簡單幾何體的表面積與體積【新教材】人教A版高中數學必修同步講義（Word含解析）

簡單幾何體的表面積與體積【知識點一】空間幾何體的表面積一般地，我們可以把多面體展開成平面圖形，求出展開圖中各個小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積．1.直棱柱和正棱錐的表面積(1)直棱柱的側面積①側棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的側面積是S直棱柱側＝ch.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(2)正棱錐的側面積①如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側棱長都相等．②棱錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側面積．如果正棱錐的底面周長為c，斜高(即側面等腰三角形底邊上的高)為h′，它的側面積是S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′.2.正棱臺的表面積正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺．與正棱錐的側面積公式類似，若設正棱臺的上、下底面的周長分別為c′，c，斜高為h′，則其側面積是S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積【推導圓柱側面積及表面積】S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．【推導圓錐側面積及表面積】底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．【推導圓臺側面積及表面積】由題圖知，圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，內弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，則eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺側＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．圖形表面積公式旋轉體圓柱底面積：S底＝2πr2，側面積：S側＝2πrl，表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2，側面積：S側＝πrl，表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2，下底面面積：S下底＝πr2，側面積：S側＝π(r′l＋rl)，表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【知識點21】空間幾何體的體積一、一、柱體、錐體、臺體的體積公式1．柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)．2．錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．3．臺體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S為上、下底面面積，h為高)．4．柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.二、球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.三、球體的截面的特點1．球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓．2．利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要途徑．【例1-1】已知正六棱柱的高為，底面邊長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．【例1-2】已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為和，側棱長為，則該棱臺的側面積為（）.A． B． C． D．【變式1-1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側面的對角線長是，則這個正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．【變式1-2】棱長為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【例2-1】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（）A． B．1 C． D．【例2-2】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是斜邊長為的直角三角形，俯視圖是半徑為，圓心角為的扇形，則該幾何體的表面積是（）A.B.C.D.【變式2-1】如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）

A． B． C． D．【變式2-3】正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【變式2-4】如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為3.

（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【例3】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側面積為（）A． B． C． D．【變式3-1】圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是________cm2.(結果中保留π)【變式3-2】把一個半徑為20的半圓卷成圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）A．10 B． C． D．【例4】已知圓錐的母線長為5，底面周長為，則它的體積為（）A． B． C． D．【變式4】將半徑為，圓心角為的扇形作為側面圍成一個圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【例5-1】已知一個正方體的8個頂點都在同一個球面上，則球的表面積與這個正方體的表面積之比為（）A． B． C． D．【例5-2】已知一個正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且這個正三棱錐的所有棱長都為，求這個球的表面積（）A． B． C． D．【變式5-1】棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【變式5-2】將一個棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A． B． C． D．【例6】如圖，一個無蓋的器皿是由棱長為3的正方體木料從頂部挖掉一個直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（）A．54 B． C． D．【變式6】某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．【例7-1】（外接球）(1)設長方體的長，寬，高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．(2)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．【例3-3】在正三棱錐S-ABC中，SA=27A.7B.8C.9D.10【例3-4】（球的截面問題）已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面積與球的體積．【變式3-1】一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)一球剛好放進該圓錐體中，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余的空間．【變式3-2】長方體共頂點的三個側面面積分別為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，則它的外接球表面積為________．【變式3-3】設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．【變式3-4】三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【變式3-5】一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.【變式3-6】三棱錐中，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.課后練習題1．長方體的高為2，底面積等于12，過不相鄰兩側棱的截面（對角面）的面積為10，則此長方體的側面積為()A．12 B．24 C．28 D．322．一個正四棱錐的底面邊長為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．203．由華裔建筑師貝聿銘設計的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐（底面是正方形，側棱長都相等的四棱錐），四個側面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（）A． B．C． D．4．《九章算術》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺體建筑物（方亭）如圖，下底邊長丈，上底邊長丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A． B． C． D．5．圓柱底面半徑為1，母線長為2，則圓柱側面積為（）A． B． C． D．6．已知圓柱的底面半徑為1，若圓柱的側面展開圖的面積為，則圓柱的高為________．7．把一個棱長為2的正方體木塊，切出一個最大體積的圓柱，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．8.在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（）A． B． C． D．9.正三棱柱有一個半徑為的內切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．10.如圖所示，球內切于正方體．如果該正方體的棱長為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．簡單幾何體的表面積與體積【知識點一】空間幾何體的表面積一般地，我們可以把多面體展開成平面圖形，求出展開圖中各個小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積．1.直棱柱和正棱錐的表面積(1)直棱柱的側面積①側棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的側面積是S直棱柱側＝ch.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(2)正棱錐的側面積①如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側棱長都相等．②棱錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側面積．如果正棱錐的底面周長為c，斜高(即側面等腰三角形底邊上的高)為h′，它的側面積是S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′.2.正棱臺的表面積正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺．與正棱錐的側面積公式類似，若設正棱臺的上、下底面的周長分別為c′，c，斜高為h′，則其側面積是S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積【推導圓柱側面積及表面積】S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．【推導圓錐側面積及表面積】底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．【推導圓臺側面積及表面積】由題圖知，圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，內弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，則eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺側＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．圖形表面積公式旋轉體圓柱底面積：S底＝2πr2，側面積：S側＝2πrl，表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2，側面積：S側＝πrl，表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2，下底面面積：S下底＝πr2，側面積：S側＝π(r′l＋rl)，表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【知識點21】空間幾何體的體積一、一、柱體、錐體、臺體的體積公式1．柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)．2．錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．3．臺體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S為上、下底面面積，h為高)．4．柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.二、球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.三、球體的截面的特點1．球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓．2．利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要途徑．【例1-1】已知正六棱柱的高為，底面邊長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．【解析】由題知側面積為，兩底面積之和為，所以表面積.故選：A.【例1-2】已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為和，側棱長為，則該棱臺的側面積為（）.A． B． C． D．【解析】由題意可知，該棱臺的側面為上下底邊長為和，腰長為的等腰梯形等腰梯形的高為：等腰梯形的面積為：棱臺的側面積為：本題正確選項：【變式1-1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側面的對角線長是，則這個正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意側棱長為．所以表面積為：．故選：A.【變式1-2】棱長為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖由正四面體的概念可知，其四個面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：A【例2-1】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是故選：A【例2-2】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是斜邊長為的直角三角形，俯視圖是半徑為，圓心角為的扇形，則該幾何體的表面積是（）A.B.C.D.【分析】試題分析由三視圖可知，該幾何體是一個圓錐的，其中圓錐的底面半徑是，高是，從而可得該幾何體的表面積是，故選A.【變式2-1】如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：故選：C【變式2-3】正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.【變式2-4】如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為3.

（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中點D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個側面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側面積是.∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.【例3】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖圓錐的軸截面是頂角為，即，，,所以，所以圓錐的側面積為.故選：C.【變式3-1】圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是________cm2.(結果中保留π)【答案】1100π【解析】如圖所示，設圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π×SA＝2π×10，所以SA＝20.同理可得SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面積＝S側＋S上＋S下＝π(r1＋r2)×AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.【變式3-2】把一個半徑為20的半圓卷成圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半徑為20的半圓卷成圓錐的側面，則圓錐的底面圓周長為，所以底面圓的半徑為r=10，所以圓錐的高為.故選：B【例4】已知圓錐的母線長為5，底面周長為，則它的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，因為底面周長為，所以，解得，又因為母線長為5，所以h=4，所以圓錐的體積是故選：B【變式4】將半徑為，圓心角為的扇形作為側面圍成一個圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧長公式可求得弧長，圓錐底面周長為，圓錐底面半徑，圓錐的高，圓錐的體積.故選：.【例5-1】已知一個正方體的8個頂點都在同一個球面上，則球的表面積與這個正方體的表面積之比為（）A． B． C． D．【解析】設正方體的棱長為a，球的半徑為R，則，球的表面積為，正方體的表面積為，.故選：B【例5-2】已知一個正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且這個正三棱錐的所有棱長都為，求這個球的表面積（）A． B． C． D．【解析】設該正三棱錐為，將三棱錐補成正方體，如下圖所示：

則正方體的棱長為，該正方體的體對角線長為，所以，正三棱錐的外接球直徑為，可得，該球的表面積為.故選：C.【變式5-1】棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線的長，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C【變式5-2】將一個棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的棱長為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B【例6】如圖，一個無蓋的器皿是由棱長為3的正方體木料從頂部挖掉一個直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（）A．54 B． C． D．【答案】C【解析】器皿的表面積是棱長為3的正方體的表面積減去半徑為1的圓的面積，再加上半徑為1的半球的表面積，即器皿的表面積．故選：C．【變式6】某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A【例7-1】（外接球）(1)設長方體的長，寬，高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．(2)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．【答案】（1）6πa2解析長方體的體對角線是其外接球的直徑，由長方體的體對角線為eq\r(2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a，得球的半徑為eq\f(\r(6),2)a，則球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2＝6πa2.（2）解如圖，等邊△ABC為圓錐的軸截面，截球面得圓O.設球的半徑OE＝R，OA＝eq\f(OE,sin30°)＝2OE＝2R.∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝eq\r(3)R，∴V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)π·BD2×AD＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)R)2×3R＝3πR3，∴V球∶V圓錐＝4∶9.【例3-3】在正三棱錐S-ABC中，SA=27A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】作的外接圓，過點C作外接圓的直徑CM，連接PM，則PM為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，如圖所示;∵∴又平面∴∴，即∴,故選D.【例3-4】（球的截面問題）已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面積與球的體積．【答案】如圖所示，設球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于點O1，由于OA＝OB＝OC＝R，則O1是△ABC的外心，設M是AB的中點，由于AC＝BC，則O1∈CM.設O1M＝x，易知O1M⊥AB，則O1A＝eq\r(22＋x2)，O1C＝CM－O1M＝eq\r(62－22)－x.又O1A＝O1C，∴eq\r(22＋x2)＝eq\r(62－22)－x，解得x＝eq\f(7\r(2),4).∴O1A＝O1B＝O1C＝eq\f(9\r(2),4).在Rt△OO1A中，O1O＝eq\f(R,2)，∠OO1A＝90°，OA＝R，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9\r(2),4)))2＝R2，解得R＝eq\f(3\r(6),2)，則S球＝4πR2＝54π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝27eq\r(6)π.【變式3-1】一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)一球剛好放進該圓錐體中，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余的空間．【答案】(1)設圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l，則h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．(2)球放入圓錐體后的軸截面如圖所示，設球的半徑為r，由△OCD∽△ACO1，得eq\f(OD,AO1)＝eq\f(OC,AC)，所以eq\f(r,6)＝eq\f(8－r,10)，解得r＝3.因為圓錐體剩余的空間為圓錐的體積減去球的體積，所以V錐－V球＝eq\f(1,3)×π×62×8－eq\f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．【變式3-2】長方體共頂點的三個側面面積分別為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，則它的外接球表面積為________．【答案】9π【解析】設長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(3)，,bc＝\r(5)，,ac＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴外接球半徑為eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面積為4π×(eq\f(3,2))2＝9π.【變式3-3】設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．【答案】eq\f(7,3)πa2【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.【變式3-4】三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．此時，，在直角△中，．三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.【變式3-5】一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】A由已知中知幾何體的正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體是有一個側面垂直于底面，高為，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖，則這個幾何體的外接球的球心在高線上，且是等邊三角形的中心，這個幾何體的外接球的半徑，則這個幾何體的外接球的表面積為，故選A.【變式3-6】三棱錐中，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作的外接圓，過點C作外接圓的直徑CM，連接PM，則PM為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，如圖所示;∵∴又