數(shù)學歸納法同步練習（含解析）

人教A版2019選修二4.4數(shù)學歸納法一、單選題1.觀察下列式子:1+122<32，A.

nn+1

B.

2n?1n+1

C.

2n+1n+12.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時，從n=k到n=k+1等式左邊需增添的項是（

）A.

2k+2

B.

[2(k+1)+1]C.

[(2k+2)+(2k+3)]D.

[(k+1)+1][2(k+1)+1]3.用數(shù)學歸納法證明“5n?2n(n∈N?A.

5(5k?2k)+3×2k

4.對于不等式n2+n<n+1?(n∈N?)，某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下：

（1）當n=1時，12∴當n=k+1時，不等式成立，則上述證法（

）A.

過程全部正確

B.

n=1驗得不正確

C.

歸納假設不正確

D.

從n=k到n=k+1的推理不正確5.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+4+?+(2n?1)+2n=2n2+n(n∈N?A.

2k+1

B.

2k+2

C.

(2k+1)+(2k+2)

D.

16.用數(shù)學歸納法證明：1n+1+1n+2+…+1n+nA.

12k+1

B.

12k+2

C.

12k+17.用數(shù)學歸納法證明等式1+a+a2+?+A.

1

B.

1+a

C.

1+a+a2

8.已知不等式1+122<32，1+1A.

95

B.

115

C.

119.用數(shù)學歸納法證明1+1A.

1+12<2

B.

1+12+10.用數(shù)學歸納法證明：“(n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×5×?×(2n?1)(n∈N?A.

2k+1

B.

2k+1k+1

C.

2k+3k+1

11.用數(shù)學歸納法證明等式，1+2+3+...+2n=n(2n+1)時，由n=k到A.

2k+1

B.

2k+2

C.

(2k+1)+(2k+2)

D.

(k+1)+(k+2)+12.用數(shù)學歸納法證明：(n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n?1)(n∈N?A.

增乘一個因式(2k+1)

B.

增乘兩個因式(2k+1)和(2k+2)

C.

增乘一個因式2(2k+1)

D.

增乘(2k+1)同時除以(k+1)二、填空題13.觀察圖中5個圖形的相應小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個圖中有________小圓圈.14.用數(shù)學歸納法證明1+2+22+?+25n?1?(n∈15.若數(shù)列{an}滿足a1=16.已知f(n)=1n+1+三、解答題17.用數(shù)學歸納法證明：1+2+3+?+(n+3)=(n+3)(n+4)18.觀察下列等式：1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第n(n∈N（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第n(n∈N19.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足（1）求a1、a2、（2）猜想{a20.已知數(shù)列{an}，{bn}，其中{an}（1）求數(shù)列{an}（2）設cn=a21.設數(shù)列{an}滿足a1=3，an（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．22.n2(n≥5)個正數(shù)排成n行n列方陣，其中每一行從左至右成等差數(shù)列，每一列從上至下都是公比為同一個實數(shù)(a已知a12=1，a14（1）設bn=a（2）設Sn=a11+（3）設Tn=a

答案解析部分一、單選題1.【答案】C解：由已知式子可知所猜測分式的分母為n+1，分子第n+1個正奇數(shù)，即2n+1，∴1+1故答案為：C.2.【答案】C解：當n=k時，左邊=1+2+3+?+(2k+1)，共2k+1個連續(xù)自然數(shù)相加，當n=k+1時，左邊=1+2+3+?+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)，所以從n=k到n=k+1，等式左邊需增添的項是[(2k+2)+(2k+3)]。故答案為：C.3.【答案】A解：解：假設當n=k(k∈N即5k則當n=k+1時，5=5×5=5×5=5(5=5(5故答案為：A.4.【答案】D解：在n=k+1時，沒有應用n=k時的假設，即從n=k到n=k+1的推理不正確.故答案為：D.5.【答案】C解：等號左邊加的項是[1+2+3+4+?+2k+(2k+1)+(2k+2)]?(1+2+3+4+?+2k),=(2k+1)+(2k+2),故答案為：C6.【答案】D解：當n=k時，左端為1k+1+1k+2+…+1k+k，當n=k+1故答案為：D.7.【答案】C解：用數(shù)學歸納法證明：1+a+a在驗證n=1時，令n=1代入左邊的代數(shù)式，得到左邊=1+a+a故答案為：C8.【答案】C解：前三個不等式右邊依次是32,53,74，可歸納為：第n故答案為：C．9.【答案】C解：因為用數(shù)學歸納法證明1+1所以第一步先驗證，當n=2時，不等式1+1故答案為：C10.【答案】D解：當n=k時，左邊=(k+1)(k+2)???(k+k)，當n=k+1時，左邊=(k+1+1)(k+1+2)???(k+1+k?1)(k+1+k)(k+1+k+1)，所以由n=k到n=k+1時，等式左邊應該增乘的代數(shù)式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1故答案為：D11.【答案】C解：因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當由n=k到n=k+1時，等式左邊增加了[1+2+3+?+2k+(2k+1)+2(k+1)]?(1+2+3+?+2k)=(2k+1)+(2k+2)，

故答案為：C.

12.【答案】C解：當n=k時，則有(k+1)(k+2)?(k+k)=2當n=k+1時，則有(k+2)(k+3)?(2k+2)=2∵2k+1×1×3×?×(2k+1)2k×1×3×?×(2k?1)=2(2k+1)故答案為：C.二、填空題13.【答案】n2-n+1解：觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n個圖中小圓圈的個數(shù)為(n-1)·n+1=n2-n+1.故答案為：n2-n+114.【答案】5解：當n=k時，原式為：1+2+2當n=k+1時，原式為1+2+2比較后可知多了25k故答案為：515.【答案】13解：解：∵a1=2∴an+1∴a2?a1=∴a3?a2=依次代入有，a4=20∴猜想an下面用數(shù)學歸納法證明當n=1,2時，顯然成立；假設當n=k(k≥3)時，令ak則當n=k+1時，由an+1?a∴ak+1即[a∴ak+1=(k+1)(k+2)∴ak=13k(k+1)，n∈故答案為：1316.【答案】12k+1解：∵f(n)=1∴f(k)=f(k+1)==1k+2故答案為1三、解答題17.【答案】證明：①當n=1時，左邊=10，右邊=10，左邊=右邊②假設n=k(k∈N即1+2+3+?+(k+3)=(k+3)(k+4)那么當n=k+1時，可得1+2+3+?+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)即等式成立.綜合①②可得等式成立18.【答案】（1）解：第5個等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=92．第n個等式為n+(n+1)+(n+2)+?+(3n?2)=(2n?1)2，n∈N?

（2）證明：①當②假設n=k時，命題成立，即k+(k+1)+(k+2)+?+(3k?2)=(2k?1)則當n=k+1時，(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+?+[3(k+1)?2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+?+(3k?2)+(3k?1)+3k+(3k+1)?k=(2k?1)即n=k+1時等式成立．根據(jù)①和②，可知對任意n∈N19.【答案】（1）解：對任意的n∈N?，Sn當n=1時，a1=S1=a1當n=2時，S2=a1+a2當n=3時，S3=a1+a2+a3=a下面用數(shù)學歸納法加以證明：①當n=1時，由（1）知a1②假設當n=k(k∈N?)當n=k+1時，ak+1所以ak+12+2所以ak+1=k+2綜上可知，猜想對一切n∈N20.【答案】（1）解：當n=1，時，a1已知a1=b1=1，b2=3因此nbbn+1累加得bnn?b1=2c1=2法二：因為n=1時，c1=0<21?1下面用數(shù)學歸納法證明n≥3時不等式c1①當n=3時，c1②假設n=k(k≥3,k∈N?)那么n=k+1時，c1要證2k只要證1k只要證(k+1)(k+2)+k只要證k>2，顯然成立,所以，當n=k+1時，不等式c1根據(jù)（1）（2）不等式對任意n≥3，n∈N所以對任意n∈N?，不等式21.【答案】（1）解：由題意可得a2=3a由數(shù)列{an}的前三項可猜想數(shù)列{證明如下：當n=1時，a1假設n=k時，ak那么n=k+1時，ak+1則對任意的n∈N?，都有（2）解：由（1