概率論復(fù)習(xí)課件

一、概率論復(fù)習(xí)二、數(shù)理統(tǒng)計課程安排數(shù)理統(tǒng)計6：周二5-6思賢樓1003周四1-2思賢樓1003數(shù)理統(tǒng)計8：周二3-4思賢樓1003周五1-2思賢樓1003教學(xué)安排：教材：數(shù)理統(tǒng)計趙選民等科學(xué)出版社

參考書:1、應(yīng)用概率統(tǒng)計（工程碩士）陳魁清華大學(xué)出版社3、“應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計”吳群英等天津大學(xué)出版社共60學(xué)時2、“數(shù)理統(tǒng)計”汪榮鑫西安交通大學(xué)出版社內(nèi)容與學(xué)時概率論的基本概念隨機(jī)變（向）量及其分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布數(shù)字特征及其特征函數(shù)大數(shù)定理及中心極限定理概率論10學(xué)時第一章概率論知識第一章統(tǒng)計量與抽樣分布10學(xué)時第二章參數(shù)估計10學(xué)時第三章統(tǒng)計決策與貝葉斯估計8學(xué)時合計：60學(xué)時數(shù)理統(tǒng)計總復(fù)習(xí)2學(xué)時第四章假設(shè)檢驗8學(xué)時第五章方差分析6學(xué)時第六章回歸分析6學(xué)時第一章概率論補(bǔ)充知識1.概率空間2.隨機(jī)變（向）量及其分布3.隨機(jī)變量的獨(dú)立性4.隨機(jī)變量函數(shù)的分布5.數(shù)字特征與特征函數(shù)6.多元正態(tài)分布極其性質(zhì)7.極限定理第一節(jié)概率空間一、樣本空間與事件域例如在幾何概型中就不能把不可度量的子集作為事件。定義1設(shè)

是樣本空間，F(xiàn)是由的一些子集構(gòu)成的集類，如果滿足下列條件：因此我們可以理解，事件是中滿足某些條件的子集。為此下面介紹事件域的概念。事件是樣本空間的一個子集，反之未必成立。一般對滿足上述條件的集類稱為代數(shù)或域，所以事件域是一個代數(shù)。則稱F為事件域，F(xiàn)中的元素稱為事件，稱為必然事件。則稱F為事件域，F(xiàn)中的元素稱為事件，稱為必然事件。一般對滿足上述條件的集類稱為代數(shù) -域，所以事件域是一個-域。它具有下列性質(zhì)：注意：在古典概型中，事件域F可以是的一

切子集的全體。在幾何概型中，就不能把不可度

量的子集作為事件。不可測集不能作為事件。二、概率的定義及性質(zhì)定義2(可列可加性)設(shè)是給定的樣本空間，個事件域，是定義在F上一個實值集函數(shù),如果它滿足條件：F是中的一則有（非負(fù)性）（規(guī)范性）則稱P(A)是事件A的概率（簡稱為概率）.描述一個隨機(jī)實驗的三個基本組成部分：事件域F概率P概率空間設(shè)是概率空間，概率P有如下性質(zhì)：則這個結(jié)論可推廣為：定義

性質(zhì)為在事件

發(fā)生的條件下,事件2）3)設(shè)互不相容，

B發(fā)生的條件概率.設(shè)是兩個隨機(jī)事件,且則稱1)對于任一事件,4)三、條件概率與事件的獨(dú)立性1、條件概率得推廣（1）乘法公式由(2)全概率公式定理

為的一個劃分,設(shè)隨機(jī)試驗

的樣本空間為為

的任意一事件,理論和實用意義：在較復(fù)雜情況下直接計算P(A)不易，但A總是伴隨著某些出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組往往可以使問題簡化。1-9120（3）貝葉斯公式引例2311紅4白?任取一箱子，再從中任取一球,發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球取自一號箱的概率.解設(shè)=“球取自號箱”=“取得紅球”求

運(yùn)用全概率公式計算已知“結(jié)果”求“原因”

貝葉斯公式貝葉斯公式則為的一個劃分,設(shè)隨機(jī)試驗

的樣本空間為,它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因的概率。2事件的相互獨(dú)立性1）擲一顆均勻的骰子兩次,可知2）擲甲乙兩枚骰子,可知

={甲擲出偶數(shù)點(diǎn)}

={乙擲出偶數(shù)點(diǎn)}={第一次擲出6點(diǎn)}={第二次擲出6點(diǎn)}

一般地定義例1

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，解

設(shè)

是兩個事件,如果如下等式成立則稱事件

相互獨(dú)立。記

={抽到

},={抽到的牌是黑色的}問事件A,B是否相互獨(dú)立？即事件A,B相互獨(dú)立多個事件的獨(dú)立性若下面四個等式同時成立實質(zhì):任何事件發(fā)生的概率都不受其它事件發(fā)生與否的影響兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立定義成立，則稱n個事件相互獨(dú)立.若它們之中的任意有限個事件獨(dú)立，則稱事件序列獨(dú)立.包含等式總數(shù)為：事件獨(dú)立的性質(zhì)

一、隨機(jī)變量及其分布

二、隨機(jī)向量及其分布

三、邊際分布

四、條件分布第二節(jié)隨機(jī)變（向）量及其分布隨機(jī)現(xiàn)象必然現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象，在相同條件下完全可以預(yù)言的將來隨機(jī)現(xiàn)象：偶然現(xiàn)象，在相同條件下未來的發(fā)展事先不能完全肯定必然性與偶然性的對立統(tǒng)一為了避免將偶然性理解為“碰巧”，一般將它稱為隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性稱為概率隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察稱為一個試驗，如果該試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行就稱為隨機(jī)試驗試驗的每一個結(jié)果稱為隨機(jī)事件

為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，引入隨機(jī)變量的概念，即將隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化一、隨機(jī)變量及其分布

定義

設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間例1

拋一枚均勻硬幣,觀察正反面情況。設(shè)

一、隨機(jī)變量的定義出現(xiàn)結(jié)果為反面,稱

為隨機(jī)變量。上的實值單值函數(shù)，是定義在樣本空間試驗結(jié)果的出現(xiàn)是隨機(jī)的,故的取值也是隨機(jī)的。2）隨機(jī)變量函數(shù)的取值在試驗之前無法確定,且取值有一定的概率；而普通函數(shù)卻沒有。

隨機(jī)變量和普通函數(shù)的區(qū)別1）定義域不同e.也可以不是數(shù)；而普通函數(shù)是定義在實數(shù)域上。隨機(jī)變量定義在樣本空間上,定義域可以是數(shù)隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示

而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母

等.隨機(jī)變量的分類

例如：“抽驗一批產(chǎn)品中次品的個數(shù)”，“電話交換臺在一定時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”等1）離散型隨機(jī)變量2）連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個一一列舉例如：“電視機(jī)的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值有無窮多，充滿一個或幾個區(qū)間二、分布函數(shù)的概念定義1設(shè)

是一個隨機(jī)變量，是任意實數(shù),稱函數(shù)為的分布函數(shù)。上的概率.分布函數(shù)的值就表示

落在區(qū)間定義2為隨機(jī)變量的分布函數(shù).∴可以使用分布函數(shù)值描述隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率。的函數(shù)值的含義：上的概率.分布函數(shù)表示

落在分布函數(shù)的另一種定義

兩種定義對于離散型隨機(jī)變量有影響，此種定義給出的分布函數(shù)是左連續(xù)的，前一種是右連續(xù)的。對于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布沒有任何影響。

分布函數(shù)的性質(zhì)⑴單調(diào)不減性：⑶右（左）連續(xù)性：⑵，且，則上述三條性質(zhì)，也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。4.幾個常用的概率公式1.2.3.4.（2）分布函數(shù)是一個普通實值函數(shù)（1）分布函數(shù)完整描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性定義

若隨機(jī)變量X的全部可能取值是有限個或可列無限多個,則稱此隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量。例

(1)扔一均勻硬幣三次，出現(xiàn)正面的次數(shù)(2)某一時間段進(jìn)入商場的人數(shù)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量燈泡的壽命非離散型隨機(jī)變量1、離散型隨機(jī)變量及其分布分布律也可用如下表格的形式表示定義

設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為滿足kp判斷分布律的條件則稱pk為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。

二、常用的離散型隨機(jī)變量1.

(0—1)分布定義

若隨機(jī)變量X的分布律為（0—1）分布的分布律也可寫成注意服從(0-1)分布的隨機(jī)變量很多。如果涉及的試驗只有兩個互斥的結(jié)果：都可在樣本空間上定義一個服從(0-1)分布的隨機(jī)變量：例如檢查某產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格；拋一枚硬幣觀察其正反面；一次試驗是否成功。容易驗證由二項式定理2二項分布二項分布描述的是

n重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.3.泊松分布稱服從參數(shù)為的泊松分布,記為其中是常數(shù),若隨機(jī)變量

的分布律～泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問題中都占有重要的地位。泊松分布的應(yīng)用①排隊問題：在一段時間內(nèi)窗口等待服務(wù)的顧客人數(shù)②生物存活的個數(shù)③放射的粒子數(shù)～～～思考題：兩個分布函數(shù)之和仍為分布函數(shù)嗎？不是設(shè)為兩個分布函數(shù)，則2連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、定義其中被積函數(shù),稱為概率密度函數(shù)或概率密度。如果隨機(jī)變量

的分布函數(shù)為則稱

為連續(xù)型隨機(jī)變量二.概率密度的性質(zhì)1.2.面積為1o3.4.在的連續(xù)點(diǎn)處，則對連續(xù)型r.vX,有幾種常見的分布一、均勻分布分布函數(shù)為:1.若X的概率密度為

則稱

服從(a,b)上的均勻分布，記作二、指數(shù)分布若隨機(jī)變量

具有概率密度則稱

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.記為

的分布函數(shù)三、正態(tài)分布的正態(tài)分布,或高斯分布.所確定的曲線稱為正態(tài)曲線若X具有概率密度

則稱

服從參數(shù)為記為條關(guān)于對稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是:正態(tài)分布的密度曲線是一正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度的中心位置“兩頭小,中間大,左右對稱”正態(tài)分布的分布函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示

的分布函數(shù)是若,則

~N(0,1)設(shè)

,定理若二隨機(jī)向量及其分布

有些隨機(jī)實驗的結(jié)果同時涉及若干個隨機(jī)變量，我們不但要考慮其中各個隨機(jī)變量的性質(zhì)，還要研究它們之間的聯(lián)系，即要研究隨機(jī)向量及其分布。定義1是定義在這個概率空間上的n個隨機(jī)變量，稱所以它的概率是有意義的。定義2二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布定義3

設(shè)是二維隨機(jī)變量,對于任意實數(shù),稱為

的分布函數(shù)。分布函數(shù)的幾何意義

將二維隨機(jī)變量看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)落在矩形區(qū)域中的概率為分布函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)時，對于任意固定的，對于任意固定的，1.關(guān)于x和y單調(diào)不減當(dāng)時，2.3.即關(guān)于x右連續(xù)關(guān)于y右連續(xù)即1、離散型隨機(jī)向量只取有限個或可列個不同的向量值，則稱概率這時，二維離散型隨機(jī)變量設(shè)所有可能取值為，則稱定義5定義4是有限多對或可列無限多對，則稱為二維離散型隨機(jī)變量.為隨機(jī)變量

的分布律。性質(zhì)：若二維隨機(jī)變量的所有可能取值),(YX分布律的表格表示

Y

X

1y

2y

…

jy

…

1x

11p

12p

…

jp1

…

2x

21p

22p

…

jp2

…

M

…

…

…

…

…

ix

1ip

2ip

…

ijp

…

M

…

…

…

…

…

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有形式其中和式是對一切滿足的求和它滿足條件反之，若有滿足這兩條性質(zhì)的n元函數(shù)則它一定是某一個n維隨機(jī)向量的分布密度。2、連續(xù)型隨機(jī)向量多元正態(tài)分布是多元連續(xù)型分布中的一個重要的分布。為密度函數(shù)的概率分布，稱為n元正態(tài)分布，簡記為上式的向量形式為當(dāng)n=1時，和以前所述的一元正態(tài)分布完全一致；

的二維正態(tài)分布，記為當(dāng)n=2時的概率密度為其中都是常數(shù),且，則稱服從參數(shù)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量對于任意的，有定義設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)若存在非負(fù)函數(shù)，則稱f(x,y)為(X,Y)的概率密度。2)3)若在點(diǎn)處連續(xù),則有概率密度的性質(zhì)1)4)

設(shè)是

平面上的任意一個區(qū)域，則有(表示以為底，以曲面為頂面的曲頂柱體的體積)三邊緣分布（一）定義設(shè)是二維隨機(jī)變量,同理可得幾何表示:稱為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。