《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 兩直線的位置關(guān)系課件

第三十八講兩直線的位置關(guān)系回歸課本1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí),l1與l2的關(guān)系為平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1,l2的斜率存在,分別設(shè)為k1,k2,則l1⊥l2?k1·k2=-1.一般地:若直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,l1與l2重合?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).

2.三種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式

特別地,原點(diǎn)(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離(3)兩條平行線的距離 兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離考點(diǎn)陪練1.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()A.2 B.1C.0 D.-1解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D2.已知兩直線l1:x+ysinθ-1=0,l2:2xsinθ+y+1=0,若l1∥l2,則θ=________.解析:當(dāng)sinθ=0時(shí),不合題意.當(dāng)sinθ≠0時(shí),=2sinθ,∴sinθ=∴θ=kπ±,k∈Z.答案:kπ±

,k∈Z3.過點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()A.x+2y-5=0 B.3x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0解析:所求直線過點(diǎn)A且與OA垂直時(shí)滿足條件,此時(shí)kOA=2,故所求直線的斜率為 所以直線方程為 即x+2y-5=0.答案:A4.已知P1(x1,y1)是直線l:f(x,y)=0上的一點(diǎn),P2(x2,y2)是直線l外一點(diǎn),由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直線與直線l的位置關(guān)系是()A.互相重合 B.互相平行C.互相垂直 D.互相斜交答案:B5.將直線l:x+2y-1=0向左平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位后得到直線l′,則直線l與l′的距離為()答案:B類型一兩兩條直線線位置關(guān)系系的判定和和應(yīng)用解題準(zhǔn)備:判斷兩條直直線平行或或垂直時(shí),往往從兩條條直線斜率率間的關(guān)系系入手加以以判斷,當(dāng)直線方程程中含有字字母系數(shù)時(shí)時(shí),要考慮斜率率不存在的的特殊情況況.判斷兩直線線垂直時(shí),若用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0可不用分類類討論,但在兩直線線平行的判判斷中,既要看斜率率,又要看截距距.【典例1】已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),求a的值.[分析]可以把直線線化成斜截截式,運(yùn)用斜率或或截距的數(shù)數(shù)量關(guān)系來來判斷求解解,但由于直線線的斜率可可能不存在在,就必須進(jìn)行行分類討論論;也可以運(yùn)用用一般式方方程中的關(guān)關(guān)系來判斷斷或求解,這樣可以避避免討論.[反思感悟](1)直線l1:y=k1x+b1,直線l2:y=k2x+b2,“l(fā)1∥l2?k1=k2且b1≠b2”的前提條件件是l1,l2的斜率都存存在,若不能確定定斜率的存存在性,應(yīng)對(duì)其進(jìn)行行分類討論論:當(dāng)l1,l2中有一條存存在斜率,而另一條不不存在斜率率時(shí),l1與l2不平行;當(dāng)l1,l2的斜率都不不存在(l1與l2不重合)時(shí),l1∥l2;當(dāng)l1,l2均有斜率且且k1=k2,b1≠b2時(shí),有l(wèi)1∥l2.為避免分類類的討論,可采用直線線方程的一一般式,利用一般式式方程中的的“系數(shù)關(guān)關(guān)系”的形形式來判斷斷兩直線是是否平行,如本例解法法二.(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),可分斜率不不存在與斜斜率存在,且k1·k2=-1解決問題,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分類類討論.類型二距距離問題3.點(diǎn)到幾種特特殊直線的的距離:(1)點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|.(2)點(diǎn)P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|.(3)點(diǎn)P(x0,y0)到與x軸平行的直直線y=a的距離d=|y0-a|.(4)點(diǎn)P(x0,y0)到與y軸平行的直直線x=b的距離d=|x0-b|.【典例2】?jī)蓷l互相平平行的直線線分別過點(diǎn)點(diǎn)A(6,2),B(-3,-1),并且各自繞繞著A,B旋轉(zhuǎn),如果兩條平平行直線間間的距離為為d.求:(1)d的變化范圍圍;(2)當(dāng)d取最大值時(shí)時(shí),兩條直線的的方程.[解](1)解法一:①當(dāng)兩條直線線的斜率都都不存在時(shí)時(shí),即兩直線分分別為x=6和x=-3,則它們之間間的距離為為9.②當(dāng)兩條直線線的斜率存存在時(shí),設(shè)這兩條直直線方程為為l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0.∴即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤且d≠9.綜合①②可可知,所求的d的變化范圍圍為解法二:如圖所示,顯然有0<d≤|AB|.(2)由圖可知,當(dāng)d取最大值時(shí)時(shí),兩直線垂直直于AB.則∴所求的直直線的斜率率為-3.故所求的直直線方程分分別為y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.類型三交交點(diǎn)及直線線系問題解題準(zhǔn)備:符合特定條條件的某些些直線構(gòu)成成一個(gè)直線線系,常見的直線線系方程有有如下幾種種:(1)過定點(diǎn)M(x0,y0)的直線系方方程為y-y0=k(x-x0)(這個(gè)直線系系方程中未未包括直線線x=x0).(2)和直線Ax+By+C=0平行的直線線系方程為為Ax+By+C′=0(C≠≠C′).(3)和直線Ax+By+C=0垂直的直線線系方程為為Bx-Ay+C′=0.(4)經(jīng)過兩相交交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直直線系方程程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(這個(gè)直線系系方程中不不包括直線線A2x+B2y+C2=0).【典例3】求經(jīng)過直線線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn),且垂直于直直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程.[分析]本題可先求求出交點(diǎn)坐坐標(biāo),然后由直線線間的位置置關(guān)系求得得;也可由直線線系方程,根據(jù)直線間間位置關(guān)系系求得.解法二:∵l⊥l3,故l是直線系5x+3y+C=0中的一條,而l過l1、l2的交點(diǎn)(-1,2),故5×(-1)+3××2+C=0.由此求出C=-1,故l的方程為5x+3y-1=0.解法三:∵l過l1、l2的交點(diǎn),故l是直線系3x+2y-1+λλ(5x+2y+1)=0中的一條,將其整理,得(3+5λλ)x+(2+2λλ)y+(-1+λλ)=0.其斜率解解得λ=代入直線系系方程即得得l的方程為5x+3y-1=0.[反思感悟]對(duì)直線系方方程的形式式不熟悉或或不能正確確運(yùn)用直線線系方程,是出錯(cuò)的原原因之一.運(yùn)用直線系系方程,有時(shí)會(huì)給解解題帶來方方便,常見的直線線系方程有有:(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線線系方程是是:Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線線系方程是是Bx-Ay+m=0(m∈R)(3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直直線系方程程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λλ∈R),但不包括l2.類型四對(duì)對(duì)稱問題解題準(zhǔn)備:(1)對(duì)稱問題主主要包括中中心對(duì)稱和和軸對(duì)稱.中心對(duì)稱:①點(diǎn)P(x,y)關(guān)于O(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′′,y′)滿足②直線關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱可可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的的對(duì)稱問題題來解決.軸對(duì)稱:①點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)A′(m,n),則有②直線關(guān)于于直線的對(duì)對(duì)稱可轉(zhuǎn)化化為點(diǎn)關(guān)于于直線的對(duì)對(duì)稱問題來來解決.(2)在對(duì)稱問題題中,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的的對(duì)稱是中中心對(duì)稱中中最基本的的,處理這類問問題主要抓抓住:已知點(diǎn)與對(duì)對(duì)稱點(diǎn)連成成線段的中中點(diǎn)為對(duì)稱稱中心;點(diǎn)關(guān)于直線線對(duì)稱是軸軸對(duì)稱中最最基本的,處理這類問問題要抓住住兩點(diǎn):一是已知點(diǎn)點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的連線與與對(duì)稱軸垂垂直;二是已知點(diǎn)點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)為端點(diǎn)的的線段的中中點(diǎn)在對(duì)稱稱軸上.【典例4】求直線a:2x+y-4=0關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱的直線線b的方程.[分析]本題的思路路較多,可以根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)斜式或兩兩點(diǎn)式寫出出直線b的方程,也可以利用用軌跡或?qū)?duì)稱觀點(diǎn)求求出直線b的方程.錯(cuò)源一缺缺乏分類意意識(shí)【典例1】求過直線4x-2y-1=0與直線x-2y+5=0的交點(diǎn)且與與兩點(diǎn)A(0,8),B(4,0)距離相等的的直線l的方程.[剖析]錯(cuò)解缺乏分分類討論的的意識(shí),對(duì)直線的位位置關(guān)系考考慮不全,事實(shí)上當(dāng)直直線l經(jīng)過AB的中點(diǎn)時(shí)也也滿足條件件.[正解]由已知可求求得兩直線線的交點(diǎn)為為(1)若點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),則l∥AB,AB的斜率k=-2.所以直線l的方程為即即4x+2y-15=0.(2)若點(diǎn)A,B在直線l的兩側(cè),則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)(2,4),可求出直線線方程為x=2.綜上可得,直線l的方程為4x+2y-15=0或x=2.錯(cuò)源二忽忽視隱含條條件【典例2】如果直線(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,求m的值.[錯(cuò)解]因?yàn)橹本€(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,所以m2+3m+2=0.解得m=-1或m=-2.所以當(dāng)m=-1或m=-2時(shí)直線與y軸平行.[剖析]方程Ax+By+C=0表示直線,其中隱含著著A·B≠0這一條件.當(dāng)m=-2時(shí),直線方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2為0·x+0·y=0,它不表示直直線,所以出現(xiàn)錯(cuò)錯(cuò)誤.[正解]因?yàn)闉橹敝本€線(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平平行行,所以以m2+3m+2=0,且m+2≠0,解得得m=-1,所以以當(dāng)當(dāng)m=-1時(shí)直直線線與與y軸平平行行.技法法一一數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合【典例例1】】已知知△△ABC中,A點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(1,3),AB、AC邊上上的的中中線線所所在在直直線線方方程程分分別別為為x-2y+1=0和y-1=0,求△△ABC各邊邊所所在在直直線線的的方方程程.[解題題切切入入點(diǎn)點(diǎn)]畫出出草草圖圖幫幫助助思思考考,欲求求各各邊邊所所在在直直線線的的方方程程,只需需求求出出三三角角形形頂頂點(diǎn)點(diǎn)B、C的坐坐標(biāo)標(biāo).B點(diǎn)應(yīng)應(yīng)滿滿足足的的兩兩個(gè)個(gè)條條件件是是:①B在直直線線y-1=0上;②BA的中中點(diǎn)點(diǎn)D在直直線線x-2y+1=0上.由①①可可設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)B的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(xB,1),進(jìn)而而再再由由②②確確定定xB,依照照同同樣樣的的方方法法可可以以確確定定頂頂點(diǎn)點(diǎn)C的坐坐標(biāo)標(biāo),故△△ABC各邊邊所所在在的的直直線線方方程程可可求求.[解]設(shè)AB、AC邊上上的的中中線線分分別別為為CD??BE,其中中D??E為中中點(diǎn)點(diǎn).∵B在中中線線y-1=0上,∴設(shè)B點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(xB,1).又∵∵D為AB的中中點(diǎn)點(diǎn),A(1,3),∴D的坐坐標(biāo)標(biāo)為為[方法法與與技技巧巧]依據(jù)據(jù)已已知知條條件件求求平平面面圖圖形形中中某某些些直直線線的的方方程程,必須須““數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合””.通過過數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合,特別別是是借借助助平平面面圖圖形形分分析析出出隱隱含含條條件件,這樣樣可可以以達(dá)達(dá)到到化化難難為為易易?化繁繁為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)的的目目的的,以形形助助數(shù)數(shù)也也是是平平面面解解析析幾幾何何中中常常用用的的方方法法.技法法二二對(duì)對(duì)稱稱問問題題的的解解法法(1)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于直直線線對(duì)對(duì)稱稱【典例例2】】已知知直直線線l:3x-y+3=0,求點(diǎn)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于于直直線線l的對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn).[解題題切切入入點(diǎn)點(diǎn)]利用用對(duì)對(duì)稱稱性性質(zhì)質(zhì)列列有有關(guān)關(guān)對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)的的方方程程組組進(jìn)進(jìn)而而求求解解.[方法法與與技技巧巧]解法法一一的的應(yīng)應(yīng)用用最最為為廣廣泛泛,其關(guān)關(guān)鍵鍵是是利利用用““垂垂直直””?““平分分””.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于于特特殊殊直直線線的的對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)列列表表如如下下:(2)直線線關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱【典例例3】】求直直線線l1:2x-y+1=0關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)P(2,1)的對(duì)對(duì)稱稱直直線線l2的方方程程.[解題題切切入入點(diǎn)點(diǎn)]利用用好好中中心心對(duì)對(duì)稱稱的的性性質(zhì)質(zhì)是是解解對(duì)對(duì)稱稱問問題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵.[解]解法法一一:因?yàn)闉閘1與l2關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)(2,1)對(duì)稱稱,所以以l1∥l2.設(shè)l2:2x-y+C=0.由點(diǎn)點(diǎn)P(2,1)到兩兩直直線線的的距距離離相相等等,有:解得得C=-7或C=1(舍去去).故所所求求的的方方程