第2章交流異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

第２章交流異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型

2.1

a—b—c坐標(biāo)系中的電機(jī)方程式“理想化”的電機(jī)模型:（１）氣隙均勻；（２）磁路線性；（３）定子各相繞組結(jié)構(gòu)相同，其導(dǎo)體在空間的分部規(guī)律使的能產(chǎn)生正弦分布的磁勢波，定子三相繞組對稱，在三相平衡定子電流作用下，產(chǎn)生單一轉(zhuǎn)向的圓形旋轉(zhuǎn)磁場；（４）轉(zhuǎn)子線圈或?qū)l的布置方式，使得感應(yīng)出的轉(zhuǎn)子磁勢也在空間作正弦分布，且具有和定子磁勢波相同的極數(shù)。“理想化”電機(jī)只是一種假定和抽象，但它提供了一種能對多種類型運(yùn)行方式進(jìn)行分析和對運(yùn)行性能進(jìn)行預(yù)測的電機(jī)模型。圖２－1三相二極理想異步電機(jī)示意圖

三個(gè)定子繞組或三個(gè)轉(zhuǎn)子繞組之間互差1200電角度，而定、轉(zhuǎn)子間的相對位置則由對應(yīng)相軸線間的夾角表示，對于旋轉(zhuǎn)的電機(jī)而言，是時(shí)間的函數(shù)。2.1.1電壓方程式

為了便于建立電機(jī)的電壓方程式，將定、轉(zhuǎn)子每相繞組表示成電阻、電感串聯(lián)電路形式，則異步電機(jī)繞組布置示意圖如圖2-2所示。圖2－２異步電機(jī)繞組布置示意圖

：定子電阻；：轉(zhuǎn)子電阻；λ：與每相繞組相鏈的總磁鏈。

各繞組均以正向電流所產(chǎn)生的最大磁勢方向?yàn)榈刃Ю@組的軸線正方向。

定子各相繞組電壓平衡方程式轉(zhuǎn)子各相繞組電壓平衡方程式其中，λ：各自下標(biāo)決定的那個(gè)繞組的總磁鏈，例如，a相定、轉(zhuǎn)子總磁鏈為：為了能根據(jù)各相電流來計(jì)算各項(xiàng)磁鏈，必須確定定、轉(zhuǎn)子的各項(xiàng)電感值。

2.1.2繞組電感的計(jì)算１．定子相繞組的自感定子相繞組的自感可分為漏電感（由繞組端部漏磁，槽漏磁以及其它漏磁產(chǎn)生）和主電感兩部分，即根據(jù)對稱關(guān)系，as、bs、cs相自感可表示為２．定子相間互感根據(jù)對稱關(guān)系as、bs、cs相互感可表示為３．轉(zhuǎn)子相繞組的自感、互感４．定、轉(zhuǎn)子互感

由于電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)，定子、轉(zhuǎn)子間相對位置變化，故定、轉(zhuǎn)子間互感是一個(gè)與定、轉(zhuǎn)子間相互位置有關(guān)的函數(shù)。定、轉(zhuǎn)子間互感為５．磁鏈方程式定義出電機(jī)的各項(xiàng)電感之后，將電機(jī)的電壓、磁鏈方程式用矩陣形式表示如下其中６．電磁轉(zhuǎn)矩方程式

從磁場能量的觀點(diǎn)出發(fā)，利用虛位移原理可導(dǎo)出電磁轉(zhuǎn)矩方程式如下７．電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程式

按電動(dòng)機(jī)慣例，設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為ＴL，則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)方程有

Ｊ:轉(zhuǎn)子及被拖動(dòng)設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為電機(jī)轉(zhuǎn)子的機(jī)械角位移，與的關(guān)系為

至此，描述異步電機(jī)狀態(tài)特性所需要的方程以全部建立，這些方程構(gòu)成了a—b—c坐標(biāo)系中交流異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型。2.2坐標(biāo)變換概述由于定、轉(zhuǎn)子間互感是一個(gè)與定、轉(zhuǎn)子間相互位置有關(guān)的函數(shù)。最終獲得的描述異步電動(dòng)機(jī)的將是一個(gè)具有時(shí)變系數(shù)的矩陣微分方程。解這種方程的解析解相當(dāng)困難。因此，早期的交流電機(jī)的暫態(tài)過程的研究，多半是首先運(yùn)用“坐標(biāo)變換”或“變量變換”對將參考坐標(biāo)設(shè)置在定子三相軸線上的基本方程進(jìn)行處理，然后再求解。以后又出現(xiàn)了將參考坐標(biāo)仍設(shè)置在定子上的坐標(biāo)變換。自上世紀(jì)20年代以來，先后建立的坐標(biāo)系統(tǒng)主要有以下四種。（1）運(yùn)用雙反饋原理，并將參考坐標(biāo)設(shè)置在轉(zhuǎn)子上的dq0坐標(biāo)系統(tǒng)。這一坐標(biāo)系統(tǒng)派克（R.H.Park）首先使用，因而這種坐標(biāo)變換常稱為派克變換，相應(yīng)的變換后的變量稱為派克分量或dq0分量。（2）運(yùn)用雙反饋原理，并將參考坐標(biāo)設(shè)置在定子上的坐標(biāo)系統(tǒng)。這一坐標(biāo)系統(tǒng)克拉克（E.Clarke）首先使用，因而這種坐標(biāo)變換常稱為克拉克變換，相應(yīng)的變換后的變量稱為克拉克分量或分量。（3）運(yùn)用旋轉(zhuǎn)磁場原理，并將參考坐標(biāo)設(shè)置在轉(zhuǎn)子上的FB0坐標(biāo)系統(tǒng)。這一坐標(biāo)系統(tǒng)顧毓繡首先使用，因而這種坐標(biāo)變換常稱為顧氏變換，相應(yīng)的變換后的變量稱為顧氏分量或FB0分量。（4）運(yùn)用旋轉(zhuǎn)磁場原理，并將參考坐標(biāo)設(shè)置在定子上的120坐標(biāo)系統(tǒng)。這一坐標(biāo)系統(tǒng)萊昂（W.V.Lyon）首先使用，因而這種坐標(biāo)變換常稱為萊昂變換，相應(yīng)的變換后的變量稱為萊昂分量或120分量。這些坐標(biāo)變換又有守恒和不守恒之分，所謂守恒變換指變換前后電磁功率守恒，即用變換前后電壓、電流分量書寫的電磁功率表達(dá)式具有相似的形式。不守恒變換則不然。這些坐標(biāo)系統(tǒng)的使用，因所研究問題的性質(zhì)、所要求的精度、所使用的工具而異。坐標(biāo)系統(tǒng)一般選用原則：（1）分析對稱運(yùn)行方式時(shí)，選用參考坐標(biāo)設(shè)置在轉(zhuǎn)子上的坐標(biāo)系統(tǒng)。（2）分析不對稱運(yùn)行方式時(shí)，選用參考坐標(biāo)設(shè)置在定子上的坐標(biāo)系統(tǒng)。（3）分析穩(wěn)態(tài)運(yùn)行方式時(shí)，選用按旋轉(zhuǎn)磁場原理建立的坐標(biāo)系統(tǒng)。（4）分析暫態(tài)過程時(shí)，選用按雙反饋原理原理建立的坐標(biāo)系統(tǒng)2.3派克變換派克變換是最廣泛的坐標(biāo)變換之一。它的基礎(chǔ)是“任何一組三相平衡定子電流產(chǎn)生的合成磁場，總可以由兩個(gè)軸線相互垂直的磁場所替代”的雙反應(yīng)原理。將兩個(gè)軸線的方向選擇與轉(zhuǎn)子正、交軸方向一致，使三相定子電流產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場，由位于這兩軸方向的等值定子繞組電流產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場所替代。派克變換最常用于三相對稱運(yùn)行方式的分析。2.3派克變換的數(shù)學(xué)描述以電流為例P——派克變換矩陣采用不守恒變換派克逆變換派克逆變換矩陣：采用守恒變換派克逆變換派克逆變換矩陣：2.4任意速d—q—n坐標(biāo)系中異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

上述建立了異步電動(dòng)機(jī)所需的全部方程式，即異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。然而，由于電機(jī)轉(zhuǎn)字的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使得定子、轉(zhuǎn)子之間的互感成為定子、轉(zhuǎn)子相對位置角的余弦函數(shù)。使得電機(jī)在a—b—c中的數(shù)學(xué)模型變成一組非線性時(shí)變系數(shù)微分方程式，因而難于直接求解。為此，通過變量替代，將a—b—c真實(shí)變量表示的電機(jī)方程式變換到以d—q—n替代變量描述的電機(jī)方程式，以解脫定子、轉(zhuǎn)子間的非線性耦合關(guān)系。即進(jìn)行方程式的坐標(biāo)變換。2.4.1

d—q—n坐標(biāo)系的確定

d—q—n坐標(biāo)系的確定原則如下以方向?yàn)閝軸方向，方向?yàn)閐軸方向在as—bs—cs坐標(biāo)系中有取的方向?yàn)閚軸方向。在d—q—n坐標(biāo)系下，對電機(jī)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變換，則有如下結(jié)果。2.4.2電壓方程式

利用坐標(biāo)變換矩陣將as—bs—cs坐標(biāo)系中定子、轉(zhuǎn)子電壓方程式變換到任意速d—q—n坐標(biāo)系中，則有其中2.4.3磁鏈方程式經(jīng)過變換后，定子、轉(zhuǎn)子磁鏈方程式為2.4.4電磁轉(zhuǎn)矩方程式和機(jī)電運(yùn)動(dòng)方程式電磁轉(zhuǎn)矩方程式和機(jī)電運(yùn)動(dòng)方程式也要經(jīng)過從as—bs—cs變量到d—q—n變量的坐標(biāo)變換，利用坐標(biāo)變換矩陣可得電磁轉(zhuǎn)矩方程式和機(jī)電運(yùn)動(dòng)方程式分別為2.4.5任意速d—q—n坐標(biāo)系中異步電機(jī)方程式

將電機(jī)方程式用空間矢量形式可表示為其中2.4.6折算后任意速d—q—n坐標(biāo)系中異步電機(jī)方程式上述電機(jī)方程式是建立在有關(guān)變量實(shí)際大小基礎(chǔ)上。由于定子、轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)不同，在一個(gè)方程中定子及轉(zhuǎn)子變量數(shù)值的大小可能相差很大，將給分析、計(jì)算帶來困難。為此，將轉(zhuǎn)子各變量的大小折算到定子繞組的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，這就是匝數(shù)比變換問題。又稱為轉(zhuǎn)子的折算。

設(shè)想把實(shí)際電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子抽出，換上一個(gè)新轉(zhuǎn)子，它的相數(shù)、每相串聯(lián)的匝數(shù)以及繞組系數(shù)都分別和定子的一樣（新轉(zhuǎn)子也是三相、W1、kW1）。這時(shí)在新?lián)Q的轉(zhuǎn)子中，每相的感應(yīng)電動(dòng)勢為、電流為、轉(zhuǎn)子漏阻抗為，但產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)磁通勢卻和原轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的一樣。雖然換成了新轉(zhuǎn)子，但轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)磁通勢并沒有改變，所以不影響定子邊，這就是進(jìn)行折合的依據(jù)。根據(jù)定、轉(zhuǎn)子磁通勢的關(guān)系可以寫成令這樣可得簡化為

至于電流與原來電流的關(guān)系為式中——電流比——定、轉(zhuǎn)子每相的電動(dòng)勢折合后轉(zhuǎn)子漏阻抗與折合前轉(zhuǎn)子漏阻抗的關(guān)系為阻抗角折合前后漏阻抗的阻抗角不變。雖然經(jīng)過折合后，轉(zhuǎn)子繞組的物理量發(fā)生改變，但折算前后轉(zhuǎn)子繞組中各種功率關(guān)系不變。有關(guān)匝數(shù)比的變換過程不再一一敘述，下面直接給出經(jīng)過過匝數(shù)比的變換以后的異步電機(jī)方程式。經(jīng)過匝數(shù)比的變換以后的異步電機(jī)方程式可表示為其中2.5考慮端電壓約束條件后的異步電機(jī)方程式

2.5.1端電壓的約束條件為了利用異步電機(jī)方程式對電機(jī)進(jìn)行分析，必須考慮電機(jī)外部端電壓的約束條件，即異步電機(jī)相電壓的大小問題。為了簡單起見，設(shè)電機(jī)是定子、轉(zhuǎn)子雙饋形式。定子邊電源電壓為eag、ebg、ecg；轉(zhuǎn)子邊電源電壓為eam、ebm、ecm；定子中點(diǎn)與定子邊電源中點(diǎn)間電壓為usg，轉(zhuǎn)子中點(diǎn)與轉(zhuǎn)子邊電源中點(diǎn)間電壓為umr。則根據(jù)定子側(cè)電壓平衡式，可得到在a—b—c坐標(biāo)系中電機(jī)外部端電壓的約束條件，將定子各相電壓用矩陣形式表示為變換到任意速d—q—n坐標(biāo)系中則有對于采用折算后的轉(zhuǎn)子電源電壓e’am、e’bm、e’cm表示的d—q—n變量形式的轉(zhuǎn)子電壓u’qr、u’dr、u’nr