大?。馕?略.由

，

分別為，的中點，所以

∥

，因為

，所以

，又CF

平面，所以幾何體F

EHC是鱉臑幾何體；假設(shè)平面FGH與平面所成的角為

，F(xiàn)HC

,FGC

，則由鱉臑幾何體的性質(zhì)可知：

，又

，所