《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 古典概型與幾何概型課件

第五十講古典概型與幾何概型回歸課本1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型(1)定義:我們將具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱為古典概型.①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(2)計(jì)算公式:注意:應(yīng)用古典概型計(jì)算概率時(shí),要驗(yàn)證試驗(yàn)中基本事件的兩個(gè)條件.3.幾何概型(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.(2)計(jì)算公式:注意:(1)幾何概型具備以下兩個(gè)特征①無(wú)限性,即每次試驗(yàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè),且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域表示;②等可能性,即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等.(2)應(yīng)用幾何概型求概率需將試驗(yàn)和事件所包含的基本事件轉(zhuǎn)化為點(diǎn),然后看這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是線段還是平面還是幾何體.也就是需要將試驗(yàn)和事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何圖形.考點(diǎn)陪練1.(2010·浙江寧波調(diào)考)在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條,則這兩條棱是一對(duì)異面直線的概率為()解析:在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條共有15種情況,其中異面的情況有3種,則這兩條棱異面的概率為所以選C.答案:C2.(2010·山東臨沂質(zhì)檢檢)甲、乙兩人各各寫一張賀年年卡,隨意送給丙、、丁兩人中的的一人,則甲、乙將賀賀年卡送給同同一人的概率率是()解析:(甲送給丙,乙送給丁),(甲送給丁,乙送給丙),(甲?乙都送給丙),(甲?乙都送給丁)共四種情況,其中甲?乙將賀年卡送送給同一人的的情況有兩種種,所以選選A.答案:A3.(2010·江蘇南京質(zhì)檢檢)拋擲兩顆骰子子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)數(shù)分別為b、c,則方程x2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根的的概率為()解析:拋擲兩顆骰子子,共有36個(gè)結(jié)果,方程有解,則Δ=b2-4c≥0,∴b2≥4c,滿足條件的的數(shù)對(duì)記為為(b2,4c),共有(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24)共19個(gè)結(jié)果,答案:C4.(2010·福建福州診診斷)為了測(cè)算如如圖陰影部部分的面積積,作一個(gè)邊長(zhǎng)長(zhǎng)為6的正方形將將其包含在在內(nèi),并向正方形形內(nèi)隨機(jī)投投擲800個(gè)點(diǎn),已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰陰影部分內(nèi)內(nèi),據(jù)此,可估計(jì)陰影影部分的面面積是()解析:正方形面積積為36,陰影部分面面積為×36=9.答案:B5.(2010·浙江溫州調(diào)調(diào)研)一個(gè)袋子中中有5個(gè)大小相同同的球,其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球,如果從中任任取兩個(gè)球球,則恰好取到到兩個(gè)同色色球的概率率是()解析:(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,紅1),(黑1,紅2),(黑2,黑3),(黑2,紅1),(黑2,紅2),(黑3,紅1),(黑3,紅2),(紅1,紅2)共10個(gè)結(jié)果,同色球?yàn)?黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(紅1,紅2)共4個(gè)結(jié)果,∴答案:C類型一寫寫出基本事事件解題準(zhǔn)備:隨機(jī)試驗(yàn)滿滿足下列條條件:(1)試驗(yàn)可以在在相同的條條件下重復(fù)復(fù)做下去;(2)試驗(yàn)的所有有結(jié)果是明明確可知的的,并且不止一一個(gè);(3)每次試驗(yàn)總總是恰好出出現(xiàn)這些結(jié)結(jié)果中的一一個(gè),但在試驗(yàn)之之前卻不能能肯定會(huì)出出現(xiàn)哪一個(gè)個(gè)結(jié)果.所以,隨機(jī)試驗(yàn)的的每一個(gè)可可能出現(xiàn)的的結(jié)果是一一個(gè)隨機(jī)事事件,這類隨機(jī)事事件叫做基基本事件.【典例1】做拋擲兩顆顆骰子的試試驗(yàn):用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示第一顆顆骰子出現(xiàn)現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第二顆顆骰子出現(xiàn)現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),寫出下列事事件包含的的基本事件件:(1)試驗(yàn)的基本本事件;(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之之和大于8”;(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相相等”;(4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之之和大于10”.[分析]拋擲兩顆骰骰子的試驗(yàn)驗(yàn),每次只有一一種結(jié)果;且每種結(jié)果果出現(xiàn)的可可能性是相相同的,所以該試驗(yàn)驗(yàn)是古典概概型,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果果較少時(shí)可可用列舉法法將所有結(jié)結(jié)果一一列列出.[解](1)這個(gè)試驗(yàn)的的基本事件件為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(2)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之之和大于8”包含以下10個(gè)基本事件件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相相等”包含以下6個(gè)基本事件件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之之和大于10”包含以下3個(gè)基本事件件:(5,6),(6,5),(6,6).類型二簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的古典典概型問(wèn)題題解題準(zhǔn)備:計(jì)算古典概概型事件的的概率可分分三步:①算出基本事事件的總個(gè)個(gè)數(shù)n;②求出事件A所包含的基基本事件個(gè)個(gè)數(shù)m;③代入公式求求出概率P.【典例2】從含有兩件件正品a1?a2和一件次品品b1的3件產(chǎn)品中每每次任取1件,每次取出后后不放回,連續(xù)取兩次次,求取出的兩兩件產(chǎn)品中中恰有一件件次品的概概率.[分析]先用坐標(biāo)法法求出基本本事件數(shù)m和n,再利用公式式求求出出P.[解]每次取一件件,取后不放回回地連續(xù)取取兩次,其一切可能能的結(jié)果為為(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括號(hào)號(hào)內(nèi)左邊的的字母表示示第1次取出的產(chǎn)產(chǎn)品,右邊的字母母表示第2次取出的產(chǎn)產(chǎn)品,由6個(gè)基本事件件組成,而且可以認(rèn)認(rèn)為這些基基本事件的的出現(xiàn)是等等可能的.用A表示“取出的兩件件產(chǎn)品中,恰好有一件件次品”這一事件,則A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4個(gè)基本事件件組成,因而類型三復(fù)復(fù)雜事件的的古典概型型問(wèn)題解題準(zhǔn)備:求復(fù)雜事件件的概率問(wèn)問(wèn)題,關(guān)鍵是理解解題目的實(shí)實(shí)際含義,必要時(shí)將所所求事件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為彼此此互斥事件件的和,或者是先去去求對(duì)立事事件的概率率,進(jìn)而再用互互斥事件的的概率加法法公式或?qū)?duì)立事件的的概率公式式求出所求求事件的概概率.【典例3】某種飲料每每箱裝6聽(tīng),如果其中有有2聽(tīng)不合格,質(zhì)檢人員從從中隨機(jī)抽抽出2聽(tīng),求下列事件件的概率:(1)A:經(jīng)檢測(cè)兩聽(tīng)聽(tīng)都是合格格品;(2)B:經(jīng)檢測(cè)兩聽(tīng)聽(tīng)一聽(tīng)合格格,一聽(tīng)不合格格;(3)C:檢測(cè)出不合合格產(chǎn)品.[分析]顯然屬于古古典概型,所以先求出出任取2聽(tīng)的基本事事件總數(shù),再分別求出出事件A?B?C所包含的基基本事件的的個(gè)數(shù),套用公式求求解即可.[解]設(shè)合格的4聽(tīng)分別記作作1,2,3,4,不合格的兩兩聽(tīng)分別記記作a,b.解法一:如果看作是是一次性抽抽取2聽(tīng),沒(méi)有順序,那么所有基基本事件為為:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15個(gè).(1)事件A:兩聽(tīng)都是合合格品包含含6個(gè)基本事件件,∴P(A)=(2)事件B:一聽(tīng)合格,一聽(tīng)不合格格,包含8個(gè)基本事件件,∴P(B)=(3)事件C:檢測(cè)出不合合格產(chǎn)品包包含9個(gè)基本事件件,∴P(C)=解法二:如果看作是是依次不放放回抽取兩兩聽(tīng),有順序,那么所有基基本事件為為:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).共30個(gè).(1)事件A:兩聽(tīng)都是合合格品包含含12個(gè)基本事件件,∴P(A)=(2)事件B:一聽(tīng)合格,一聽(tīng)不合格格包含16個(gè)基本事件件,∴P(B)=(3)事件C:檢測(cè)出不合合格產(chǎn)品包包含18個(gè)基本條件件,∴P(C)=類型四與與長(zhǎng)度有關(guān)關(guān)的幾何概概型解題準(zhǔn)備:1.如果試驗(yàn)的的結(jié)果構(gòu)成成的區(qū)域的的幾何度量量可用長(zhǎng)度度表示,則其概率的的計(jì)算公式式為2.將每個(gè)基本本事件理解解為從某個(gè)個(gè)特定的幾幾何區(qū)域內(nèi)內(nèi)隨機(jī)地取取一點(diǎn),該區(qū)域中每每一點(diǎn)被取取到的機(jī)會(huì)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)機(jī)事件的發(fā)發(fā)生則理解解為恰好取取到上述區(qū)區(qū)域內(nèi)的某某個(gè)指定區(qū)區(qū)域中的點(diǎn)點(diǎn),這樣的概率率模型就可可以用幾何何概型來(lái)求求解.【典例4】公交車站點(diǎn)點(diǎn)每隔15分鐘有一輛輛汽車通過(guò)過(guò),乘客到達(dá)站站點(diǎn)的任一一時(shí)刻是等等可能的,求乘客候車車不超過(guò)3分鐘的概率率.[分析]在任一時(shí)刻刻到達(dá)站點(diǎn)點(diǎn)都是一個(gè)個(gè)基本事件件,基本事件有有無(wú)限個(gè).又在任一時(shí)時(shí)刻到達(dá)站站點(diǎn)是等可可能的,故是幾何概概型.[解]這里的區(qū)域域長(zhǎng)度理解解為“時(shí)間長(zhǎng)度”,總長(zhǎng)度為15分鐘,設(shè)事件A={候車時(shí)間不不超過(guò)3分鐘},則A的長(zhǎng)度為3分鐘,由幾何概型型得類型五與與面積(或體積)有關(guān)的幾何何概型解題準(zhǔn)備:1.如果試驗(yàn)的的結(jié)果所構(gòu)構(gòu)成的區(qū)域域的幾何度度量可用面面積表示,則其概率的的計(jì)算公式式為:2.如果試驗(yàn)的的結(jié)果所構(gòu)構(gòu)成的區(qū)域域的幾何度度量可用體體積表示,則其概率的的計(jì)算公式式為:【典例5】已知|x|≤2,|y|≤2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).(1)求當(dāng)x,y∈R時(shí),P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率;(2)求當(dāng)x,y∈Z時(shí),P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率;[分析]本題第(1)問(wèn)為幾何概概型,可采用數(shù)形形結(jié)合的思思想畫出圖圖形,然后利用幾幾何概型的的概率公式式求解,第(2)問(wèn)為古典概概型只需分分別求出|x|≤2,|y|≤2內(nèi)的點(diǎn)以及及(x-2)2+(y-2)2≤4的點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù)即可.[解](1)如圖,點(diǎn)P所在的區(qū)域域?yàn)檎叫涡蜛BCD的內(nèi)部(含邊界),滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的點(diǎn)的區(qū)域域?yàn)橐?2,2)為圓心,2為半徑的圓圓面(含邊界).(2)滿足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的點(diǎn)(x,y)有25個(gè),滿足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的點(diǎn)(x,y)有6個(gè),∴所求的概率率P2=類型六生生活中的幾幾何概型解題準(zhǔn)備:生活中的幾幾何概型常常見(jiàn)的有人人約會(huì)?船停碼頭?等車等問(wèn)題題,解決時(shí)要注注意:(1)要注意實(shí)際際問(wèn)題中的的可能性的的判斷;(2)將實(shí)際問(wèn)題題轉(zhuǎn)化為幾幾何概型中中的長(zhǎng)度?角度?面積?體積等常見(jiàn)見(jiàn)幾何概型型的求解問(wèn)問(wèn)題,構(gòu)造出隨機(jī)機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何何圖形,利用幾何圖圖形的度量量來(lái)求隨機(jī)機(jī)事件的概概率,根據(jù)實(shí)際問(wèn)問(wèn)題的具體體情況,合理設(shè)置參參數(shù),建立適當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上上將試驗(yàn)的的每一個(gè)結(jié)結(jié)果一一對(duì)對(duì)應(yīng)于該坐坐標(biāo)系的點(diǎn)點(diǎn),便可構(gòu)造出出度量區(qū)域域.【典例6】?jī)扇思s定在在20∶00到21∶00之間相見(jiàn),并且先到者者必須等遲遲到者40分鐘方可離離去,如果兩人出出發(fā)是各自自獨(dú)立的,在20∶00至21∶00各時(shí)刻相見(jiàn)見(jiàn)的可能性性是相等的的,求兩人在約約定時(shí)間內(nèi)內(nèi)相見(jiàn)的概概率.[分析]兩人不論誰(shuí)誰(shuí)先到都要要等遲到者者40分鐘,即小小時(shí),設(shè)兩人分別別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)見(jiàn)地點(diǎn),要使兩人在在約定的時(shí)時(shí)間范圍內(nèi)內(nèi)相見(jiàn),當(dāng)且僅當(dāng)≤≤x-y≤,因此轉(zhuǎn)化成成面積問(wèn)題題,利用幾何概概型求解.[解]設(shè)兩人分別別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)見(jiàn)地點(diǎn),要使兩人能能在約定時(shí)時(shí)間范圍內(nèi)內(nèi)相見(jiàn),當(dāng)且僅當(dāng)≤≤x-y≤兩人到達(dá)約約見(jiàn)地點(diǎn)所所有時(shí)刻(x,y)的各種可能能結(jié)果可用用圖中的單單位正方形形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示示,兩人能在約約定的時(shí)間間范圍內(nèi)相相見(jiàn)的所有有時(shí)刻(x,y)的各種可能能結(jié)果可用用圖中的陰陰影部分(包括邊界)來(lái)表示.因此陰影部部分與單位位正方形的的面積比就就反映了兩兩人在約定定時(shí)間范圍圍內(nèi)相遇的的可能性的的大小,也就是所求求的概率為為[反思感悟]此題易誤算算為原原因在在于把面積積問(wèn)題誤認(rèn)認(rèn)為是(時(shí)間)長(zhǎng)度問(wèn)題,兩人能夠會(huì)會(huì)面用圖中中陰影部分分表示更準(zhǔn)準(zhǔn)確,此處容易表表示錯(cuò).錯(cuò)源一對(duì)對(duì)事件的幾幾何元素分分析不清致致誤【典例1】在等腰Rt△ABC中,過(guò)直角頂點(diǎn)點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)作一條射射線CD與線段AB交于點(diǎn)D,求AD<AC的概率.[錯(cuò)解]在線段AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,在線段AE上取一點(diǎn)D,過(guò)C?D作射線CD,此時(shí)AD<AC,求得概率為為[剖析]上面是常見(jiàn)見(jiàn)的錯(cuò)誤解解法,原因是不能能準(zhǔn)確找出出事件的幾幾何度量.[正解]射線CD在∠ACB內(nèi)是均勻分分布的,故∠ACB=90°可看成試驗(yàn)驗(yàn)的所有結(jié)結(jié)果構(gòu)成的的區(qū)域,在線段AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,則∠ACE=67.5°°可看成所求求事件構(gòu)成成的區(qū)域,所以滿足條條件的概率率為[評(píng)析]古典概型與與幾何概型型的判斷方方法古典概型?幾何概型以以及前面復(fù)復(fù)習(xí)的概率率加法公式式都是求解解概率題目目的方法,一個(gè)概率問(wèn)問(wèn)題具體用用什么方法法求解需要要去分析這這一問(wèn)題所所描述的試試驗(yàn)和事件件.因此,碰到概率問(wèn)問(wèn)題時(shí),先確定該問(wèn)問(wèn)題的試驗(yàn)驗(yàn)會(huì)有哪些些事件.若試驗(yàn)包含含的基本事事件有有限限個(gè),則考慮古典典概型;如果試驗(yàn)包包含的基本本事件有無(wú)無(wú)限個(gè),則考慮幾何何概型.概率加法公公式的選擇擇,則需要分析析題目中所所描述的事事件之間的的關(guān)系.錯(cuò)源二構(gòu)構(gòu)造隨機(jī)事事件對(duì)應(yīng)的的幾何圖形形出錯(cuò)【典例2】向面積為S的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P,試求三角形形PBC的面積小于于的的概率.[錯(cuò)解]如圖所示,設(shè)三角形PBC的邊BC上的高為PF,線段PF所在的直線線交AD于點(diǎn)E,則當(dāng)點(diǎn)P到底邊BC的距離小于于EF的一半時(shí),有即0<S△PBC<記事件A為“三角形PBC的面積小于于”,由幾何概型型可得[剖析]錯(cuò)解構(gòu)造的的圖形有誤誤,如圖所示,設(shè)G為AB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),則點(diǎn)P可以是矩形形GBCH內(nèi)的任意一一點(diǎn).[正解]如圖所示,設(shè)G為AB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P是矩形GBCH內(nèi)的任意一一點(diǎn)時(shí),P到底邊BC的距離小于于AB的一半,所以0<S△PBC<,記事件A為“三角形PBC的面積小于于”,由幾何概型型可得技法一“有放回的”?“與順序有關(guān)關(guān)的”古典概型【典例1】一袋中裝有有大小相同同,編號(hào)分別為為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球,從中有放回回地每次取取一個(gè)球,共取2次,則取得兩個(gè)個(gè)球的編號(hào)號(hào)和不小于于15的概率為()[剖析]本題是一個(gè)個(gè)“有放回的”?“與順序有關(guān)關(guān)的”古典概型問(wèn)問(wèn)題,故可由圖表表法求解.[解析]設(shè)“取得兩個(gè)球球的編號(hào)和和不小于15”為事件A,如圖所示.由圖易知:整個(gè)基本事事件空間包