三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（習(xí)題）教案

《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)習(xí)題》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．通過習(xí)題訓(xùn)練，加深理解和掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．2．通過對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，不斷地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程（一）新知探究引導(dǎo)語：前面我們研究了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，接下來我們研究三角函數(shù)的綜合應(yīng)用．例1定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝sinx，求f(eq\f(5π,3))的值．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，并叫個(gè)別學(xué)生回答下列的問題．追問：如何利用已知條件來求函數(shù)值？預(yù)設(shè)答案：利用周期性與奇偶性將eq\f(5π,3)化到[0，eq\f(π,2)]內(nèi)再求值．解：∵f(x)的最小正周期為π，∴f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(2π,3)＋π)＝f(eq\f(2π,3))＝f(π－eq\f(π,3))＝f(－eq\f(π,3))．又f(x)是偶函數(shù)．∴f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)．設(shè)計(jì)意圖：通過此題，應(yīng)讓學(xué)生掌握以下兩點(diǎn)：第一，解答此類題目的關(guān)鍵是利用化歸的思想，借助于周期函數(shù)的定義把待求問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入求解即可；第二，如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，若要研究該函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)的定義可知，完全可以只研究該函數(shù)在一個(gè)周期上的特征，加以推廣便可以得到該函數(shù)在其它義域內(nèi)的有關(guān)性質(zhì)．例2定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝sinx．（1）求當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，f(x)的解析式；（2）畫出函數(shù)f(x)在[－π，π]上的簡(jiǎn)圖；（3）求當(dāng)f(x)≥eq\f(1,2)時(shí)x的取值范圍．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，并叫個(gè)別學(xué)生回答下列的問題．解：（1）∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∵當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝sinx，∴當(dāng)x∈[－eq\f(π,2)，0]時(shí)，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx．又∵當(dāng)x∈[－π，－eq\f(π,2)]時(shí)，x＋π∈[0，eq\f(π,2)]，f(x)的周期為π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx．∴當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，f(x)＝－sinx．（2）如右圖．（3）∵在[0，π]內(nèi)，當(dāng)f(x)＝eq\f(1,2)時(shí)，x＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，∴在[0，π]內(nèi)，f(x)≥eq\f(1,2)時(shí)，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]．又∵f(x)的周期為π，∴當(dāng)f(x)≥eq\f(1,2)時(shí)，x∈[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(5π,6)]，k∈Z．設(shè)計(jì)意圖：此題是一道涉及性質(zhì)、圖象以及利用圖象解三角不等式等綜合性的問題，通過此題，學(xué)會(huì)合理地利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，并準(zhǔn)確地畫出函數(shù)圖象，能依據(jù)圖象寫出不等式的解集，在此過程中，熟悉三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐步積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力．例3求下列函數(shù)的值域：（1）y＝3－2cos2x，x∈R；（2）y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，小組討論并給出解題思路，若需要，教師可以進(jìn)行誘導(dǎo)啟發(fā)，然后學(xué)生回答．追問1：對(duì)于第一小題，如何借助于余弦函數(shù)的值域來求？預(yù)設(shè)答案：將2x看成一個(gè)整體，利用余弦函數(shù)的值域求得．追問2：對(duì)于第二小題，能不能通過恒等變換將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為正弦型（或余弦型）函數(shù)？預(yù)設(shè)答案：不能．追問3：如何求該函數(shù)的值域？預(yù)設(shè)答案：把sinx看成一個(gè)整體，利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域．解：（1）∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2．∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5．∴函數(shù)y＝3－2cos2x，x∈R的值域?yàn)閇1，5]．（2）y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2．∵－1≤sinx≤1，∴函數(shù)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域?yàn)閇－4，0]．設(shè)計(jì)意圖：通過此題，讓學(xué)生對(duì)兩種常見三角函數(shù)值域的求解過程進(jìn)行歸納總結(jié)，其中一種是正弦型（或余弦型）函數(shù)，另一種是三角函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．注意第（2）小題需要結(jié)合二次函數(shù)求值域（或最值）的方法進(jìn)行解決．例4設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．f(x)的一個(gè)周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)D．f(x)在(eq\f(π,2)，π)單調(diào)遞減預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并回答問題．預(yù)設(shè)答案：對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個(gè)周期為－2π，A正確．對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))圖象的對(duì)稱軸為直線x＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱，B項(xiàng)正確．對(duì)于C項(xiàng)，f(x＋π)＝cos(x＋eq\f(4π,3))．令x＋eq\f(4π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ－eq\f(5,6)π，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(π,6)，所以f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)，C項(xiàng)正確．對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閒(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))的遞減區(qū)間為[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)，遞增區(qū)間為[2kπ＋eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(5π,3)](k∈Z)，所以(eq\f(π,2)，eq\f(2π,3))是減區(qū)間，[eq\f(2π,3)，π)是增區(qū)間，D項(xiàng)錯(cuò)誤．設(shè)計(jì)意圖：本題涉及到三角函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)，其中包括周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、零點(diǎn)等，具體要會(huì)根據(jù)所給解析式求出這些基本的性質(zhì)，并且還要知道每一種解法的依據(jù)是什么，以此加深理解三角函數(shù)的性質(zhì)．（二）歸納小結(jié)問題：通過本節(jié)的習(xí)題課，你覺得在應(yīng)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)需要注意哪些問題？還有哪些收獲？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：小組先討論、交流，然后選代表分享交流結(jié)果．預(yù)設(shè)答案：（1）解決這類問題時(shí)，要以三角函數(shù)圖象與性質(zhì)為基礎(chǔ)，因此首先一定要熟悉并理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（2）要合理地運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（3）在解決問題時(shí)，要重視數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．設(shè)計(jì)意圖：通過梳理小結(jié)，一方面使學(xué)生清楚解決問題的基礎(chǔ)知識(shí)是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；另一方面，在解決問題的過程中要綜合應(yīng)用思想方法，從而不斷地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．（三）布置作業(yè)1．若f(x)是以eq\f(π,2)為周期的奇函數(shù)，且f(eq\f(π,3))＝1，求f(－eq\f(5π,6))的值．2．已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，且x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝1－sinx，求當(dāng)x∈[eq\f(5,2)π，3π]時(shí)f(x)的解析式．3．已知函數(shù)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|．（1）畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（2）這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是，求出它的最小正周期．4．求下列函數(shù)的值域．（1）y＝3－2sin2x；（2）y＝|sinx|＋sinx．預(yù)設(shè)答案：1．∵f(x)為以eq\f(π,2)為周期的奇函數(shù)，∴f(－eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))＝－f(eq\f(π,3))＝－1．2．x∈[eq\f(5,2)π，3π]時(shí)，3π－x∈[0，eq\f(π,2)]，因?yàn)閤∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx．又f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝1－sinx，x∈[eq\f(5,2)π，3π]．3．（1）y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπk∈Z．))函數(shù)圖象如圖所示．（2）由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象每隔2π重復(fù)一次，則函數(shù)的周期是2π．4．（1）∵－1≤sin2x≤1，∴1≤y≤5．∴y∈[1，5]．（2）當(dāng)sinx≥0時(shí)，y＝2sinx≤2，這時(shí)0≤y≤2；當(dāng)sinx＜0時(shí)，y＝0．∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[0，2]．（四）單元檢測(cè)設(shè)計(jì)1．設(shè)f(x)是以1為一個(gè)周期的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－eq\f(1,2)，0)時(shí)，f(x)＝4x－1，求f(－eq\f(31,8))的值．2．函數(shù)y＝eq\r(1－2cosx)的減區(qū)間為____________________．預(yù)設(shè)答案：∵f(x)的周期為1，f(－eq\f(31,8))＝f(－4＋eq\f(1,8))＝f(eq\f(1,8))．又當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f(x)＝2x＋1，∴f(－eq\f(1,8))＝4×(－eq\f(1,8))－1＝－eq\f(3,2)，又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－eq\f(1,8))＝－f(eq\