5 .波動(dòng)能量原理干涉

機(jī)械波第七章§7-3波的能量彈性波傳播到介質(zhì)中的某處，該處將具有動(dòng)能和勢(shì)能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。初始靜止→→發(fā)生振動(dòng)→→獲得動(dòng)能；平衡位置→→發(fā)生形變→→獲得勢(shì)能。平面縱波傳播振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)傳播，能量從波源向外傳播出去?！?波動(dòng)的重要特征視頻：日本海嘯1.波的能量和能量密度考慮介質(zhì)中的體積V，其質(zhì)量為m(m

V)。當(dāng)波動(dòng)傳播到該體積元時(shí)，將具有動(dòng)能Ek和彈性勢(shì)能Ep。平面簡(jiǎn)諧波可以證明體積元的總機(jī)械能W對(duì)單個(gè)諧振子EkEp在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接受和放出能量，其值是時(shí)間的函數(shù)。與振動(dòng)情形相比，波動(dòng)傳播能量，振動(dòng)系統(tǒng)并不傳播能量。波的能量密度w：介質(zhì)中單位體積的波動(dòng)能量。通常取能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值w

XYOu對(duì)于波動(dòng)的任一體積元，每個(gè)質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。表明：波動(dòng)傳播能量，將能量從體積元傳到另一體積元。能量“一堆一堆”的傳播。波動(dòng)能量的推導(dǎo)（縱波為例）位于x處的體積元ab

的動(dòng)能為體積元ab

的振速體積元ab

的脅變據(jù)楊氏模量定義和胡克定律，該積元所受彈性力為體積元彈性勢(shì)能由V

Sx，，結(jié)合波動(dòng)表達(dá)式

最后得：若考慮平面余弦彈性橫波，只要把上述計(jì)算中的y/x和f分別理解為體積元的切變和切力，用切變模量G代替楊氏模量Y，可得到同樣的結(jié)果。設(shè)繩子的橫截面積為S，波的傳播速度為u。取波的傳播方向?yàn)閤軸，繩子的振動(dòng)方向?yàn)閥軸，則簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為。在繩子上x處取線元x，則μ為繩子的質(zhì)量線密度。yxO波動(dòng)能量的推導(dǎo)（橫波為例）該線元的振動(dòng)速度為(1)線元的動(dòng)能在波的傳播過程中，由原長(zhǎng)x變成l，形變?yōu)閘x，線兩端受張力T

T1

T2。張力做的功等于線元的勢(shì)能yxO用二項(xiàng)式定理展開，并略去高此項(xiàng)，得(2)線元的勢(shì)能(3)線元的總機(jī)械能XYOu討論(1)在波動(dòng)傳播的媒質(zhì)中，任一線元的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能均隨x,t作周期性變化，且變化是同相位的。(2)體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大。(3)體積元的位移最大時(shí)，三者均為零。(4)任一線元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量。任一線元的機(jī)械能不守恒，隨t

作周期性變化，所以，波動(dòng)過程是能量的傳播過程。2.能流密度（波的強(qiáng)度）能流

在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時(shí)間內(nèi)通過S

的能量。平均能流：平均能流密度或波的強(qiáng)度通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I來表示，即介質(zhì)的特性阻抗。I的單位：瓦特/米2(Wm2)平面余弦行波振幅不變的意義：若，有。對(duì)于球面波，，，介質(zhì)不吸收能量時(shí)，通過兩個(gè)球面的總能流相等球面波表達(dá)式：式中a為波在離原點(diǎn)單位距離處振幅的數(shù)值。例用聚焦超聲波的方式，可以在液體中產(chǎn)生強(qiáng)度達(dá)120kW/cm2的大振幅超聲波。設(shè)波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率為500kHz，液體密度為1g/cm3，聲速為1500m/s。解：因可見液體中聲振動(dòng)的振幅實(shí)際上是極小的。求：這時(shí)液體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅。3.平面波和球面波的振幅若平均能流滿足，則有振幅。通過S1和S2的平均能流分別為：平面余弦行波的波函數(shù)：垂直于傳播方向上兩個(gè)平面S1和S2，面積均為S，且通過S1的波都通過S2，振幅分別為A1和A2。成立條件：波動(dòng)在介質(zhì)內(nèi)傳播時(shí)，介質(zhì)不吸收波能量。平面簡(jiǎn)諧波在無吸收介質(zhì)內(nèi)傳播時(shí)振幅不變的意義介質(zhì)不吸收能量時(shí)，通過兩個(gè)球面的總能流相等，∴球面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式可寫成：式中a為波在離原點(diǎn)單位距離處振幅的數(shù)值?！嗾穹鵄與離開波源的距離r成反比。關(guān)于球面簡(jiǎn)諧波振幅的討論S1S2S1

4pr12

，S2

4pr22

，利用和能量守恒，可以證明，對(duì)無吸收介質(zhì)，有：平面波球面波

柱面波

r場(chǎng)點(diǎn)到波源的距離4.波的吸收

若波不被介質(zhì)吸收，對(duì)于平面簡(jiǎn)諧波，S1和S2處振幅相同。若介質(zhì)吸收機(jī)械波的能量，則波線上不同點(diǎn)處振幅是不相同的。上圖的dA<0。---介質(zhì)的吸收系數(shù)。若a

為常數(shù)，則有A0為x

0處的振幅。式中的I0和I分別為x0和x

x處的波的強(qiáng)度。例題空氣中聲波吸收系數(shù)為1

210112m1，鋼中的吸收系數(shù)為2

4107m1，式中代表聲波頻率的數(shù)值。問5MHz的超聲波透過多少厚度的空氣或鋼后，其聲強(qiáng)減為原來的1%？解據(jù)題意，空氣和鋼的吸收系數(shù)分別為2

4107(5106)m1

2m1

1

21011(5106)2m1

500m1把1、2

分別代入

I

I0e2

x或下式，

據(jù)題意有I0/I100，得空氣的厚度鋼的厚度為可見高頻超聲波很難透過氣體，但極易透過固體。波在彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，任一點(diǎn)P

的振動(dòng)，將會(huì)引起鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。就此特征而言，振動(dòng)著的P點(diǎn)與波源相比，除了在時(shí)間上有延遲外，并無其他區(qū)別。Eg，障礙物上的小孔成為新的波源任意P

點(diǎn)均可視為一個(gè)新的波源。水波障礙物小孔a<l1、惠更斯原理（Huygensprinciple）§7-4惠更斯原理波的衍射反射和折射介質(zhì)中波陣面（波前）上的每個(gè)點(diǎn)，都可看成是產(chǎn)生球面子波的波源；在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成新的波陣面。1678年，惠更斯總結(jié)出了以其名字命名的惠更斯原理：惠更斯1629-1695原波陣面新波陣面S1S2t時(shí)刻t

t時(shí)刻ut注：惠更斯原理對(duì)任何波動(dòng)過程均適用；可幫助解決波的傳播問題，解釋波的衍射反射折射規(guī)律。tt時(shí)刻波面·平面波····ut波傳播方向t時(shí)刻波面球面波··············tt

t····a應(yīng)用舉例：波的衍射當(dāng)波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，其傳播方向繞過障礙物發(fā)生偏折的現(xiàn)象，稱為波的衍射。波在窄縫的衍射效應(yīng)a障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象越不明顯，障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象越明顯。相對(duì)于波長(zhǎng)而言，波的衍射VS.障礙物線度入射波衍射波入射波衍射波障礙物障礙物實(shí)例：水波通過狹縫的衍射圖樣反射與折射也是波的特征。反射定律和折射定律可以利用惠更斯原理進(jìn)行證明波的反射定律波的折射定律*應(yīng)用舉例：波的反射和折射當(dāng)波傳播到兩種介質(zhì)的分界面時(shí)，波的一部分在界面返回，形成反射波，另一部分進(jìn)入另一種介質(zhì)形成折射波。DBCAE入射波波陣面AB，反射波波陣面CD，入射角i，反射角ii反射角等于入射角。平面法線子波波陣面（半徑多少？）子波波源=================1利用惠更斯原理推導(dǎo)反射定律i’in1n2CABDirr入射波波陣面AC，折射波波陣面BD，入射角i，折射角r入射角的正弦與折射角的正弦之比等于波動(dòng)在入射介質(zhì)內(nèi)的波速與在折射介質(zhì)內(nèi)的波速的比值。利用惠更斯原理推導(dǎo)折射定律平面簡(jiǎn)諧波垂直入射到兩種介質(zhì)交界面上，設(shè)界面處x

0，并設(shè)入射波在x

0處的振動(dòng)初相位為零。入射波反射波透射波

1和2分別為x

0處反射波、透射波的振動(dòng)相對(duì)入射波振動(dòng)的相位差。*4、反射波、透射波的強(qiáng)度和相位入射波、反射波和透射波的表達(dá)式為：入射波反射波透射波介質(zhì)1介質(zhì)2入射波反射波透射波將入射波、反射波和透射波的表達(dá)式以指數(shù)形式給出：x

0處邊界條件：振動(dòng)位移連續(xù)：應(yīng)力連續(xù)：(平面縱波為例)介質(zhì)1介質(zhì)2結(jié)合上述等式右方是實(shí)數(shù)，導(dǎo)致和也應(yīng)為實(shí)數(shù)。

半波損失作業(yè)：7.14，7.16，§7-5波的干涉1.波的疊加原理波傳播的獨(dú)立性：幾個(gè)波源產(chǎn)生的波，同時(shí)在一介質(zhì)中傳播，如果這幾列波在空間某點(diǎn)處相遇，那么每一列波都將獨(dú)立地保持自己原有的特性(頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向等)傳播。

1S2S交叉區(qū)域內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)？波的疊加原理幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣。波的疊加原理：有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生影響。在相遇區(qū)域，合振動(dòng)是分振動(dòng)的疊加。疊加原理表明，可將任何復(fù)雜的波分解為一系列簡(jiǎn)諧波的組合。在相遇區(qū)域內(nèi)，任一處質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是各列波單獨(dú)在該點(diǎn)引起的分振動(dòng)的疊加；位移為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和。1S2S交叉區(qū)域內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)？2.波的干涉相干波相干條件：振動(dòng)方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。相干波源：能發(fā)出相干波的波源稱為相干波源。波的干涉頻率相同、振動(dòng)方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時(shí)，使某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，而使另一些地方振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象。波的干涉強(qiáng)弱分布規(guī)律兩個(gè)相干波源S1和S2的振動(dòng)方程分別為：S1和S2單獨(dú)存在時(shí)，在P點(diǎn)引起的振動(dòng)的方程為：P

點(diǎn)的合方程為：振幅A和相位

0對(duì)于P點(diǎn)0

20

10

2(r2r1)/

為恒量，因此

A

也是恒量，并與

P點(diǎn)空間位置密切相關(guān)。旋轉(zhuǎn)矢量（合振幅最大）（合振幅最?。┊?dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，得當(dāng)

為其他值時(shí)，合振幅介于若f10

f20，上述條件簡(jiǎn)化為：（合振幅最大）（合振幅最小）和之間波程差兩列相干波源同相位時(shí)，在兩列波疊加的區(qū)域內(nèi)，波程差為零或等于波長(zhǎng)整數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最大；波程差等于半波長(zhǎng)奇數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最小。若I1

I2，疊加后波的強(qiáng)度：同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波，在相遇區(qū)域內(nèi)，某些點(diǎn)處振動(dòng)始終加強(qiáng)，另一些點(diǎn)處的振動(dòng)始終減弱，這一現(xiàn)象稱為波的干涉。