等式性質與不等式性質同步練習（含答案）2

課時2不等式的性質1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)若a>b，則ac2>bc2.(×)(2)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．(×)(3)設a，b∈R，且a>b，則a3>b3.(√)(4)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.(×)題型1利用不等式的性質判斷命題的真假2．設b<a，d<c，則下列不等式中一定成立的是(C)A．a－c>b－d B．ac>bdC．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c解析：因為b<a，d<c，所以b＋d<a＋c.3．已知x<a<0，則一定成立的不等式是(B)A．x2<a2<0 B．x2>ax>a2C．x2<ax<0 D．x2>a2>ax解析：因為x<a<0，不等號兩邊同時乘a，則ax>a2；不等號兩邊同乘x，則x2>ax，故x2>ax>a2.4．設a，b，c∈R，且a>b，則(D)A．ac>bc B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a2>b2 D．a3>b3解析：A選項中若c小于等于0則不成立；B選項中若a為正數b為負數則不成立；C選項中若|a|<|b|則不成立，故選D.題型2利用不等式性質進行證明5．欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證(C)A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：因為eq\r(2)＋eq\r(7)>0，eq\r(3)＋eq\r(6)>0，所以eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)?eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)?(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.6．設a>b>c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.證明：因為a>b>c，所以a－c>a－b>0.所以eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)>0.所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)>0.又b－c>0，所以eq\f(1,b－c)>0.所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.題型3利用不等式的性質求范圍問題7．已知12<a<60,15<b<36，求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．解：因為15<b<36，所以－36<－b<－15，所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.因為15<b<36，所以eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.8．設y＝ax2＋bx，且當x＝－1時1≤y1≤2；當x＝1時，2≤y2≤4，求當x＝－2時，y3的取值范圍．解：因為當x＝－1時，y1＝a－b，所以1≤a－b≤2；當x＝1時，y2＝a＋b，所以2≤a＋b≤4.又當x＝－2時，y3＝4a－2b，令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,－m＋n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以y3＝3(a－b)＋(a＋b)．又因為1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，所以5≤y3≤10.易錯點1忽略不等式性質成立的條件9．給出下列命題：①若a<b，c<0，則eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②若ac－3>bc－3，則a>b；③若a>b且k∈N＋，則ak>bk；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).其中正確命題的序號是__④__.解析：①令a＝－1，b＝1，則eq\f(c,a)＝－c>eq\f(c,b)＝c，故①錯誤；②當c<0時，c－3<0，由ac－3>bc－3可得a<b，故②錯誤；③當a＝1，b＝－2，k＝2時，則ak＝1<bk＝4，故③錯誤；④c>a>b>0?0<c－a<c－b，上式兩邊同乘eq\f(1,c－ac－b)，得0<eq\f(1,c－b)<eq\f(1,c－a)，又a>b>0，所以eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，故④正確．[誤區(qū)警示]在使用不等式性質時若忽略其成立的條件則可能得出錯誤的結果，如①中易由a<b推出eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，從而判斷①是正確的；③中易忽略a與b的符號(誤認為同為正)，從而推出ak>bk.應用不等式的性質時，一定要注意“保序”時的條件，如“非負乘方保序”．還要特別注意“乘負反序”“同號取倒反序”的情況．易錯點2擴大取值范圍致錯10．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍．解：設a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋λ2＝1，,λ1－2λ2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(5,3)，,λ2＝－\f(2,3).))又－eq\f(5,3)≤eq\f(5,3)(a＋b)≤eq\f(5,3)，－2≤－eq\f(2,3)(a－2b)≤－eq\f(2,3)，所以－eq\f(11,3)≤a＋3b≤1.[誤區(qū)警示]利用不等式求某個代數式(特別是涉及兩個或兩個以上未知量的代數式)的取值范圍時，往往需要利用不等式的性質“同向可加性”，但這一性質并不具有可逆性，多次使用就可能擴大取值范圍(所推得的不等關系仍然成立，但并不是真正的取值范圍)．求范圍時，盡量避免多次使用不具有可逆性的條件，要使用整體代換的思想解決問題．(限時30分鐘)一、選擇題1．設a>b>0，c<d<0，則下列不等式中一定成立的是(B)A．ac>bd B．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．ac2<bd2解析：a>b>0，c<d<0，即為－c>－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A錯；由cd>0，又ac<bd<0，兩邊同乘eq\f(1,cd)，可得eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，則B對，C錯；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，則D錯．故選B.2．已知a，b，m是正實數，則不等式eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)成立的條件是(B)A．a<b B．a>bC．與m有關 D．恒成立解析：eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)，而a>0，m>0且eq\f(ma－b,aa＋m)>0，所以a－b>0，即a>b.3．(多選題)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，下面四個不等式不正確的是(AB)A．|a|>|b| B．a<bC．a＋b<ab D．a3>b3解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，A，B均不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，C正確；a3>b3，D正確．4．設a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式中正確的是(D)A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0解析：本題可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，則a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故選D.5．設a<b<0，則下列不等式中不正確的是(B)A．eq\f(2,a)>eq\f(2,b) B．ac<bcC．|a|>－b D．eq\r(－a)>eq\r(－b)解析：a<b<0，則eq\f(2,a)>eq\f(2,b)，選項A正確；當c>0時選項B成立，其余情況不成立，則選項B不正確；|a|＝－a>－b，則選項C正確；由－a>－b>0，可得eq\r(－a)>eq\r(－b)，則選項D正確，故選B.6．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是(D)A．a>eq\f(a,b)<eq\f(a,b2) B．eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC．eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2) D．eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a解析：由題意知eq\f(a,b)>0，b2>1，則eq\f(a,b2)>a，且eq\f(a,b2)<0，所以eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.7．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范圍是(C)A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4解析：因為－4<b<2，所以0≤|b|<4，所以－4<－|b|≤0.又因為1<a<3，所以－3<a－|b|<3.8．(多選題)若x>1>y，則下列不等式成立的是(BCD)A．x－1>1－y B．x－1>y－1C．x－y>1－y D．1－x>y－x解析：因為x>1>y，所以x＋(－1)>y＋(－1)，即B正確；x＋(－y)>1＋(－y)，即C正確；1＋(－x)>y＋(－x)，即D正確．9．a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是(B)A．ac>bc B．ab>acC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2解析：因為a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，所以A不正確；對于B，ab>ac?a(b－c)>0，又b－c>0，a>0，故B正確；由于|b|有可能為0，故C不正確；若a＝2，b＝1，c＝－3，顯然a＋b＋c＝0，但a2>b2且b2<c2，故D不正確．二、填空題10．若a>b>0，則a＋eq\f(1,b)__>__b＋eq\f(1,a)(用“<”“>”“＝”填空)．解析：因為a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a).11．若a<b<0，則eq\f(1,a－b)與eq\f(1,a)的大小關系是eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a).解析：eq\f(1,a－b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－a－b,a－ba)＝eq\f(b,a－ba).因為a<b<0，所以a－b<0，則eq\f(b,a－ba)<0，所以eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a).12．三個正數a，b，c滿足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，則eq\f(b,a)的取值范圍是eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤eq\f(3,2).解析：兩個不等式同時除以a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤\f(b,a)＋\f(c,a)≤2，①,\f(b,a)≤1＋\f(c,a)≤2·\f(b,a)，②))將②×(－1)得－2·eq\f(b,a)≤－1－eq\f(c,a)≤－eq\f(b,a)，③①＋③，得1－eq\f(2b,a)≤eq\f(b,a)－1≤2－eq\f(b,a)，解得eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤eq\f(3,2).三、解答題13．(1)已知a>b>0,0>c>d，求證：ad<bc；(2)a<b<0，求證：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(3)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求證：ab>0.證明：(1)因為a>b，c<0，所以ac<bc.因為c>d，a>0，所以ac>ad，所以ad<bc.(2)eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab).因為a<b<0，所以b＋a<0，b－a>0，ab>0，所以eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(3)因為eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，所以b－a<0，所以ab>0.14．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，求eq\f(c,a)的取值范圍．解：由已知及三