利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值同步訓(xùn)練A【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修（含解析）

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值專項(xiàng)訓(xùn)練A一．選擇題（共8小題）1．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是，最小值是，若，則A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能2．已知點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且，，則的最大值為A．0 B． C．1 D．23．函數(shù)恒成立的一個(gè)必要不充分條件是A． B．， C．， D．，4．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為A． B．0 C． D．5．函數(shù)在，上的最大值為2，則的值為A． B．2 C．5 D．6．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 B．的圖象在點(diǎn)處的切線方程為 C．（2）（3） D．在上有最大值7．函數(shù)的最小值為A． B． C． D．8．如果關(guān)于的不等式在，上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．二．多選題（共4小題）9．已知函數(shù)，，則A．函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn) B．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn) C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 D．若，則的最大值為10．已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)可以取A． B． C．0 D．111．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，且，若，求使得恒成立的值可能為A． B． C．0 D．12．若函數(shù)在上有最大值，則的取值可能為A． B． C． D．三．填空題（共4小題）13．設(shè)函數(shù)滿足，且．若不等式恒成立，則的取值范圍是．14．若對(duì)于恒成立，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值是．15．已知函數(shù)，，若對(duì)，，且，使得，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四．解答題（共6小題）17．已知函數(shù)．（Ⅰ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，求證：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．19．已知且，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，存在、，使成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，記，證明：．21．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）設(shè)，討論在上的單調(diào)性；（2）若在，上的最大值為，求的取值范圍．22．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在區(qū)間，上的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，恒有成立．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值專項(xiàng)訓(xùn)練A參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：最大最小相等，是常數(shù)函數(shù)，．故選：．2．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，所以，即，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)），所以的最大值為1，故選：．3．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，若恒成立，必有，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間上，，則在上單調(diào)遞增，在上，，則在上單調(diào)遞減，故（e），若恒成立，必有，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，，是恒成立的充分必要條件，不符合題意，對(duì)于，，，是恒成立的一個(gè)必要不充分，符合題意，對(duì)于，，，是恒成立的一個(gè)充分不必要，不符合題意，對(duì)于，，，是恒成立的既不充分也不必要條件，不符合題意，故選：．4．【解答】解：，恒成立，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1）．故選：．5．【解答】解：．令，解得：，令，解得：，故在，遞減，在，遞增，故的最大值是或（3），而（3），故，故選：．6．【解答】解：，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，故正確，（e），故正確，的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：（1），即，故正確，（2），（3），因?yàn)?，所以?）（3），故錯(cuò)誤．故不正確的是，故選：．7．【解答】解：因?yàn)椋O(shè)，則，且，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為．即的最小值為．故選：．8．【解答】解：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，，當(dāng)時(shí)，由原不等式可得，，令，且，則，令，解得或，令，解得，易得函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，而，時(shí)，，，故，故選：．二．多選題（共4小題）9．【解答】解：對(duì)于，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，故在遞增，故函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故正確；對(duì)于，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（1），故在遞增，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于：由得：在遞增，不等式恒成立，則恒成立，故，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故，故錯(cuò)誤；對(duì)于：若，則，，，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），此時(shí)，故的最大值是，故正確；故選：．10．【解答】解：由，得，故在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，作出其大致圖象如圖所示，令，得或，則結(jié)合圖象可知，，解得：，，又，可以取，0，1．故選：．11．【解答】解：，可設(shè)，又，故，從而，，則的定義域是，則可化為，即，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，要使恒成立，則即可，故選：．12．【解答】解：令，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，從而在處取得極大值為，由，得，解得或，又在上有最大值，所以，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知，的取值可能為，，．故選：．三．填空題（共4小題）13．【解答】解：由題意得，，,,令,則,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故,恒成立，在上恒成立，故．故答案為：．14．【解答】解：令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（1），若對(duì)于恒成立，只需即可，①時(shí)，，故的最小值是1，②時(shí)，令，解得：，取最小值時(shí)，直線在軸的截距最大，令，解得：，故，即的最小值是，故答案為：1，．15．【解答】解：函數(shù)，，，，，對(duì)，的值域?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，，與題意不符，，令，得，則，，作出函數(shù)在上的大致圖象，如圖，觀察圖形得到：，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．16．【解答】解：由不等式在上恒成立，即在上恒成立．令，則，，故在上單調(diào)遞減，（1），故在上單調(diào)遞減，所以（1），所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．四．解答題（共6小題）17．【解答】解：，，又（1），故是的極大值點(diǎn)，所以（1），．另一方面，當(dāng)時(shí)，，（1），在區(qū)間單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，恒成立．解法一：由題意知，，，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間有唯一實(shí)根，若，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在區(qū)間至多有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，若，令，是方程的兩不同實(shí)根，故在區(qū)間，，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．，，，（1），，同理可證．取，．取，，．故在，，，，，各存在一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．解法二：由題意知，，，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間有唯一實(shí)根，因此當(dāng)時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，當(dāng)，是方程的一個(gè)實(shí)根，若，，，所以．故的取值范圍為．18．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，（a），且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而的最小值為（a），若（a），即，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若（a），即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，（a），（1），根據(jù)零點(diǎn)存在性定義得，在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且（a），考慮的正負(fù)，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，（a），根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理得，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上所述，的取值范圍為．（2）證明：不妨設(shè)，由（1）可知，，，，在上單調(diào)遞增，要證，需證，即證，則證，可證，由得，，所以只需證，①令，則，令，則，由，解得，，所以，在上單調(diào)遞減，且，所以，，即，所以在，上單調(diào)遞增，且，而，所以，即①式得證，所以．19．【解答】解：（1）由已知，因?yàn)?，所以，由得：增區(qū)間，由得：減區(qū)間．（2）由已知：，設(shè)在，上的最大值為，最小值為，依題意：，因?yàn)?，，所以，所以為增函?shù)所以時(shí)，，遞增；所以時(shí)，，遞減．故，，（1），設(shè)（a）（1），（1），因?yàn)椋╝），所以（a）在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，（a），此時(shí)（1），所以時(shí)，（a），此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)（a），所以（a），所以（a）在上遞增，又（e）所以由得：（a）（e），當(dāng)時(shí)，，，由得：（e），綜上：的取值范圍是，，．20．【解答】解：（1），易證當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，故在，上單調(diào)遞增；（2）由題意得，，令，要證：，即證，，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，（1），故，使得，即，所以，有，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，所以，，，，所以存在，使得，即，且滿足，，單調(diào)遞減；，，，單調(diào)遞增；所以；令，則，故單調(diào)遞減，又，所以，則只需證明，又，可先證明，又，，則，所以，而，所以，證畢！注：關(guān)于的證明下面再給出一種證法：由對(duì)數(shù)均值不等式（需要證明）得，即，又，所以，證畢！21．【解答】解：（1）因?yàn)椋?），所以，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故①當(dāng)時(shí)，在和上遞增，在上遞減；②當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；③當(dāng)時(shí)，在上遞增；（2）因?yàn)樵冢系淖畲笾禐?，所以由?）可得：，解得：，故的取值范圍為．22．【解答】（1）解：函數(shù)的定義域是，，①當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為；②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為（1），當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為