《金新學(xué)案》高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 33 等比數(shù)列課件 （文） 全國.重慶專

第三節(jié)等比數(shù)列1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從

起，每一項(xiàng)與它的

的比等于

常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．第2項(xiàng)前一項(xiàng)同一個公比q 等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義從字面上看差不多，就是“比”與“差”的區(qū)別，但等比數(shù)列隱含著數(shù)列的各項(xiàng)不能為零，項(xiàng)與公比的正負(fù)號有著密切關(guān)系等等．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝

.3．等比中項(xiàng)如果三個數(shù)a、G、b組成

，則G叫做a和b的等比中項(xiàng)，那么 ，即G2＝

.b2＝ac是a，b，c成等比的什么條件？a1qn－1等比數(shù)列ab

b2＝ac是a，b，c成等比的什么條件？【提示】b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分條件，∵當(dāng)b＝0，a，c至少有一個為零時，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，則必有b2＝ac.4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (1)公式的推導(dǎo)分q＝1和q≠1兩種情況分別求解．當(dāng)q＝1時，數(shù)列為常數(shù)列，易有Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，采用“錯位相減法”進(jìn)行推導(dǎo)，這種方法具有一定的通性，要注意理解和掌握．(2)在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，如果等比數(shù)列的公比q不確定，需分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論． 等比數(shù)列有關(guān)性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N)．特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，有am·an＝a.(2)間隔相同的項(xiàng)，如a1，a3，a5，…仍為等比數(shù)列，且公比為q2.(3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，公比為qn.【解析】設(shè)公比為q.由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.因?yàn)榈鹊缺葦?shù)列{an}的公比為正正數(shù)，【答案】C2．(2008年全國卷卷Ⅰ)已知等比數(shù)數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝()A．64B．81C．128D．．243【答案案】A3．設(shè)設(shè)a1＝2，，數(shù)列列{1＋2an}是公公比為為2的的等比比數(shù)列列，則則a6＝()A．64B．160C．79.5D．31.5【解析析】1＋2an＝(1＋2a1)·2【答案】C【答案案】155．若若等比比數(shù)列列的公公比為為2，，且前前4項(xiàng)項(xiàng)和為為1，，則這這個等等比數(shù)數(shù)列的的前8項(xiàng)和和為________．．【解解析析】】由題題意意可可知知，，S8－S4＝a8＋a7＋a6＋a5＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝＝24，所所以以前前8項(xiàng)項(xiàng)和和等等于于17.【答答案案】】17在公公差差為為d(d≠0)的的等等差差數(shù)數(shù)列列{an}和和公公比比為為q的等等比比數(shù)數(shù)列列{bn}中中，，a2＝b1＝3，，a5＝b2，a14＝b3，(1)求求數(shù)數(shù)列列{an}與與{bn}的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；；(2)令令cn＝ban，求求數(shù)數(shù)列列{cn}的的前前n項(xiàng)和和Tn.【思已知知數(shù)數(shù)列列{an}的的前前n項(xiàng)和和為為Sn，且且對對任任意意的的n∈N有an＋Sn＝n.(1)設(shè)設(shè)bn＝an－1，，求求證證：：數(shù)數(shù)列列{bn}是是等等比比數(shù)數(shù)列列；；(2)設(shè)設(shè)c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，，求求{cn}的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式．．1．．已已知知數(shù)數(shù)列列{an}的的前前n項(xiàng)和和為為Sn，Sn＝(an－1)(n∈N)．．(1)求求a1，a2；(2)求求證證：：數(shù)數(shù)列列{an}是是等等比比數(shù)數(shù)列列．．(1)已已知知等等比比數(shù)數(shù)列列{an}中中，，有有a3a11＝4a7，數(shù)數(shù)列列{bn}是是等等差差數(shù)數(shù)列列，，且且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在在等比數(shù)數(shù)列{an}中，若若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.【解析】】(1)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}為等差差數(shù)列，，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)解法1：：a1a2a3a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8②解法2：：由性質(zhì)可可知，依依次4T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，則T4＝T1·p3＝1·p3＝8?p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.在等比數(shù)列列的基本運(yùn)運(yùn)算問題中中，一般是是建立a1，q滿足足的的方方程程組組，，求求解解方方程程組組，，但但如如果果可可利利用用等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)，，便便可可減減少少運(yùn)運(yùn)算算量量，，提提高高解解題題的的速速度度，，要要注注意意挖挖掘掘已已知知，，注注意意2．．(1)在在等等比比數(shù)數(shù)列列{an}中中，，a1＋a2＝324，，a3＋a4＝36，，求求a5＋a6的值值；；(2)在在等等比比數(shù)數(shù)列列{an}中中，，已已知知a3a4a5＝8，，求求a2a3a4a5a6的值值．．本節(jié)節(jié)內(nèi)內(nèi)容容一一是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義及及中中項(xiàng)項(xiàng)，，考考查查等等比比數(shù)數(shù)列列的的判判定定，，二二是是通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式及及求求和和公公式式，，考考查查等等比比數(shù)數(shù)列列的的基基本本運(yùn)運(yùn)算算，，體體現(xiàn)現(xiàn)了了分分類類討討論論的的思思想想，，而而對對于于等等