中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)-數(shù)學(xué)建模

中國(guó)人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)和人口的結(jié)構(gòu)分析摘要本文是在已知國(guó)家政策和人口數(shù)據(jù)的前提下對(duì)未來(lái)人口的發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)和評(píng)估，選擇了兩種模型分別對(duì)人口發(fā)展的短期和長(zhǎng)期進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型一中我們?cè)谌丝谧铚鲩L(zhǎng)模型logistic模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，彌補(bǔ)了logistic原始模型僅僅能表示環(huán)境對(duì)人口發(fā)展趨勢(shì)影響的缺陷，加入了社會(huì)因素的影響作為改進(jìn)，保證了logistic改進(jìn)模型的有效性和短期預(yù)測(cè)的正確性。多次運(yùn)用擬合的方法（非線性單元擬合，線性多元擬合）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，得到的改進(jìn)模型對(duì)短期預(yù)測(cè)具有極高的準(zhǔn)確性，證明了我們的修正方式與模型改進(jìn)具有一定的正確性。模型二中我們分別考慮了城、鄉(xiāng)、鎮(zhèn)人口的發(fā)展情況，利用不同年齡段存活率和死亡率的不同，采用迭代的方式也就是Leslie矩陣的方式對(duì)人口發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)，迭代的方式不同于擬合，具有逐步遞進(jìn)的準(zhǔn)確性，在參數(shù)正確的前提下，能夠保證每一年得到的人口都有正確性，同時(shí)我們分男女兩方面來(lái)考慮模型，不僅僅用靜態(tài)的男女比例來(lái)估算人口總數(shù)，具有更高的準(zhǔn)確性。然而Leslie模型涉及的參數(shù)較多，如果采用動(dòng)態(tài)模型的方式，計(jì)算量過(guò)大，我們首先用均值的方式對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，同樣得到迭代矩陣后的人口數(shù)值，發(fā)展趨勢(shì)與預(yù)測(cè)相同，能夠很好的預(yù)測(cè)中國(guó)人口的長(zhǎng)期發(fā)展，同時(shí)，由于Leslie矩陣涉及多個(gè)參數(shù)，所以我們用最終的結(jié)果來(lái)表征老齡化程度，城鄉(xiāng)比，撫養(yǎng)比等多個(gè)評(píng)價(jià)社會(huì)發(fā)展的參數(shù)，得到了較好的估計(jì)值，使模型在估算人口的基礎(chǔ)上得到了推廣和應(yīng)用。通過(guò)logistic改進(jìn)模型和Leslie模型我們分別對(duì)中國(guó)人口發(fā)展進(jìn)行短期和中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，均能得到很好的效果，說(shuō)明了我們的模型在適用范圍內(nèi)的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。關(guān)鍵詞：人口發(fā)展預(yù)測(cè)；logistic模型改進(jìn)；參數(shù)擬合；Leslie迭代模型;一、問(wèn)題重述中國(guó)是世界上人口最多的發(fā)展中國(guó)家,人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一，人口眾多、資源相對(duì)不足、環(huán)境承載能力較弱是中國(guó)現(xiàn)階段的基本國(guó)情,短時(shí)間內(nèi)難以改變。人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一.無(wú)論是對(duì)我國(guó)目前發(fā)展的認(rèn)識(shí)還是對(duì)未來(lái)發(fā)展的預(yù)測(cè),人口問(wèn)題的研究都有著非常重要的意義.從我國(guó)的實(shí)際情況和人口特點(diǎn)出發(fā),認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律,建立人口模型,做出較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是控制人口增長(zhǎng)的前提，而預(yù)測(cè)中國(guó)人口的變化趨勢(shì)，是一切政策和方案實(shí)施的前提，所以，結(jié)合材料和背景，根據(jù)中國(guó)人口變化的趨勢(shì)預(yù)測(cè)中國(guó)未來(lái)人口的變化是我們需要去研究的課題。二、問(wèn)題分析材料中給出了《中國(guó)人口年鑒》來(lái)提供人口變化趨勢(shì)，同時(shí)給出了《中國(guó)人口發(fā)展戰(zhàn)略報(bào)告》來(lái)為我們提供中國(guó)人口的控制方案和方向，結(jié)合材料我們得到，最初未進(jìn)行計(jì)劃生育期間，人口數(shù)量大幅度上升，出生率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于死亡率，導(dǎo)致當(dāng)下中國(guó)具有極大的人口基數(shù)，即使已經(jīng)實(shí)施了計(jì)劃生育政策，我們每年的新生嬰兒數(shù)量仍然非常巨大，歸根究底，都是因?yàn)檫^(guò)去的幾十年里累計(jì)的巨大人口基數(shù)導(dǎo)致的。而當(dāng)下，由于計(jì)劃生育的實(shí)施以及時(shí)代的發(fā)展，大量的家庭幾乎只有一個(gè)孩子甚至不生孩子，由此帶來(lái)的是零增長(zhǎng)甚至負(fù)增長(zhǎng)，所以，結(jié)合當(dāng)下我國(guó)人口基數(shù)大，然而生育率已經(jīng)驟減等現(xiàn)況，結(jié)合經(jīng)典人口預(yù)測(cè)模型對(duì)我國(guó)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，是我們對(duì)問(wèn)題的解決方案。（1）首先我們要對(duì)人口的短期變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)當(dāng)前和短期內(nèi)的人口分布，人口現(xiàn)狀進(jìn)行定性的描述。雖然不同算法具有局限性，然而短期預(yù)測(cè)時(shí)，大量算法如：灰色預(yù)測(cè)，擬合預(yù)測(cè)都能夠一定程度接近地對(duì)人口變化趨勢(shì)進(jìn)行表征而不產(chǎn)生較大誤差，但是為了能夠精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，我們選擇對(duì)logistic模型進(jìn)行改進(jìn)，使其在進(jìn)行短期預(yù)測(cè)時(shí)能夠更加準(zhǔn)確減少誤差。（2）在對(duì)人口的短期預(yù)測(cè)結(jié)束后，我們要對(duì)人口發(fā)展進(jìn)行長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)，而材料中給出了城鄉(xiāng)鎮(zhèn)三類地區(qū)的人口分布，也幫助我們細(xì)化不同地區(qū)的人口發(fā)展，同時(shí)也能更加準(zhǔn)確地對(duì)全國(guó)人口的人口發(fā)展進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，為此我們引入Leslie模型，利用矩陣迭代的方式進(jìn)行長(zhǎng)期的人口預(yù)測(cè)，在穩(wěn)態(tài)下保證Leslie模型對(duì)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)就有準(zhǔn)確性。三、模型建立1）符號(hào)說(shuō)明r——人口增長(zhǎng)率xi——人口數(shù)量下角標(biāo)表示不同情況下的人口數(shù)量g=g（t） 修正因子k——年代，時(shí)間b——生育率

s——存活率d 死亡率2)模型假設(shè).假設(shè)社會(huì)穩(wěn)定發(fā)展，不考慮意外發(fā)生的戰(zhàn)爭(zhēng)瘟疫等造成人口產(chǎn)生突變的因素。.由于社會(huì)發(fā)展的穩(wěn)定性，假設(shè)年代不是影響出生率，死亡率等計(jì)算因子的主要因素，可以認(rèn)為出生率，存活率，死亡率等因子是關(guān)于年齡的單元函數(shù)。.假設(shè)當(dāng)前政策長(zhǎng)久進(jìn)行，女性生育年齡分布和生育模式保持當(dāng)前情況不變，由此我們可以認(rèn)為各年齡段的女性和男性生育率是一個(gè)固定分布。3)模型建立模型一、利用logistic模型的改進(jìn)來(lái)預(yù)測(cè)短期人口的變化我們知道，普通的人口阻滯增長(zhǎng)模型將額外的環(huán)境條件等限制人口增長(zhǎng)的因素考慮進(jìn)來(lái)，并認(rèn)為人口數(shù)量越大阻滯作用越明顯，將人口的增長(zhǎng)率r看作一個(gè)關(guān)于人口數(shù)量的函數(shù)而不認(rèn)為是一個(gè)定值，此時(shí)r=r(x)，所以人口變化趨勢(shì)可以用微分方程來(lái)表示：爺=r(x)x,x(0)=x0我們引入人口容量設(shè)為:…，則…)=0，此時(shí)r(x)=r(1—)xm由此解得：x(t)=x(t)=綜上，我們得到了原始的logistic模型，代表了環(huán)境容納量一定的情況下人口發(fā)展的情況，然而我們單單考慮了環(huán)境因素而沒(méi)有考慮社會(huì)因素的影響，這是導(dǎo)致logistic模型產(chǎn)生誤差的原因，所以我們引入修正因子作為社會(huì)因素的影響修正，引入gG.「二,…：」：)作為修正項(xiàng)，得到改進(jìn)后的logistic函數(shù):x(t)=]—…屋X]…Q此時(shí)，我們通過(guò)數(shù)據(jù)研究，引入主要影響的三個(gè)因素，分別為城鎮(zhèn)人口比例，男

女比例以及老齡人口比例作為影響因素，于是我們得到g=g(二，工，工)，隨后移項(xiàng)可得影響因子的關(guān)系函數(shù)gGr七，，,，,/)=x(t)-…二…由于假設(shè)中提到了社會(huì)穩(wěn)定的問(wèn)題，所以我們認(rèn)為城鄉(xiāng)比，男女性別比例等一系列因素僅僅是時(shí)間的函數(shù)，隨年份的改變而改變，所以g=g(-i「-：L0=g(t)我們利用01年到05年的數(shù)據(jù)對(duì)logistic模型進(jìn)行擬合(擬合函數(shù)見(jiàn)附錄)，得到【」xm和r的值，得到簡(jiǎn)單的logistic模型參數(shù)，附曲線如圖Xm=14.1990396292082;r=0.069311514967144;得到logitic原始模型為x(t)=14.19903962920821十(14,1990S962920S2得到logitic原始模型為x(t)=14.19903962920821十(14,1990S962920S2-0.069311514967144t12.7627圖：logistic原始模型擬合——人口隨時(shí)間變化從圖中我們雖然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)人口的S型增長(zhǎng)，但是我們預(yù)見(jiàn)到峰值將會(huì)出現(xiàn)在2050年左右，符合人口發(fā)展的趨勢(shì)，這里沒(méi)有出現(xiàn)我們希望的S型增長(zhǎng)，可能是因?yàn)槲覀兊娜丝谠鲩L(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)進(jìn)入S型增長(zhǎng)的后半部分，或者中國(guó)人口基數(shù)過(guò)大或者模型簡(jiǎn)單考慮環(huán)境因素并沒(méi)有很好解釋人口發(fā)展，所以我們認(rèn)為該圖仍具有正確性，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行修正因子加入的改進(jìn)。而后我們對(duì)修正因子進(jìn)行估算，通過(guò)數(shù)據(jù)，我們得到x(t)以及l(fā)ogistic模型的數(shù)值，代入可以得到g(t)的值，我們?nèi)?001-2005年城鎮(zhèn)人口比例男女性別比例老齡化人口比例分別為x1x2x3作為影響因素，代入1=0、1、2、3,分別得到G^gG；.三.1)=g(0)=0.0091G2=g(M「三.，)=g(1)=0.0042G3=g(：j三.1)=g(2)=-0.0021G4=g?！谷?工)=g(3)=-0.0012G5=gG；?三?1)=g(4)=-0.003我們進(jìn)行多參擬合,因?yàn)槿齻€(gè)影響因素的比重相差不多,我們不考慮層次分析簡(jiǎn)單地認(rèn)為三個(gè)影響因素權(quán)重相同,為此我們引入多參變量的一次擬合方式：g(t)=a+bx1+cx2+dx3代入01年到04年的數(shù)據(jù)進(jìn)行多參擬合得到t城鎮(zhèn)比重男女比例老齡人口比重實(shí)際人口原始logistics數(shù)據(jù)①200100.3716551.15327.182021276271275360.0091200210.3870971.19327.526011284531284110.0042200430.4117891.19288.18121130000130021-0.0021200320.4123541.697.86589129227129239-0.0012200540.4484271.18468.65496130756130759-0.0003由于假設(shè)中我們提出,男女比例,城鄉(xiāng)比,老齡化比重等因素不會(huì)因?yàn)槟甏母淖兌l(fā)生突變,所以我們認(rèn)為這些因子都是關(guān)于時(shí)間的函數(shù),此后我們

分別用二次擬合的方式對(duì)城鎮(zhèn)人口比例，老齡化比例和男女比例進(jìn)行二次擬合（擬合程序見(jiàn)附錄）：x1=0.0022823tA3-0.01251tA2+0.032717t+0.37025x2=0.0026833tA3-0.093986tA2+0.34086t+1.1113x3=0.013545tA3-0.064487tA2+0.40946t+7.1791隨后我們利用g（t）=a+bx1+cx2+dx3作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行多參數(shù)擬合利用f=x(t)--14,199039629208214,1990S962920S2f=x(t)--14,199039629208214,1990S962920S212.76271）已一口，曲強(qiáng)11514967144t得到的表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到：a,b,c,d的數(shù)值如下：a=0.303466672b=-0.015436071206309c=-0.021475121184176d=0.067720279因此我們可以得到gG'「三.1)=0.303466672X1-0.01543607X2-0.021475121X3+0.067720279代入修正因子，我們得到改進(jìn)后的logistic函數(shù):x(t)=14.199039629208214.199039629203212.76271x(t)=14.199039629208214.199039629203212.76271)e~0.069311514967144t0.303466672X1-0.01543607X2-0.021475121X3+0.067720279分別代入擬合后的三個(gè)修正因子關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系得到最終的logistic改進(jìn)模型:x(t)=14,199039629208214.1990396292082-0.069311514967144t0.303466672*x(t)=14,199039629208214.1990396292082-0.069311514967144t0.303466672*12.7627(0.0022823tA3-0.01251tA2+0.032717t+0.37025)-0.01543607(0.0026833tA3

-0.093986tA2+0.34086t+1.1113)-0.021475121(0.013545tA3-0.064487tA2+

0.40946t+7.1791)+0.067720279

利用這個(gè)函數(shù)我們重新預(yù)測(cè)短期內(nèi)的人口發(fā)展如下：表：利用logistic改進(jìn)模型對(duì)未來(lái)人口預(yù)測(cè)年份估計(jì)值年份估計(jì)值年份估計(jì)值200613.21323202413.947320421427887202513.9682420431434071202613.9878420441439893202714.00617204514.19093201013.45372202814.02333204614.19598201113.50524202914.03937204714.2007201213.55367203014.05436204814.2051201313.59918203114.06839204914.20922201413.64192203214.0815205014.21306201513.68204203314.09375205114.21664201613.71968203414.10521205214.21998201713.755203514.11591205314.22311201813.78811203614.12591205414.22602201913.8191520371422874202013.8482420381423128202113.875520391423365202213.9010220401423586202313.92492204114.16687205914.23793圖：logistic改進(jìn)模型關(guān)于總?cè)丝诘念A(yù)測(cè)■總?cè)丝凇隹側(cè)丝谌藬?shù)/(億)從圖中我們可以看出，我國(guó)人口在未來(lái)的20年內(nèi)平穩(wěn)增長(zhǎng)并在2030年附近達(dá)到峰值并可能長(zhǎng)期保持這個(gè)趨勢(shì)，在政策不變社會(huì)穩(wěn)定的前提下，我國(guó)人口將平穩(wěn)發(fā)展不會(huì)產(chǎn)生較大的改變。

最后我們?yōu)榱藱z驗(yàn)logistic改進(jìn)模型對(duì)于短期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度，我們進(jìn)行誤差分析：利用已知數(shù)據(jù)和估計(jì)數(shù)據(jù)的比較來(lái)評(píng)判誤差：表：logistic改進(jìn)模型與實(shí)際情況的比較t值實(shí)際值logistic估計(jì)值誤差誤差百分比0198710.9310.997720280.0061960.6195821198811.102611.16886780.0059690.5968672198911.270411.333459730.0055950.5595163199011.433311.491493030.005090.5089784199111.582311.642995110.005240.5240335199211.717111.788021230.0060530.605286199311.851711.926651740.0063240.6324137199411.98512.058989460.0061740.6173518199512.112112.185156880.0060320.6031739199612.238912.30529360.0054250.5424810199712.362612.419553760.0046070.46069411199812.76112.52810363-0.01825-1.8250612199912.578612.631119330.0041750.41752913200012.674312.728784710.0042990.42988314200112.762712.821289370.0045910.45906715200212.845312.908826890.0049460.49455416200312.922712.99159320.0053310.5331181720041313.069785110.0053680.53680918200513.075613.143599060.00520.52004519200613.144813.213229950.0052060.52058620200713.212913.278870170.0049930.49928621200813.280213.340708780.0045560.45563222200913.34513.398930780.0040410.40412723201013.409113.453716510.0033270.33273324201113.705313.50524121-0.0146-1.45972誤差比較圖線如下：圖：logistic估計(jì)值與實(shí)際值的比較經(jīng)過(guò)比較我們發(fā)現(xiàn)，我們的模型預(yù)測(cè)出來(lái)的人口發(fā)展?fàn)顩r與事情情況擬合程度較好，證明影響因子的相互關(guān)系選擇正確，所以不再進(jìn)行修正，認(rèn)定該算法的可行性。模型二、利用Leslie模型分類進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)一、模型的建立與求解我們利用logistic模型的改進(jìn)模型對(duì)人口發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，然而我們知道，擬合的函數(shù)在端點(diǎn)值附近有較好的準(zhǔn)確性，而隨著次數(shù)和預(yù)測(cè)距離的增大，數(shù)值的穩(wěn)定性會(huì)產(chǎn)生極大波動(dòng)最后失去穩(wěn)定性，同時(shí)logistic模型的缺陷是只能對(duì)人口發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而不能反映出城鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口分布，男女比例分布對(duì)人口變化的影響，同時(shí)我們的logistic改進(jìn)模型對(duì)長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)也會(huì)產(chǎn)生較大誤差，綜上，我們需要另一個(gè)模型進(jìn)行分類的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)并保證長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性，為此，我們引入Leslie模型，即迭代矩陣的方式進(jìn)行逐年變化的遞推預(yù)測(cè)。Leslie模型的基本原理是將年齡離散化，認(rèn)為人口的增長(zhǎng)是女性的生育模式和生育年齡決定的，所以在將來(lái)的計(jì)算中，我們首先選擇女性的比例作為生育率的一個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，然而僅僅利用男女比例和女性人口的Leslie模型預(yù)測(cè)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，所以在不對(duì)男女比例進(jìn)行擬合的前提下，我們選擇對(duì)男性人口重新進(jìn)行一遍L(zhǎng)eslie模型的預(yù)測(cè)，得到男女人口的確信增長(zhǎng)數(shù)量，更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)人口發(fā)展的趨勢(shì)。在模型計(jì)算的時(shí)候，我們選擇女性人口的Leslie增長(zhǎng)模型進(jìn)行解釋，男性人口的Leslie模型同理，故有：記時(shí)段k第i個(gè)年齡組的人口數(shù)量為x.(k)，同時(shí)設(shè)b,為該年齡組女性個(gè)體單位時(shí)段內(nèi)的生育數(shù)量，即為生育率，同時(shí)記si為該年齡段人口的存活率，存活率可由死亡率求得，設(shè)死亡率為di，在數(shù)據(jù)中已經(jīng)給出。首先，xi(k)的變化規(guī)律有以下基本事實(shí)得到：時(shí)段k+1第一年齡組女性數(shù)量是時(shí)段k各年齡組生育之和，即：x(k+1)=12b(k)x(k)1 ii i1如果我們排除死亡的情況，那么在一個(gè)周期內(nèi)第i個(gè)年齡組的成員將全部轉(zhuǎn)移到i+1個(gè)年齡組，然而實(shí)際情況并非如此，如果不考慮死亡率，那么我們得到的Leslie模型會(huì)產(chǎn)生指數(shù)增長(zhǎng)的效果沒(méi)有阻滯效應(yīng)的影響，因此這一轉(zhuǎn)移過(guò)程可由存活系數(shù)所衰減.。于是，這一轉(zhuǎn)移過(guò)程可由下述議程簡(jiǎn)單地描述：x(k+1)=sx(k),i=1,2,...,n-1此時(shí)，我們記時(shí)段k女性按年齡組的分布向量為x(k)=[x1(k),X2(k),..X：n(k)1T由生育率J和存活率s.構(gòu)成的矩陣死亡率可分為表上年齡死亡率和實(shí)際年齡死亡率。一方面，兩者不能等同，而另一方面兩者是接近的。死亡水平是年齡的連續(xù)函數(shù)，隨著年齡不斷變化。實(shí)際觀察到的只能是某一時(shí)期某個(gè)年齡階段的瞬間死亡水平乂。而年齡別死亡水平匕與年齡別存活率S(i)近似有如下關(guān)系：S(i)=e-Mi;設(shè)R為存活率矩陣，-0S00000???000一0nI則R=0S0001????????????????*? ??S**000S01-i-2—1ixi同理，我們用B來(lái)表示出生率矩陣bbbbb012i-2i-100000貝B=0000000000???_同樣，由數(shù)據(jù)，剔除2003年(非典型肺炎的影響)，我們可以得到城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)各個(gè)的年率別出生率，則可得到出生矩陣B。Leslie所用的預(yù)測(cè)矩陣L實(shí)際上是由上面兩個(gè)矩陣相加，即L=R+B。則有：0bi...bi012s0... ............20...............s0n-i那么，以上兩個(gè)關(guān)系式可以表示為x(k+1)=Lx(k),k=0,1,2,....假設(shè)里面我們提到，社會(huì)穩(wěn)定的前提條件下，我們假設(shè)的匕和S僅與年齡段有關(guān)，所以我們認(rèn)為在未來(lái)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)J和都是穩(wěn)定的。所以對(duì)于Leslie矩陣和按年齡組的初始分布向量x(0)已知的條件下，我們可以預(yù)測(cè)任意時(shí)段k的女性人口按年齡組的分布，計(jì)算式為：x(k)=Lkx(0),k=1,2,…此時(shí)便能很容易地算出女性人口的總數(shù)。由于題目附錄2中的數(shù)據(jù)并沒(méi)有直接給出生育率(女性出生率)，我們采取如下公式進(jìn)行計(jì)算：生育率=1.8*婦女生育率義女性占總?cè)丝诘谋壤渲校?.8為資料【3】顯示的中國(guó)的穩(wěn)定狀態(tài)下的臨界總和生育率，總和生育率的解釋見(jiàn)附錄，那么當(dāng)人口系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，將在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持這一值，這里我們選擇用2001-2005(剔除2003年非典影響)的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均處理作為生育率b和存活率s而不考慮動(dòng)態(tài)變化下的生育率b和存活率s受到時(shí)間的影響，即ii ii理想狀態(tài)下的人口發(fā)展情況，而我們的假設(shè)與此時(shí)的簡(jiǎn)化相符。最后，我們以2005年的人口數(shù)作為初始數(shù)據(jù)x(0)。同理，我們對(duì)男性人口進(jìn)行假設(shè)，將條件中的女性存活率，死亡率進(jìn)行替換，可以得到關(guān)于男性的人口變化預(yù)測(cè)，迭代形式與女性人口的Leslie模型形式完全相同，這里不作多余贅述。綜上，我們帶入2005年的男性，女性城鎮(zhèn)鄉(xiāng)的人數(shù)，進(jìn)行人口預(yù)測(cè)得到人口總體變化數(shù)據(jù)如下(2006-2100)：表：2006-2100中國(guó)人口發(fā)展預(yù)測(cè)(部分)男比女總?cè)藬?shù)男比女總?cè)藬?shù)20061.089474130564.620251.129237141971.7

20071.090595131375.720261.129273141977.520081.089949132250.120271.12933141974.720091.089635133183.120281.12974141989.220101.08959134161.320291720111.089933135158.220301.1316614208820121.090534136143.220311.133116142173.520131.091393137095.820321.134809142291.820141.092441137983.420331.13664914245020151.093554138794.220341.138507142650.220161.094717139521.420351.140429142888.920171.095857140149.220361.142344143144.420181.096986140686.920371.144314143414.120191.0981414112320381220201.099368141459.120391.14848714393720211.100604141699.820401.150684144167.220221.101935141848.720411.15296814435520231.103351141930.520421.155314450820241.104763141964.320431.157721144630.4這里我們同樣要對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，我們通過(guò)人口年鑒上的數(shù)據(jù)與我們預(yù)測(cè)的到的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，由于當(dāng)前已經(jīng)是2011年，我們能夠通過(guò)人口年鑒查到2006-2011年的人口分布真實(shí)情況，所以我們利用現(xiàn)有的六年數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析。表：Leslie模型預(yù)測(cè)人口的誤差分析表真實(shí)值誤差預(yù)測(cè)值誤差百分比2006131448-0.00672130564.6-0.672082007132129-0.0057131375.7-0.570152008132802-0.00416132250.1-0.415592009133450-0.002133183.1-0.2000220101340910.000524134161.30.0524262011137053-0.01383135158.2-1.38254為了更方便的分析我們的預(yù)測(cè)情況，我們同樣出圖進(jìn)行直觀比較。圖：誤差分析比較圖

從圖中我們可以看出，我們的模型對(duì)于穩(wěn)定的社會(huì)系統(tǒng)，保持了人口發(fā)展的趨勢(shì)，人口穩(wěn)定上升，前五年的相對(duì)誤差均小于1%，所以在我們的假設(shè)下，模型具有可行性，能夠進(jìn)行人口發(fā)展的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。于是，我們利用當(dāng)前模型對(duì)人口增長(zhǎng)進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，我們以2005年為基礎(chǔ)年設(shè)為i=0,預(yù)測(cè)得到2006-2100年的人口增長(zhǎng)變化，由于數(shù)據(jù)量過(guò)大，我們將圖表置于附件中，詳見(jiàn)Excel-leslie（2）——男女比例及總?cè)丝谟沙擎?zhèn)鄉(xiāng)的男女人口預(yù)測(cè)，我們得到一個(gè)關(guān)于不同區(qū)域的預(yù)測(cè)值，我們對(duì)市鎮(zhèn)鄉(xiāng)的男女人數(shù)進(jìn)加和，得到未來(lái)近100年內(nèi)，穩(wěn)態(tài)下中國(guó)人口的發(fā)展總數(shù)及總體預(yù)測(cè)圖圖：2006-2100中國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)圖人口總數(shù)180000■人口總數(shù)160000■人口總數(shù)14000012000010000080000600004000020000960E960E980E9KozEE990EI90EnIXEImoE9I0EHOE從圖中我們可以看出，當(dāng)前中國(guó)人口發(fā)展已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，由于計(jì)劃生育政策的提出，出生率極大降低，在人口基數(shù)一定的情況下，人口穩(wěn)定增長(zhǎng)，在2060年附近開(kāi)始波動(dòng)并產(chǎn)生一定程度人口增長(zhǎng)速度的提高，但根據(jù)人口增長(zhǎng)的趨勢(shì)，會(huì)在100年之后不久達(dá)到峰值，此后會(huì)有一定程度的下降。另外，由于我們分別計(jì)算了男女兩性的Leslie人口增長(zhǎng)，此時(shí)得到較為準(zhǔn)確的男女性比例預(yù)測(cè)，如圖：圖：2006-2100男女人口比例預(yù)測(cè)分析圖||||皆川IIIIEEo'foz||||皆川IIIIEEo'fozIIII990EIlliN90EllloosoeIII寸SONOSOEIIII9XEIlliEXEllllsmozllllbmozomoeIII9E0ZIIIeeoe寸TOEOTOE從圖中我們可以看出，雖然我們進(jìn)行了計(jì)劃生育，然而由于原有男女比例基數(shù)較大等因素的影響，未來(lái)我國(guó)人口男女比例的的趨勢(shì)是逐漸增加，這也一定程度上提醒相關(guān)部門在調(diào)整生育模式，降低生育率的同時(shí)要控制好男女比例，否則未來(lái)的社會(huì)發(fā)展趨勢(shì)將難以控制，由于人口發(fā)展的滯后性若在2050年失去對(duì)男女比例的控制力度，我們將在未來(lái)50年內(nèi)無(wú)法恢復(fù)正常的男女比例。二、模型數(shù)據(jù)的利用我們已經(jīng)利用Leslie模型預(yù)測(cè)了未來(lái)人口的總體發(fā)展趨勢(shì)，城鎮(zhèn)鄉(xiāng)人口各自的發(fā)展趨勢(shì)，男女人口比例的發(fā)展動(dòng)態(tài)等因素，此時(shí)我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)，更好的解釋當(dāng)下和未來(lái)我國(guó)人口的發(fā)展動(dòng)向。其中，數(shù)據(jù)和結(jié)果圖置入附件leslie（2）各個(gè)工作表中：（1）老齡化趨勢(shì)描述圖：我國(guó)未來(lái)老齡化趨勢(shì)發(fā)展圖

50.10.05citytowncountryall860E寸60E060E980EE80E皆E寸FOEZOE990EE90E8S0E寸SONOSOE9XEEXE8moE寸seomoe9E0EEEOE8I0E寸TOEOTOE老齡化是指老年人口（65歲以上人口）占我國(guó)總?cè)丝诘谋戎兀淆g化程度越嚴(yán)重，社會(huì)負(fù)擔(dān)就會(huì)相對(duì)更重一些，上圖為我國(guó)未來(lái)人口老齡化趨勢(shì)發(fā)展圖，我們可以看到，在社會(huì)穩(wěn)定的條件下，人口老齡化會(huì)在2050年達(dá)到峰值，這也是預(yù)測(cè)中人口達(dá)到峰值的一個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)，此時(shí)人口密度達(dá)到最大，在之后人口數(shù)量開(kāi)始下降最后會(huì)達(dá)到一個(gè)較為穩(wěn)定的數(shù)值，城鎮(zhèn)鄉(xiāng)三個(gè)地區(qū)老量化情況相對(duì)相似，鄉(xiāng)村老齡化情況更加樂(lè)觀，這可能是鄉(xiāng)村老齡化人口死亡率較為平均，導(dǎo)致老齡化人口分布較為平均，是峰值下降，出現(xiàn)峰值的年限提前。（2）未來(lái)人口撫養(yǎng)比表示圖：未來(lái)我國(guó)人口撫養(yǎng)比（2006-2100）

未來(lái)我國(guó)人口撫養(yǎng)比citytown未來(lái)我國(guó)人口撫養(yǎng)比citytown countryall撫養(yǎng)比又稱撫養(yǎng)系數(shù)是指在人口當(dāng)中，非勞動(dòng)年齡人口對(duì)勞動(dòng)年齡人口數(shù)之比：計(jì)算方法為：總撫養(yǎng)比=（老齡人口+未成年人口）/勞動(dòng)力人口撫養(yǎng)比越大，表明勞動(dòng)力人均承擔(dān)的撫養(yǎng)人數(shù)就越多，即意味著勞動(dòng)力的撫養(yǎng)負(fù)擔(dān)就越嚴(yán)重。老齡人口撫養(yǎng)比則相對(duì)更為直接度量了勞動(dòng)力的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)，上圖為未來(lái)我國(guó)人口撫養(yǎng)比，因?yàn)閾狃B(yǎng)比是一個(gè)比例數(shù)值，所以城鎮(zhèn)鄉(xiāng)都會(huì)在產(chǎn)色很難過(guò)一個(gè)峰值之后迎來(lái)下降最后達(dá)到一個(gè)較為穩(wěn)定的數(shù)值，圖中我們可以看出，不同的地區(qū)，撫養(yǎng)比的穩(wěn)定值是相同的，切均在2050年左右達(dá)到峰值，這也說(shuō)明了2050年左右是對(duì)我與我國(guó)發(fā)展較為關(guān)鍵的一年，同時(shí)城鎮(zhèn)的撫養(yǎng)比波動(dòng)較大，這樣說(shuō)明了城鎮(zhèn)的新老交替更加明顯，社會(huì)化對(duì)城鎮(zhèn)的影響更大，而總體趨勢(shì)卻更加傾向于農(nóng)村，這從一定程度法上反映出了農(nóng)村人口在我國(guó)具有相當(dāng)大的比重，所以對(duì)總體的影響非常大。（3）城鎮(zhèn)化發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)圖：城鎮(zhèn)化發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)圖

960E960E980EI80EEE990EI90E9S0EnWIIIIIIIIIIIIIIIS9XEIV0E9E0EImoE9E0EIEOE9I0EHOETooe8765..在討論了撫養(yǎng)比和人口老齡化趨勢(shì)后我們發(fā)現(xiàn)，即使城鎮(zhèn)波動(dòng)相對(duì)較大，更加具有我們預(yù)期的趨勢(shì)，但是總體人口的幾個(gè)參數(shù)表現(xiàn)出來(lái)的情況更加傾向于農(nóng)村人口的發(fā)展趨勢(shì)，我們認(rèn)為這是農(nóng)村人口過(guò)大的比重造成的，于是我們?cè)诘谌c(diǎn)城鎮(zhèn)化發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行分析和討論得到城鎮(zhèn)化圖如上，我們發(fā)現(xiàn)在2040年城鎮(zhèn)化趨勢(shì)達(dá)到峰值后會(huì)有幾十年的下滑后重新回升，為此我們猜測(cè)，過(guò)高的城鎮(zhèn)化趨勢(shì)，在當(dāng)下社會(huì)條件下會(huì)導(dǎo)致資源環(huán)境的不足，城鎮(zhèn)化的趨勢(shì)導(dǎo)致農(nóng)村土地收縮，帶來(lái)大量物資，產(chǎn)品需求的難以滿足，所以在達(dá)到縫制之后，我們?cè)谖磥?lái)的某個(gè)時(shí)間段內(nèi)，可能會(huì)導(dǎo)致一定地區(qū)的城鎮(zhèn)化趨勢(shì)倒退，以期達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡，是城鎮(zhèn)化比例達(dá)到一個(gè)最優(yōu)化的情況，保證城鄉(xiāng)比例帶來(lái)社會(huì)的最高速發(fā)展。（4）適齡生育婦女的發(fā)展動(dòng)態(tài)我們?cè)跍y(cè)算Leslie增長(zhǎng)模型的時(shí)候，分別對(duì)男性和女性進(jìn)行了計(jì)算，我們知道女性的生育模式，生育數(shù)量對(duì)未來(lái)人口的發(fā)展較之男性更加有影響力，那么隨著人口男女比例的逐漸增加，適齡生育婦女的數(shù)量是否會(huì)產(chǎn)生一定的改變，我們隊(duì)適齡婦女的發(fā)展動(dòng)態(tài)進(jìn)行模擬，得到曲線圖如下。我們發(fā)現(xiàn)，適齡生育婦女的發(fā)展呈一定的波動(dòng)狀態(tài)，而這種波動(dòng)狀態(tài)雖然有一定的發(fā)展趨勢(shì)，但是仍然十分平穩(wěn)，這也說(shuō)明了適齡生育婦女的比例對(duì)人口發(fā)展并不敏感，而城市和城鎮(zhèn)女性的適齡生育比例基本不產(chǎn)生波動(dòng)，這也說(shuō)明了社會(huì)化程度越高，各種條件完備的情況下，適齡婦女人數(shù)穩(wěn)定緩慢變化。圖：未來(lái)我國(guó)育齡婦女人數(shù)變化

未來(lái)我國(guó)育齡婦女人數(shù)變化::8WE:bWE:EWE:m:8moe:寸moz:EmoE-(昌川llgeozll-eoz昌E8I0E9I0EWON:ETONOTOE800E900Eoo0054000040000350003000025000200001500010000四、模型的總結(jié)討論模型一：Logistic改進(jìn)模型能夠很好的預(yù)測(cè)短期內(nèi)的人口變化，表現(xiàn)出人口發(fā)展的阻滯現(xiàn)象，同時(shí)引入社會(huì)發(fā)展問(wèn)題中產(chǎn)生的幾個(gè)主要因素，集合了社會(huì)、環(huán)境對(duì)人口發(fā)展的影響，同時(shí)利用給出的算法，我們能夠任意擬合出我們需要的影響因素對(duì)人口發(fā)展的影響，產(chǎn)生預(yù)測(cè)模型，這是logistic改進(jìn)模型簡(jiǎn)便有效的地方，但是由于logistic改進(jìn)模型引進(jìn)最小二乘擬合的方式去估算影響因素和人口峰值，導(dǎo)致了數(shù)值在短期內(nèi)具有穩(wěn)定性，然而，擬合數(shù)據(jù)的缺陷是，當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后，波動(dòng)越來(lái)越大逐漸失穩(wěn)，所以我們的logistic改進(jìn)模型只能夠?qū)Χ唐诘娜丝诎l(fā)展進(jìn)行較為詳盡的預(yù)測(cè)。改進(jìn)：我們采用了擬合的方式對(duì)人口峰值，人口增長(zhǎng)率，以及影響因素方程進(jìn)行估算，我們可以改用其他方式，放棄擬合方式而采用更加合理的準(zhǔn)確估算方式，經(jīng)過(guò)穩(wěn)定性檢驗(yàn)，可以保證改進(jìn)模型對(duì)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。模型二：Leslie模型的特點(diǎn)是可以用矩陣迭代的方式逐步求解各年的人口數(shù)量，通過(guò)生存率和死亡率的變動(dòng)逐步求解，可以保證人口變化的穩(wěn)定性和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，然而我們計(jì)算的矩陣過(guò)于龐大，動(dòng)態(tài)化模型的計(jì)算是普通計(jì)算機(jī)不能計(jì)算的，所以我們只能用平均數(shù)來(lái)代替生存率和死亡率，這就導(dǎo)致了波動(dòng)變化不會(huì)受到其他因素的影響，僅僅與人口基數(shù)與人口增長(zhǎng)模式有關(guān)，所以我們得到的人口發(fā)展趨勢(shì)是穩(wěn)定并且逐漸上升的，沒(méi)有預(yù)測(cè)到峰值，這也是Leslie模型的缺陷之處。然而我們?cè)诤笃诘哪Ｐ蛻?yīng)用中，也發(fā)現(xiàn)了Leslie模型可以應(yīng)用于評(píng)價(jià)人口發(fā)展的趨勢(shì)，這也是Leslie模型橫向發(fā)展的應(yīng)用。改進(jìn)：我們?cè)谟?jì)算中選擇的Lesilie模型，由于出生率和死亡率的固定化，我們無(wú)法用動(dòng)態(tài)模型的方法計(jì)算人口增長(zhǎng)，所以在計(jì)算能力允許的情況下，我們可以對(duì)出生率和死亡率進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)用動(dòng)態(tài)模型的方法預(yù)測(cè)，能夠保證人口發(fā)展趨勢(shì)產(chǎn)生阻滯效果產(chǎn)生峰值和變化區(qū)間。五、參考文獻(xiàn).《數(shù)學(xué)模型》第四版姜啟源高等教育出版社.《基于logistic模型的中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)》王志福等渤海大學(xué)學(xué)報(bào).百度百科關(guān)于總和出生率及總和出生率的解釋/view/1163409.htm附錄算logistic原始模型參數(shù)clcclearxdata=[198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005];ydata=[11.102611.270411.433311.582311.717111.851711.985012.112112.238912.362612.76112.578612.674312.762712.845312.922713.000013.0756];

%計(jì)算常數(shù)系數(shù)過(guò)程%計(jì)算常數(shù)系數(shù)過(guò)程[x,resnorm]=lsqcurvefit(@a,x0,xdata,ydata);gistic改進(jìn)模型影響因子的擬合算法x1=[0.371655119,0.387096877,0.412354482,0.411789492,0.44842738];x2=[1.1532,1.1932,1.69,1.1928,1.184