簡單的三角恒等變換教案(word)3

《簡單的三角恒等變換（第二課時）》教學設計教學目標經歷以和角、差角、倍角公式為依據(jù)對函數(shù)進行恒等變換，最終研究其函數(shù)性質的過程，體會三角恒等變換的內容、思路和方法，并能解決簡單的三角變換應用問題，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學運算素養(yǎng)．教學重難點教學重點：以研究函數(shù)的性質為載體，體會三角變換的內容、思路和方法．教學難點：將函數(shù)化為一個角的一種三角函數(shù)的形式．課前準備PPT課件．教學過程（一）整體感知引導語：上一課時我們運用已學過的三角公式完成了部分三角恒等變換的題目，這一節(jié)課我們將會繼續(xù)沿用同樣的思路和方法，解決一些應用性較強的問題．（二）新知探究例1求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（1）y＝sin3x（2）y＝3sinx＋4cosx．追問1：什么樣結構的函數(shù)便于求周期，最大值和最小值等性質？預設答案：一個角的一種三角函數(shù)的形式，如、等形式．追問2：前面學過的哪個公式可以實現(xiàn)和差的形式化為的形式？預設答案：和差角公式逆用即可實現(xiàn)這種轉化．追問3：在已知的函數(shù)式中如何出現(xiàn)兩個角的正、余弦？預設答案：通過對系數(shù)變形，只要構造出兩個系數(shù)的平方和為1就可以解決問題．預設答案：（1）y＝2(12sin3x＋32因此，所求周期為2π3（2）解法一：設3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ)，則3sinx＋4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ，于是Acosφ=3，Asinφ=4．于是A2cos2φ+A2cos2φ=25，所以A2=25．取A=5，則cosφ＝35，sinφ＝4由y=5sin(x＋φ)可知，所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5．解法二：3sinx＋4cosx＝A3A令3A2+4A2=1，解得A2=25，不妨取則3sinx＋4cosx＝53令cosφ＝35，sinφ＝4則y=5sinxcosφ＋cosx故所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5．圖1設計意圖：由例1可以看到，通過三角恒等變換，我們可以把y＝asinx＋bcosx轉化為y＝Asin(x＋φ)的形式，這個形式更有利于我們研究該函數(shù)的周期、單調區(qū)間、最值等性質，這個過程中蘊含了化歸思想．因為這個變換過程引進了輔助角，因此有時候被稱為輔助角公式，其中，輔助角滿足：．當我們運用這種方法變形，且不是特殊角(即角無法解出)時，應標注的正弦值、余弦值或正切值以使表達更嚴謹．圖1例2如圖1，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形．記∠POC＝α，求當角α取何值時，矩形ABCD追問1：要求最大面積，首先需要根據(jù)已知條件將矩形的面積表示出來，它的長和寬與角α有怎樣的關系呢？怎樣思考？預設答案：寬可以在直角中用表示出來，，而還是在直角中用表示出來，在直角中用可以求出，因此，可得．追問2：得到這個函數(shù)解析式之后，根據(jù)我們已有的研究經驗，將這個解析式轉化為什么樣的形式利于求出最值？預設答案：先化為函數(shù)化為的形式，再參照例1的解決方法變換為的形式，就可以解決最值了．預設答案：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα．在Rt△OAD中，DAOA＝tan60°＝3所以OA＝33DA＝33BC＝33sinα，AB＝OB－OA＝cosα－3設矩形ABCD的面積為S，則S＝AB·BC＝cosα-＝sinαcosα－33sin2α＝12sin2α－36＝12sin2α＋36cos2α－3＝13sin2由0＜α＜π3，得π6＜2α當2α＋π6＝π2，即α＝π6時，因此，當α＝π6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為3設計意圖：本題為三角函數(shù)的實際應用問題，為了降低難度，題目條件中直接給出了自變量，另外，如果不給出自變量，學生很有可能得到與三角函數(shù)無關的函數(shù)解析式，這樣方法可能會偏離三角函數(shù)；即使得到上面的三角函數(shù)式，如何轉化也是一個難點，可以引導學生從“差異”入手，進行三角恒等變換；在變換過程中，化歸與轉化思想起到了至關重要的作用，化陌生為熟悉，化高次為一次，化多項為一項等等，教師可以以此為契機，滲透化歸思想．變式：計算下列式子的值：．預設答案：設計意圖：通過追問簡要介紹以“次數(shù)差異”為突破口設計三角變換過程．示例中，三個角顯然有著密切聯(lián)系，如，，，那么我們應該將哪一個角化成另外兩個角的和或差呢？這時就可以以“次數(shù)”作為決策依據(jù)，因為分子和分母中的三角函數(shù)值次數(shù)較低，將它替換成之后，分子分母各項均可化為二次，這樣有利于變形化簡．因此關注“次數(shù)差異”可以更精準地把握三角變換的方向．（三）歸納小結問題：本課時我們借助和角公式、差角公式及二倍角公式研究了形如或可化為形如的函數(shù)的性質，解決方法是進一步轉化為函數(shù)的形式，那么，為什么要化成這種形式？變形依據(jù)是什么？你對三角恒等變換有什么新的體會？預設的師生活動：學生進行歸納、思考并回答．預設答案：變換后的形式可以更加方便地求出函數(shù)的性質．變形依據(jù)主要是和、差角公式、二倍角公式等等．三角恒等變換需要仔細研究變換對象與變換目標之間的差異，除角度差異、結構差異、名稱差異之外，還需關注次數(shù)差異．遇到求最值的問題，可以考慮選擇合適的自變量與因變量，并構造函數(shù)加以解決．設計意圖：回顧反思，使學生歸納解決三角恒等變換問題的通用思路和常規(guī)方法．（四）作業(yè)布置教科書習題第12，14，17題．（五）目標檢測設計1．求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（1）y=5cosx－12sinx；（2）y=cosx＋2sinx．2．要在半徑為R的圓形場地內建一個矩形的花壇，應怎樣截取，才能使花壇的面積最大？預設答案：1．（1）2π，13，－13．（2）2π，5，－5．2．當矩形為正方形時，花