第9章分析的時(shí)代

正當(dāng)變分問(wèn)題的解取得突破性進(jìn)展的時(shí)候，物理學(xué)給這一課題的研究又直接提供了一個(gè)新的推動(dòng)，這就是最小作用原理。早在古希臘時(shí)代，自然哲學(xué)家們就有這樣一種信念：大自然是以最簡(jiǎn)潔的可能途徑行動(dòng)的，“自然界不做多余的事情”，這一觀念在中世紀(jì)為人們普遍接受。17世紀(jì)費(fèi)馬在對(duì)光學(xué)的研究中提出了一個(gè)最小時(shí)間原理。9.2.3來(lái)自物理學(xué)的推動(dòng)費(fèi)馬，法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上的成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差，他似乎對(duì)數(shù)論最有興趣，亦對(duì)現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn)。被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。17世紀(jì)費(fèi)馬在對(duì)光學(xué)的研究中提出了一個(gè)最小時(shí)間原理。費(fèi)馬，是當(dāng)今常見(jiàn)譯法，80年代的書(shū)籍文章也多見(jiàn)譯為“費(fèi)爾瑪”的情況，但“費(fèi)瑪”則少見(jiàn)。莫佩蒂?gòu)馁M(fèi)馬的最小時(shí)間原理出發(fā)，提出了更一般的最小作用原理：自然界中的任何改變都是主要使“作用”最小，而所謂“作用”是指質(zhì)量，速度的乘積關(guān)于路徑的積分，即。他宣稱，這一原理是自然界的普遍規(guī)律和上帝存在的第一科學(xué)證明。顯然，莫佩蒂極力提倡這個(gè)原理還有著不可低估的宗教傾向。這與歐拉的思想不謀而合。法國(guó)數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家、物理學(xué)家。生于圣馬羅(St.-Malo),卒于瑞士巴塞爾(Basel)。早年讀私人學(xué)校,16歲到巴黎求學(xué)。后來(lái)投入軍界,成為騎兵軍官(1718—1723)。對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣,不久便在研究中嶄露頭角。1723(另一說(shuō)1731)當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士。1745年接受腓特烈大帝(FriedrichⅡ)的邀請(qǐng),進(jìn)入柏林科學(xué)院。次年被任命為該院院長(zhǎng)。曾多次出訪歐洲各國(guó)。莫佩蒂的貢獻(xiàn)涉及數(shù)學(xué)、物理學(xué)和生物學(xué)的若干學(xué)科。

在歐拉給莫佩蒂的通信中就表明了這樣的觀點(diǎn)：上帝已經(jīng)按照某種這樣的基本原理構(gòu)造成了宇宙，而這種原理的存在又證實(shí)了上帝的安排。他曾將最小作用原理作為一個(gè)精確的動(dòng)力學(xué)定理作了詳細(xì)的闡述，但他僅討論了單個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿平面曲線的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。拉格朗日是第一個(gè)用具體形式將最小作用原理表示出來(lái)的人。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，拉格朗日關(guān)于最小作用原理的工作賦予變分法以重大的價(jià)值。歐拉和拉格朗日留給后人的問(wèn)題是：歐拉微分方程的解必須滿足什么樣的附加條件才能真正使一個(gè)依賴y（x）的積分取得極大或極??？9.2.4變分法的進(jìn)一步發(fā)展另外兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯和勒讓德則是從普通微積分的相關(guān)理論中尋找啟示的，在普通微積分中對(duì)于使f'(x)=0的x的值，f''(x)的符號(hào)決定著f(x)是否極大或極小值。故他以二次變分為突破口，得出結(jié)論：對(duì)于滿足歐拉方程并且通過(guò)（x0,yo）和（x1,y1）的曲線y（x）,只要沿y（x）的每一點(diǎn)處，時(shí),則J取極大；而時(shí)，J取極小在勒讓德的工作以后大約50年期間，數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步探索了一次和二次變分，但都沒(méi)有得到?jīng)Q定性的結(jié)果。1837年雅可比試圖通過(guò)強(qiáng)化勒讓德條件使之成為充分條件，然而他得到的一些充分條件都是不正確的；不過(guò)他的工作使人們清楚地看到，變分法的進(jìn)展不能僅以通常的微積分的極大和極小理論為指導(dǎo)。

但后來(lái)又發(fā)現(xiàn)關(guān)于fy'y'的這一條件僅僅是使y（x）成為極大或極小曲線的一個(gè)必要條件。尋找使積分達(dá)到極大或極小曲線y（x）的充分條件仍然未能解決。

魏爾斯特拉斯在1879年證明了有關(guān)弱變分的一個(gè)充分條件，并通過(guò)引進(jìn)“場(chǎng)”的概念提出了有關(guān)強(qiáng)變分的充分條件，這個(gè)條件后來(lái)由希爾伯特與1900年給出了證明。在應(yīng)用方面，拉格朗日用最小作用原理對(duì)動(dòng)力學(xué)的成功描述，啟示著這一概念應(yīng)該可以應(yīng)用到物理學(xué)的其他分支上去。19世紀(jì)初期，許多數(shù)學(xué)家都致力于這一工作。泊松、柯西等人成功地運(yùn)用變分法解決過(guò)許多有關(guān)彈性問(wèn)題，而其中最突出的是哈密頓，他從最小作用原